抽象代数自选题.doc

自选题目：1、 设是一个群，证明：（1）在中，阶大于2的元素的个数一定是偶数； （2）在中，阶等于2的元素的个数与的阶有相反的奇偶性。2、 证明：6阶交换群是循环群3、 设，且证明。4、 设M，N是群的正规子群，证明： （1）； （2）是的正规子群； （3）若5、 设是一个素数，是的方幂阶的群，试证的非正规子群的个数一定的的倍数。6、 证明148阶群不是单群。7、 设是素数，则阶群是Abel群。8、 设是阶群，为不同素数。证明：不是单群。9、设，分别为，阶循环群，证明：.10、若群中元素的阶为，元素的阶为，则当且时，有，即.11、设群中元素的阶为，证明.12、设，是群的两个正规子群，且二者的交为，证明：与中的元素相乘时可换.13、设是包含在群的中心内的一个子群，证明：当是循环群时，是交换群.14、证明：时个轮换是的一组生成元。15、证明：同构意义下，6阶群只有与.16、设为素数，证明：阶群为群.17、若G是由a , b生成的群，且=e ，证明：G为Abel群。18、设f：GH是群同态，若g是G的一个有限阶元。试证: f(g)的阶整除g的阶。19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。20、设MG , NG。若MN=e,证明：,有21、设是一个群，而是中任意一个固定的元素。证明：对新运算也作成一个群。22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。 2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。23、 证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群。对非交换群如何？24、 设分别是群的两个与阶子群，证明：若，则25、设是群的一个子群，证明：且。26、证明：若群的阶子群有且只有一个，则此子群必为的正规子群。27、或28、29、令G是实数对（a,b），a0的集合，在G上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证G是群。30、设G是一个群，a,bG，证明：=31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。32、试证没有6阶子群。33、设群G作用在集合上，令t表示在G上的作用下的轨道个数，对任意gG，表示在g作用下的不动点个数。试证：。34、设是大于1的奇数，是循环群。35、一个有限群的每个元素的阶都有限.36、假如和是一个群的两个元，并且ab=ba，又假定，且.证明：.37、设是群到群的同态，证明：.38、设是群，是交换群.是到的同态，且.证明:.39、设是群的子集.证明：若关于的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则.40、设是有限群的一个子群，又，证明：若不能整除，则.41、设是群., .且.证明：.42、证明6阶群必存在一个3阶子群。43、举例说明若，不一定有。44、，证明。45、，证明。46、证明有限群G有唯一Sylow p-子群L的充要条件是。47、设，若存在，使得，则48、设，且，是单位元，则对任何，有。49、证明交换群的商群是交换群。50、设是循环群，是与的满同态，证明也是循环群。51、证明交换群中所有有限阶的元素构成的一个子群52、当时，试证n-2个3轮换，,是的生成元。53、设作用在集合上，对任意，若存在使得，则54、设，其中均为素数，。证明：是循环群。55、设,是群，证明：56、设m、n是大于1的奇数，是循环群，证明（m，n）=157、证明：有理数加群与非零有理数乘群不同构.58、设作用在集合上，对任意，若存在使，。换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭。59、设是一个素数，是的方幂阶的群。试证的非正规子群的个数一定是的倍数。60、试证200阶群一定含有一个正规的西罗子群。61、证明；阶群必是交换群，其中P是一个素数62、凡200阶群都不是单群63、指数为2的子群必是正规子群64、设G是n阶群（P是素数），证明：若np,则G有p阶正规子群65、设H,K是群G（未必有限）的两个p-子群。且KG，证明；HK也是G的一个p-子群66、若群的阶子群有且只有一个, 则此子群必为的正规子群.67、设为群, 又, 且, 证明中任意元素都有.68、若都是正整数且与互素，则。69、设是群，,