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2 2解析函数 定义1 否则称为奇点 f z 在区域D内解析 f z 在D内每个点都解析 f z 在z0解析 f z 在z0的某个领域内可导 函数在一点解析 在该点可导 反之不一定成立 在区域内 例如f z z2 在整个复平面上解析 仅在原点可导 故在整个复平面上不解析 f z x 2yi 在整个复平面上不解析 例4讨论函数f z 1 z的解析性 解 故f z 1 z除z 0外处处解析 z 0是它的一个奇点 解析函数的性质 1 两个解析函数的和 差 积 商仍为解析函数 2 两个解析函数的复合函数仍为解析函数 3 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析 定理3函数f z u x y iv x y 在其定义域D内解析的充要条件是u x y 与v x y 在D内可微 并满足Cauchy Riemann方程 问题 对函数f z u x y iv x y 如何判别其解析 可导 性 C R方程等价于 证明 推论 例题2 判断下列函数在何处可导 在何处解析 解 得u x v y 所以 在复平面内处处不可导 处处不解析 2 由w zRe z x2 ixy 得u x2 v xy 所以 当且仅当x y 0时 因此函数仅在z 0处可导 在复平面内任何地方都不解析 是区域内的正交曲线族 正交 两曲线在交点处的切线垂直 例题3 证 得证 例如 两族分别以直线y x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2 y2 c1 2xy c2互相正交 解析函数退化为常数的几个充分条件 a 函数在区域内解析且导数恒为零 b 解析函数的
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