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文档简介

2020 2 5 第二章2 5 1 2 5泊松方程和拉普拉斯方程 静电场的基本方程 线性 均匀 各向同性电介质 积分 微分 本构关系 2020 2 5 第二章2 5 2 泊松方程和拉普拉斯方程 泊松方程 静电场为无旋场 故可引入一标量电位来描述之 而 将 即 2 5 1 的泊松方程 2020 2 5 第二章2 5 3 拉普拉斯方程 若静电场中无电荷分布时 即 则泊松方程为 2 5 2 的拉普拉斯方程 拉普拉斯算符 2020 2 5 第二章2 5 4 拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 2020 2 5 第二章2 5 5 求解泊松方程 或拉普拉斯方程 给定电荷分布 求解其方程得 若已知 2020 2 5 第二章2 5 6 例 若半径为a的导体球面的电位为 球外无电荷 求空间的电位 解 显然 导体球的电荷分布在球面上 且呈球对称 故空间的电位也呈球对称 仅是r的函数 取球坐标系 因球外无电荷 则空间电位满足拉普拉斯方程 球坐标系中 即 2020 2 5 第二章2 5 7 而 2020 2 5 第二章2 5 8 两平行板电极无限大 若其间无电荷分布 则板间电场强度均匀 而实际上板间充满密度为的体电荷 由于体电荷只是的函数 故电场强度也只是的函数 例 两无限大平行板电极 板间距离为 电压为 并充满密度为的体电荷 求板间电场强度和极板面上的电荷面密度 如图 解 应用高斯通量定理求解 作一柱形闭合面为S 底面积为 下底在左极板内 上底在处 侧柱面与平行 2020 2 5 第二章2 5 9 即 又 代入 则 12 导体内的电场强度为零 2020 2 5 第二章2 5 10 作一柱形闭合面为S 底面积为 下底在左极板内 上底在极板内 侧柱面与平行 闭合面上 下底处的电场强度为零 侧面的法向与电场强度的方向垂直 故 则 2020 2 5 第二章2 5 11 例 用解泊松方程的方法重求上例的电场强度 解 泊松方程为 则 2020 2 5 第二章2 5 12 故 9 2020 2 5 第二章2 5 13 运用泊松方程和 或 拉普拉斯方程可以求解静电场的边值问题 所谓 边值问题 是指在一定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程 具体解法在第五章介绍 在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解 这
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