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第一章 第一章 绪绪 论论 一 重点一 重点 Planck 的能量子理论 Einstein 的光量子理论 Bohr Sommerfeld 量子化条件 De Broglie 波的含义和 De Broglie 波的波长公式 理解波粒二象性是一切物质客体所具有的 普遍属性 二 难点二 难点 广义量子化条件的应用 三 内容提要三 内容提要 量子力学 Quantum Mechanics 是研究微观实物粒子运动规律的理论 量子力学的基础 大量实验事实 旧量子论 即普朗克 玻尔量子论 量子力学的作用 有助于人们对微观结构的认识 并具有跨学科的性质 如化学 材料科学 电子学 分子生物学等 1 黑体辐射 Black Body Radiation 和普朗克假设 黑体 如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其上的辐射 就称它为绝对黑体 简 称为黑体 Planck 的 能量子 假设 黑体以 h为单位交换能量 即能量具有不连续性 称能量 单位 h为能量子 其中sJ1062559 6h 34 为Planck常数 2 光的波动性和粒子性的关系式为 hhE kn h p v h vr 3 玻尔的原子结构理论 定态假设 跃迁假设 量子化条件 广义的量子化条件 nhpdq 2 1n Bohr Sommerfeld量子化条件 其中q为电子的广义坐标 p为对应的广义动量 n为量子数 且取正整数 回路积分 沿轨道积分一圈 注 代表对周期运动积分一个周期 4 德布罗意波及其波长 自由粒子的能量E和动量P v 与平面波的频率 和波长 之间的关系像光子和光波的 关系一样 即 hhE kn h p v h vr 此即德布罗意波公式 也称德布罗意关系 Etrp i trk i Aeae vv h v v 为DeBroglie波 即描写自由粒子的平面波 设自由粒子的动能为E 其DeBroglie波波长为 E h p h 2 如果电子被V伏 的电势差加速 则E eV电子伏特 其中e为电子电荷的大小 于是将eh 的数值代 入得 V 25 12 eV2 h 只用于电子 式中Planck常数h的出现表明DeBroglie波 长具有量子性质 四 典型例题四 典型例题 例1 质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度飞行 其DeBroglie波长是 m mv h p h E h 33 23 34 106 6 1010010100 106 6 2 0 23 106 6A 由此可见 对于一般的宏观物体 其物质波波长是很小的 很难显示波动性 例2 若用150伏的电压加速电子 其DeBroglie波长 0 1 150 25 12 A 电子的DeBroglie 波长在数量上相当 小于 晶体中的原子间距 比宏观线度要短的多 这说明了为什么 电子的波动性长期没有被发现的原因 经典物理未考虑到实物粒子的波动性 因而不能解释微观领域内粒子的行为 为了 建立描写微观领域粒子行为的物理学 就需要在物理学的基本概念和规律方面来一个根 本的改变 例3 用量子化条件 求限制在箱内运动的粒子的能量 箱的长宽高分别为 cba 解 三维问题 有三个独立量子化条件 可设想粒子有三个分运动 每一分运动是自由 运动 设粒子与器壁作弹性碰撞 则每碰一次时 与此壁正交方向的分动量变号 如 xx pp 其余分动量不变 设想粒子从某一分运动完成一个周期 此周期中动量与 位移同时变号 量子化条件 a hn phnpadxphndqp x xxx a xx x x 2 22 0 1 b hn phnpbdyphndqp y yyy b yy y y 2 22 0 2 c hn phnpcdxphndqp z zzz c zz z z 2 22 0 3 nx ny LL3 2 1 nz x p y p z p都是常数 总动量平方 222 zyx pppp 能量是 2 2 2 222 2 2222 1 2 1 2c hn b hn a hn m ppp mm p E z y x zyx 2 2 2 2 8c n b n a n m h z y x nx ny LL3 2 1 nz 例4 平面转子的转动惯量为 求能量允许值 解释题意 平面转子是个转动体 它的位置由一坐标 例如转角 决定 它的运动是 一种刚体的平面平行运动 例如双原子分子的旋转 解 按刚体力学 转子的角动量 I 但 是角速度 能量是 2 2 1 E 利用量子 化条件 将p理解成为角动量 q理解成转角 一个周期内的运动理解成旋转一周 则有 nhdpdq 2 2 0 hnnh 2 3 2 1 n 上式说明 是量子化的 将其代入能量公式 得能量量子化公式 2 22 1 22 22 hhnn E 例5 有一带电荷e 质量m的粒子在平面内运动 垂直于平面方向磁场是B 求粒子 动能的允许值 解 带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 设圆半径是r 线速度是v 用高斯制单 位 洛伦兹与向心力平衡条件是 r mv c Bev 2 1 又利用量子化条件 令 p电荷角动量 q转角 nhvrmmrvdpdq 2 2 0 2 即 hnmrv 3 由 1 和 2 式求得电荷动能 mc nBe mvEk 22 1 2 h 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 一 重点一 重点 1 微粒的状态由波函数完全描写 正确理解 的意义和性质 2 状态随时间的变化遵从薛定谔方程 掌握 会用 3 几个应用例子 说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征 逐步理解 二 难点二 难点 波函数的意义和性质的理解 薛定谔方程的理解 定态薛定谔方程的求解 三 内容提要三 内容提要 1 量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数来描写微观粒子的状态 设波函数 t z y x t r v 描写粒子的状态 则在空间一点 x y z 和时刻 t 波 的强度为 2 其中 为 的共轭复数 t 时刻在dxxx dyyy dzzz 的体积元dxdydzd 内找到粒子的几率为 d t z y x C t z y x dW 2 其 中C为比例常数 几率密度 2 t z y x C d t z y x dW t z y x 为t时刻 x y z 点附近单位体积内找到粒子的几率 1 2 dzyx为波函数的归一化条件 Normalizing Condition 2 态迭加原理 若LL n21 是体系的可能状态 它们的线性迭加 n nn c n c 一般是复常数 也是体系的一个可能状态 3 傅立叶变换 zyx rp i dpdpdpetpCtr vv h v h v 2 1 2 3 dxdydzetrtpC rp ivv h v h v 2 1 2 3 4 波函数随时间变化的规律由dingeroSchr 方程给出 2 2 2 trU t i vh h 据此 可以得到几率守恒律的微分形式 0 J t v 其中 trtrtr vvv 假设 归一化 2 h v i J 5 波函数的标准化条件 单值性 有限性 连续性 6 定态薛定谔方程 当 r U t r U vv 时 dingero Sch 方程的解可表示为 tE i e r t r h vv 其中 tE i e r t r h vv 或 r v 均称为定态波函数 r v 所满足的方程 r E r r U r 2 2 2 vvvvh 为定态薛定谔方程 注 定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 定态的特征 体系能量取确定值 和J v 均与时间无关 不随时间改变 注意 该点可以作为判断一个波函数所描写的 态是否为定态的判据 7 一维无限深势阱 若 ax ax 0 x U 本征值 2 222 2 222 n a8 n a2 2 n E hh 3 2 1n 本征函数 axax ax a xn a tx n 0 0 sin 2 8 线性谐振子 22x 2 1 x U 本征值 h 2 1 n En 2 1 0n 本征函数 HeN n 2 nn 2 或 x HeN x n 2 x nn 22 宇称 n 1 即 x 1 x n n n 9 势垒贯穿 方形势垒 当1 2 0 EU a h 时 透射系数为 2 2 exp 00 aEUDD h 任意形状的势垒 xU 透射系数为 2 2 exp 0 dxExUDD b a h 四 典型例题四 典型例题 例1 证明动量算符的属于本征值为 p的本征函数在动量表象中的表示是 pp 证明 设 tx 所描写的状态是具有动量 p的自由粒子的状态 即 tx tE i p p ex h 又有 dxxtxtpc p 则 dxxextpc p tE i p p h tE i p epp h 所以在动量表象中 粒子具有确定动量 p的波函数是以动量p为变量的 函数 例2 作一维运动的粒子被束缚在ax0 的范围内 已知其波函数为 a x sinAx 求 1 归一化常数A 2 粒子在0到 2 a 区域内出现的概率 3 粒子在何处出现的概率最大 解 1 由归一化条件有 1dx a x sinAdx a 0 2 22 解得 1A 2 a2 故可取归一化常数 a 2 A 2 粒子的概率密度为 a x sin a 2 2 2 于是粒子在0到 2 a 区域内出现的概率为 2 1 dx a x sin a 2 dx 2 a 0 2 2 a 0 2 3 令0 dx d 即0 a x2 sin a 2 dx d 2 2 则 L 2 1 0n n a x 2 而ax0 于是 2 a x 而0 2 2 2 2 ax dx d 所以 2 a x 时 粒子出现的概率最大 例3 证明 一维束缚定态波函数可取为实函数 证明 若 n 是方程 nnn 2 22 E x U dx d 2 h 1 的解 取 1 的复数共轭 并考虑到 x U x U 得 nn n 2 22 E x U dx d 2 h 2 即 n 及 n 皆是与能量 n E相对应的波函数 而一维束缚定态不存在简并 于是 nn c c为复常数 即 n n c 则 n 2 n n ccc 即 1 2 c 所以 i ec 可以取0 即 nn 故 n 为实数 无损一般性 n 可取为实函数 例4 若体系的归一化波函数形式为 Et i exp x Et i exp x t x hh 求系统 的几率分布 并证明它并不处于定态 证明 t E2 cos1 x 2 2 2 h 由于 与t有关 粒子的几率分布随时间而改变 因此体系不处于定态 例5 若体系的归一化波函数形式为 exp exp 2121 EEtE i xtE i xtx hh 求系统的几率分布 并证明它并不处于定态 证明 2 22 1221 exp exp EEEE xxxxitxxit hh 由于 与t有关 粒子的几率分布随时间而改变 因此体系不处于定态 例6 试计算三维各向同性谐振子的能级和波函数 解 势能为 2222 2 1 zyxzyxU 三维谐振子所满足的薛定谔方程为 zyx zyx 2 2 2 2 2 2 22 h 2222 2 1 zyx zyxE 分离变量 x Exx dx d x 2 2 2 22 1 2 2 1 21 hh y Eyy dy d y 2 2 2 22 2 2 2 2 21 hh z Ezz dz d z 2 2 2 22 3 2 2 3 21 hh 解得 22 11 2 1 1 x nn exHNx h 1 2 1 nEx L2 1 0 1 n 22 22 2 1 2 y nn eyHNy h 2 2 1 nEy L2 1 0 2 n 22 33 2 1 3 z nn ezHNz h 3 2 1 nEz L2 1 0 3 n 所以三维各向同性谐振子的能级为 h nEn 2 3 321 nnnn L 2 1 0 321 nnn 波函数为 22 321321 2 1 r nnnnnnn ezHyHxHNNNzyx 其中 h 2222 zyxr 例7 求在一维势场 x的区域 方程为 xExxx dx d 22 2 22 2 1 2 h 解是 2 2 1 eHAx nnn 22 x h 其中 2 1 n A n n h n H是关于 的n次多项式 厄米多项式 必须注意的是 在0 x 的区域 U 即 0 x 0 0E 3 2 1n n2 e E 22 4 s n L h 能级 n E 的简并度 1 0 2 12 n nnf l l 8 径向几率密度 2 2r R dr dW n n nl l l 表示半径为r的单位厚度的球壳内找到电子的 几率 角度几率密度 2 m m m Y d dW l l l ml 径向分布标志着 电子云 的尺度 即发现电子的几率随距离的变化 角度分布标 志着 电子云 的形状 即发现电子的几率随空间方位的变化 9 平均值公式 若F 的本征函数系 xx n 构成正交归一完全函数系 且 x n n n C dC 则力学量 F 在 x 态中的平均值为 2 n n nC F dC 2 x 已归一化 3 或 dCC dCC F n n n nn 2 2 2 2 x 未归一化 10 定义 两个算符A B 的对易关系为A B B A B A 11 基本对易关系 0 0 ji ji ijji pp xx ipx h 3 2 1 ji 注 xx 1 yx 2 zx 3 x pp 1 y pp 2 z pp 3 即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的 而和不对应的坐标分量是对易的 动量各分量和坐标各分量是对易的 12 角动量算符的对易关系 利用基本对易关系可以证明 xixL h pipL h 3 2 1 LiLL h LiLL r h rr 2 LL 0 3 2 1 13 测不准关系 又叫不确定关系 Uncertainty 设G F 是代表两力学量的厄米算符 且它们的对易关系为 G F k iF G G F 则 2 F 2 G 4 2 k 此即为G F 的测不准关系 14 力学量F的平均值随时间的变化满足 dt Fd 1 HF it F h 据此可知 如果F 不显含时间t 即0 t F 并且0 HF 即对易 则有 dt Fd 0 即F平均值不随时间变化 这时称F为运动恒量 即守恒量 此即为量子力学中的守恒 定律 四 典型例题 四 典型例题 例1 设体系处于 202111 YcYc 状态 已归一化 即 22 12 1cc 求 4 a z L 的可能测值及平均值 b 2 L的可能测值 相应的概率及平均值 解 11 Y和 20 YY11是 2 L和 z L 的共同本征函数 即 11 2 11 2 2 YYLh 20 2 20 2 6 YYLh 1111 YYLzh 0 20 YLz a z L 的可能测值为 0h 所相应的测值概率分别为 22 12 cc 所以 z L 的平均值为 2 1 cLzh b 2 L的可能测值为 2 2h和 2 6h 相应的测值概率分别为 22 12 cc 所以 2 L的平均值为 2 2 2 2 1 22 62ccLhh 例2 设处于无限深势阱中的粒子的态为 a x a x tx 2 sincos 0 4 0 ax 试求 1 测量粒子能量的可能值和相应几率 2 能量的平均值 解 设 0 x 的归一化系数为N 则 a x a x Nx 2 sincos 0 4 而势阱中粒子的能量本征值为 3 2 1 2 2 222 L h n a n En 能量本征函数为 x a n a x n sin 2 则 642 4 4 1 4 5 24 2 sincos 0 aN a x a x Nx 利用归一化条件 1 2 n n c 则可得归一化波函数 642 45 42 1 0 x 所以粒子能量的可能值分别为 2 22 2 2 a E h 2 22 4 8 a E h 和 2 22 6 18 a E h 5 相应几率分别为 42 252 2 c 42 162 4 c 和 42 12 6 c 能量的平均值 2 22 6 2 64 2 42 2 2 21 98 a EcEcEcE h 例3 利用LiLL r h rr 证明 L L x 2 L L y 2 L L z 2 0 证明 222 2 xzxyxxx LLLLLLLL zxzxzzyxyxyy LLLLLLLLLLLL zyyzyzzy LLiLLiLLiLLi hhhh 0 222 LLLLLL zzz 322322 zyzxzzzyzx LLLLLLLLLL zyyxzxxzxzxx LLLLLLLLLLLL yyzxzxxzxxxz LLLLLLLLLLLL 0 同理 可证 2 y LL0 例4 利用对易关系证明 zy LL x Li h 证明 zy LL xyzx pypxpxpz xyx pypxpz xyz pypxpx yx pxpz xx pypz yz pxpx xz pypx yx pxpz zx ppxy yz pzpyi h x Li h 例5 利用对易关系证明 yz pL x pi h 证明 yz pL yxy ppypx yy ppx yx ppy yy ppx yy ppx yx ppy xy ppy 6 x pi h 例6 一量子体系的哈密顿算符为 2 2 22 1 2 1 2 1 zyx L I LL I H 其中 21 I I为常量 试计 算该体系的能级 解 角动量平方和角动量z分量的本征值分别为 22 1 h llL和hmLz 则 2 2 2 2 1 2 1 2 1 zz L I LL I H 222 1 1 2 1 hhmll I 22 2 2 1 hm I 21 22 21 1 2 22 1 II mII I llhh 例7 已知 2 2 trU p H v v 求 dt rdv 解 1 Hr it r dt rdv h vv 而 0 t r v Hr v iji j ii epx p ex p r vv v v 2 1 2 2 2 2 2 p i ep i eppxpxp ijijijjijij 2 1vhvhv 注 iii i i exexr vvv 3 1 则 p dt rd vv 即 dt rd p v 1 第四章 态和力学量的表象 一 重点 第四章 态和力学量的表象 一 重点 量子力学的矩阵形式及表象理论 Dirac 符号运算规则 二 难点 二 难点 量子力学的矩阵形式及表象 三 内容提要 三 内容提要 1 在量子力学中 态和力学量的具体表示方式就叫表象 称以Q 的本征矢 xun为基 矢 基底 的 坐标系 为Q 表象 其中 xun为正交归一完全系 2 态矢量的表象 Q 表象中 n nn xutatx 其中 dxtxxutxxuta nnn M M ta ta ta n 2 1 即为波函数 t x 在Q表象中的矩阵表示 在Q表象中 态矢量的归一化条件可以写为 1 n nn tata 3 算符的矩阵表示 LLLLL LL LLLLL LL LL mnnn n n mn FFF FFF FFF FF 21 22221 11211 为F 在Q表象中的表示 为 nm 阶矩阵 其 中 dxxu xi xFxuF nmmn h 是 xi xF h 在Q表象中的矩阵元 4 算符在其自身表象中由一个对角阵表示 且对角元素为该算符的本征值 5 量子力学公式的矩阵表述 2 标积的表示 t x t x 平均值公式 F t x F t x dx对应的矩阵表述为F F Schr dinger 方程 t i h t x t x H 对应的矩阵表述为 t i h H 本征方程 xi xF h t x t x 对应的矩阵表述为 F 6 量子力学中态和力学量从一表象到另一表象的变换为幺正变换 满足 S 1 S 态矢 量的变换是 b Sa 1 S a 算符 力学量 的变换是 F F FSS FSS 1 幺 正变换不改变算符F 的本征值 7 量子态可用 Dirac 符号刃矢 又称 ket 矢量或右矢 A或刁矢 又称 bra 矢量或左 矢 A表示 Dirac 符号的最大好处是它可以不依赖于表象 基矢的完备性 Inn n 单位算符 插入算符或恒等算符 1qdqq 或1qqdq 称为q的封闭性 1qdqqnn n 8 量子力学公式的 Dirac 符号表示 t xt x xi xF h F x x或 F t x xi xH t x t i h h H xx t ih或 H t ih xuExu xi xH nnn h nEnH n dxt x xi xF t xF h dxxF xF或 F F mnnm dxxuxu mn nxdxxm 或 mn nm dxx x ua nn xdxxnn 9 占有数表象 3 以线性谐振子哈密顿H 的本征刃n为基刃 令 p ixa 2 p ixa 2 称 a 为湮灭 或消灭或下降 算符 a 为产生 或上升 算符 1n1nn a 1nnn a N a a 为粒子数算符 线性谐振子哈密顿算符 H 2 1 a a h 2 1 N h 四 典型例题 四 典型例题 例 1 一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为 x a cosx a sin a 4 x 2 求此函数在 能量表象中的表示 解 一维无限深势阱中粒子的本征解为 2 222 n a2 n E h L 2 1n x a n sin a 2 n ax0 1 nnna 1 1 nnna 证明 p i xa 2 2 1 h x x h h 2 2 1 p i xa 2 2 1 h x x h h 2 2 1 令 x h 则 2 1 a 2 1 a 将a 作用于谐振子哈密顿算符的第n个本征态 n 得 a n n n He N 2 2 2 1 2 1 2 nn HeNn 1 n n a n n n He N 2 2 2 1 2 1 2 1 nn HeNn 1 1 n n 用狄拉克符号表示 即为 1 nnna 1 1 nnna 1 第五章 微扰理论 一 重点 第五章 微扰理论 一 重点 定态微扰论的方法和使用条件 非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波 函数的计算方法 二 难点 二 难点 简并微扰论 含时微扰理论 跃迁几率 光的发射与吸收 三 内容提要 三 内容提要 1 定态微扰理论 适用范围 求分立能级及所属波函数的修正 适用条件 要求保证 0 H 的本征解已知或可精确求解 同时要求 0 H 把H 的主要部分尽 可能包括进去 从而使得微扰部分 0 HH 以保证微扰计算收敛很快 即 1 EE H 0 m 0 n mn 吸收系数 km B等于受激发射系数 mk B 即 2 2 22 3 4 mk s mkkm r e BB r h 自发发射系数为 2 mk 3 3 mk 2 s km 23 3 mk mk r c3 e4 B c A r h h 3 原子由 m 态自发跃迁到 k 态的总辐射强度为 2 3 42 3 4 mk mks mmk r c e NJ r 四 典型例题 四 典型例题 例1 设体系的哈密顿在 0 H 表象中的表示为 bEa abE H 0 2 0 1 其中 0 2 0 1 E E为 0 H的能级 b a为小实数量 试用非简并定态微扰公式计算体系能量的二级近似值 解 bEa abE H 0 2 0 1 0 2 0 1 E0 0E ba ab 0 HH 其中 H ba ab 即微扰哈密顿的矩阵元为 22 11 HH b 21 12 HH a 而能量的二级近似公式 0 m 0 n 2 nm m nn 0 nn EE H HEE 所以 0 2 0 1 2 0 11 EE a bEE 0 1 0 2 2 0 22 EE a bEE 例2 设在体系的哈密顿中 0 H的能级为各不相等的 0 3 0 2 0 1 EEE 并且微扰哈密顿在 0 H表象中的表示为 2 2 0 2 H 其中 为小实参量 试用微扰理论计算体 系能量的二级近似值 解 2 1 1 1 0 11 EEEE m m m EE H E 0 0 1 2 1 0 1 0 3 0 1 2 0 2 0 1 2 0 1 4 EEEE E 2 2 1 2 0 22 EEEE 4 m m m EE H E 0 0 2 2 2 0 2 0 0 3 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 EEEE E 2 3 1 3 0 33 EEEE m m m EE H E 0 0 3 2 3 0 3 2 0 1 0 3 2 0 2 0 3 2 0 3 4 2EEEE E 例3 粒子处于宽为L Lx 0 的一维无限深势阱中 并受到微扰axH a为常 数 的作用 试求粒子能量以及波函数的一级修正 解 宽为L的一维无限深势阱中 质量为 的粒子的能级为 2 2 22 0 2 n L En h 其波函数为 L xn L x n sin 2 0 3 2 1n 能级的一级修正为 ydyy n L L a dx L xn x L a HE nL nnn 0 2 2 0 2 1 sin 2 sin 2 aLy n aL dyyy n aL n n 2 1 2 1 2cos1 0 2 22 0 22 可见能量的一级修正与n无关 即任何能级都有相同的一级修正值 波函数为 0 0 0 0 m mn mn m nn EE H 其一级修正为 0 0 0 1 m mn mn m n EE H x 微扰的矩阵元 dxHH n L mmn 0 0 0 dx L xn L xm x L a L 0 sinsin 2 11 4 2 2 22 nm nm Lamn 所以波函数的一级修正为 x n 1 2222 2 2 mn L m h 11 4 2 2 22 nm nm Lamn x L m L sin 2 5 24 3 8 h anL L 2 m nm nm m 11 3 22 x L m sin 例4 粒子处于宽为a的一维无限深势阱中 若微扰为 2 2 0 axab axb H 试求粒子 能量和波函数的一级修正 解 1 能量的一级修正 按公式 dx a xn a b dx a xn a b dxHE a a a n a nn 2 2 2 0 2 0 0 0 1 sin 2 sin 2 dyy n b dyy n b n n n 2 2 2 0 2 sin 2 sin 2 22 12 22 12 n n n bn n b 0 即能量的一级修正为0 2 波函数的一级修正按公式为 a xk kn H a a EE H kn k k kn kn k n sin 22 22 22 2 0 00 1 h 其中 dxHH n a kkn 0 0 0 dx a xn a xk a b dx a xn a xk a b a a a 2 2 0 sinsin 2 sinsin 2 dx a x nk a b dx a x nk a b aa 2 0 2 0 coscos dx a x nk a b dx a x nk a b a a a a 22 coscos 2 sin nk nk b 2 sin nk nk b 2 sin nk nk b 2 sin nk nk b b2 2 sin 1 nk nk 2 sin 1 nk nk 6 所以波函数的一级修正为 22 22 2 sin 24 kn a xk a ba k n h 2 sin 1 nk nk 2 sin 1 nk nk 当nk 及nk 为偶数时 0 n 第六章第六章 散射散射 一 重点一 重点 微分散射截面 总散射截面 散射振幅 分波法 玻恩近似法 二 难点二 难点 分波法的推导 适用范围 适用于低能散射 玻恩近似法的适用范围 适用于高 能散射 三 内容提要三 内容提要 1 基本概念 1 散射截面 散射截面有微分散射截面与总散射截面之分 所谓微分散射截面 指 的是在碰撞过程中单位时间内散射到 方向单位立体角内的粒子数与入射粒子流强 度 N 之比 即 dn q Nd 而总散射截面为 Qqd 2 散射振幅 若取散射中心为坐标原点 用 U r表示入射粒子与散射中心之间的相 互作用势能 则体系的薛定谔方程为 2 2 2 UE h 若令 2 2 2 E k h k v h 2 2 V rU r h 则薛定谔方程可写为 22 0kV r 假设r 时 U r 0 这样波函数在r 的地方应由两部分组成 一部分是描写入 射粒子的平面波 1 ikz e 另一部分是描写散射粒子的球面波 2 ikr e f r 即 12 ikr ikz r e ef r 据此可知微分散射截面为 2 qf f 因此称为散射振幅 2 基本方法 1 分波法 此方法适用于低能散射 据此得到的微分散射截面为 2 2 0 1 21 cos sin l i ll l qlPe k 其中 l 是入射波经过散射后第 l 个分波的相移 第 l 个分波的散射截面为 2 2 4 21 sin ll Ql k 总散射截面为 0 l l QQ 2 玻恩近似法 如果入射粒子的动能比粒子与散射中心相互作用的势能大得多 以 致势能 U r可以看作是微扰时 玻恩近似法便可以用来计算散射截面 由此得到的微分 散射截面为 2 2 24 0 4 sin qrU rKr dr K h 此方法适用于高能散射 四 典型例题四 典型例题 例1 对低能粒子散射 设只考虑s波和p波 写出散射截面的一般形式 解 2 2 0 1 21sincos l i ll l qleP k 只考虑s波和p波 则只取1 0 l 于是 01 2 001 1 2 1 sincos3sincos ii qePeP k 1cos 0 P coscos 1 P 代入上式 得 01 2 01 2 1 sin3sincos ii qee k 例2 用波恩近似法计算如下势散射的微分截面 a 0 0 Vra V r ra b 2 0 r eVrV c r e rV d V rr 解 本题的势场皆为中心势场 故有 2 0 2 sin u frV rKr dr K h 2 sin 2 Kk 1 22 2 42 0 4 sin u qfrV rKr dr K h 2 a 0 0 2 0 sinsincos a V rVKr drKaKaKa K 所以有 22 2 0 46 4 sincos u V qKaKaKa K h b 2 2 0 0 00 sin 2 rriKriKr V r V eKr drr eeedr i 22 22 2424 0 00 2 iKKiKK rr V r edrr edr i 22 2 4 22 0 00 2 iKiK rr K V er edrr edr i 2 4 0 12 2 K V eII i 3 其中 1 I 2 2 0 iK r r edr 22 22 00 2 2 iKiK rr iK riKedredr 22 00 2 iK eded 32 1 2 4 iK 4 类似地可求得 2 I 2 2 0 iK r r edr 32 1 2 4 iK 5 4 5 代入 3 得 222 44 00 033 0 22 sin 2 24 rKK VV KiK r V eKr dree i 6 代入 2 得 2 22 2 0 43 4 K u V qe h 7 c 00 sinsin r r e rKr dreKr drI r 0 sin r Kr de 0 0 sincos rr KreKeKr dr 0 1 cos r K Kr de 2 0 0 cossin rr K KreKeKr dr 2 1 KK I 由此解得 I 22 0 sin rK e rKr dr r K 8 代入 2 式 解得 2 222 24222 422 44uKu q KK K h h 9 把 V rr 代入 3 2 2 iK r u fd r eV r uu r rrr h 得 3 2 2 iK r u fd r er uu r rrr h 2 2 h u 有 q 42 22 2 2 h u f 10 可见 q 与 均无关 是各项同性的 q 4 22 h u 例3 计算低能粒子散射截面 只考虑s波 设粒子自旋为21 相互作用为 ar arV rV 0 210 vv v 1 0 0V 入射粒子和靶粒子均未极化 提示 计及粒子的全同性 对于s态 0 l 空间波函数对称 两粒子自旋之和必为0 s 单态 所以 ar arV rV 0 3 0 1 解 自旋为21的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的 s波 0 l 波函 数是两粒子空间坐标的对称函数 所以自旋波函数必须是反对称的 即为自旋单态 因 此 体系总自旋为0 亦即 3 21 vv 对于低能s波散射 式 1 等价于球方势阱 ar arV rV 0 3 0 1 在质心系中 s波空间波函数可以写成 rrur 2 其中r为两粒子的相对距离 即0 21 Errr时 径向方程为 0 2 2 urVu u h 3 亦即 aru aruku 0 0 2 0 0 E 3 其中 hh 000 36mVuVk 4 m为粒子质量 2m 为两粒子体系的约化质量 方程 3 满足边界条件 00 u的解为 ar a r C arrkA ru 1 sin 0 0 5 其中 0 a为散射密度 待定 0 a 即散射振幅 利用ar 处uu 的连续条件 求得 0 a 1 tan 0 0 ak ak a 6 0 af 1 tan 0 0 ak ak a 7 由于是全同粒子散射 s波微分截面为 q 2 0 2 4aff 8 总截面 自旋单态 s波 为 2 0 416Qqa 9 考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的 自旋指向取随机分布 两粒子形成自旋单态 0 s的几率为 4 1 形成自旋三重态 1 s的几率为 4 3 后若对s波散射无贡献 因 此 有效的总截面为 2 22 0 0 0 tan1 441 4 k a QQaa k a 有效 10 在不发生共振散射的条件下 散射振幅和散射截面均和入射能量无关 这是低能散射的 特点 共振散射的条件为 0 a 亦即 参考式 6 L 2 5 2 3 2 0 ak 11 这正是势阱的 阱口 出现束缚能级 0E的条件 这时式 9 和 10 应改为 22 2 2 16832 16 c Qf kuEmE hh 12 2 18 4 QQ mE h 有效 其中E为实验室坐标系中入射中子动能 2EEc 为质心系中总动能 ukEc2 22 h 1 第七章