数列和公式求解II.ppt

数列和公式求解II 通项为自然数的等差数列 如果把前n项和的公式作为通项公式 重新组成数列 它前n项和的公式又是什么呢 问题的由来 磁棒与钢珠的玩具 叠成图示的正四面体形状 其中一共有多少钢珠 又有多少磁棒呢 钢珠和磁棒要是一个一个地数 肯定不那么方便 能不能用公式算一算呢 不难看出 钢珠从上往下一层层的数量是1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 磁棒也一样 只不过6根是一个单元量 磁棒单元要比钢珠少一层 这个1 2 3 n的数列和 毕竟只是每一层的数量 计算总量 原先的数列和公式就变成了通项公式 那么新的数列和公式又是什么样的呢 首先找规律 这是计算机求出的数列表很明显 不论原数列还是新数列 只要项数n为零 数列中就没有数项 数列和 n就为零 故数列和公式中没有常数项 即 函数形象为y ax bx2 cx3 dx4 ex5 fx6 选取最上面的5行数字列方程组 1 a b c d e4 2a 22b 23c 24d 25e10 3a 32b 33c 34d 35e20 4a 42b 43c 44d 45e35 5a 52b 53c 54d 55e即1 a b c d e4 2a 4b 8c 16d 32e10 3a 9b 27c 81d 243e20 4a 16b 64c 256d 1024e35 5a 25b 125c 625d 3125e A 逐步消元 方程组化简 得1 a b c d e2 a 2b 4c 8d 16e10 3a 9b 27c 81d 243e5 a 4b 16c 64d 256e7 a 5b 25c 125d 625e用1 a b c d e消a 得1 b 3c 7d 15e7 6b 24c 78d 240e4 3b 15c 63d 255e6 4b 24c 124d 624e由1 b 3c 7d 15e 得6 6b 18c 42d 90e3 3b 9c 21d 45e2 2b 6c 14d 30e 对应式相减7 6b 24c 78d 240e4 3b 15c 63d 255e3 2b 12c 62d 312e消b得1 6c 36d 150e1 6c 42d 210e1 6c 48d 282e用1 6c 42d 210e消c 得0 6d 60e0 6d 72e消d得0 12e则e 0d 0c 1 6 解方程得到公式 其实 消b后即可得知 d 0 e 0 方程组只有a b c三个未知数将c 1 6代入1 b 3c 得b 1 3 6 1 2将b值 c值代入1 a b c 得a 1 1 2 1 6 1 2 1 6 1 3即y x 3 x2 2 x3 6于是求得数列和公式Sn n3 6 n2 2 n 3 n3 3n2 2n 6 n n 1 n 2 6生活中 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 这样的排列 相信大家并不陌生吧 看电影看电视 你也没有见过人们在宴会上 把高脚杯像这样叠放起来倒酒吗 排列还有其他数列 说到高脚杯 又使我想到类似的其他排列 产品展销会的一个个包装盒 多半都是摆成12 22 32 42 或者1 2 2 3 3 4 4 5 然而12 32 52 72 的情况就相对要少一些 现在 只要将1 3 6 10 n n 1 2 n n 1 n 2 6这个数列的公式与基本的数列公式进行组合 其余这几个数列和的公式 我们不用列方程 也可以一个个地求出来了 其他数列不用列方程 1 2 2 3 3 4 n n 1 这个数列前n项和的公式 我们一看通项公式 就知道Sn n n 1 n 2 3 12 22 32 n2这个数列 通项比n n 1 的数列少了一个n 通项为n的数列 前n项和就是n n 1 2 只要两个数列和相减 就可以得到新的数列和 Sn n n 1 n 2 3 n n 1 2 n n 1 2n 4 3 6 n n 1 2n 1 6 还有12 32 52 72 数列的通项公式 2n 1 2 4n2 4n 1 它的数列和公式就把通项为 n2的数列和公式 与 个 加起来 Sn 4n n 1 2n 1 6 4n n 1 2 n 2n 2n2 3n 1 3 2n n 1 n n 4n2 6n 2 6n 6 3 3 n 4n2 1 3 n 2n 1 2n 1 3 总结经验有收获 问题虽然得到了解答 可是在求解过程中 第一个数列我们盲目地设置了 个未知数 列了 条方程 实际上却只需求解 个未知数 其余两个不仅没用 而且给消元造成了极大的麻烦 怎样使求解过程简化呢 确定最高次项的指数是个关键 确定了最高次项的指数以后 最高次项的指数是多少 必须设的未知数就有多少个 必须列的方程就有多少条 求解过程就简便多了 通常 像这样通项公式 前 项和公式都是幂函数形式 ax bx2 cx3 的数列都有规律 前 项和公式中 项数 的最高次数 比通项公式的大 在求解过程中 我们已经看到 自然数的等差数列 通项为 数列和的最高次项就是n2 我们求的这些数列 通项公式都是二次式 数列和公式也都是三次式 此外 我们只要列方程组求得一个数列和公式 就可以通过公式组合 得到同类的公式 收获还真不小啊 有了这个经验 今后其他的公式求解就会变得简单了 这次我们算的 只是几个通项公式为二次式的数列 还有通项公式为三次式的13 23 33 n3 或者1 2 3 2 3 4 3 4 5 等等 今后我们还可以用同样方法进行求解 得到经验立即试试 一不做 二不休 利用刚才的方法 我们再求几个通项为三次式的数列 先看看13 23 33 n3 通项公式为三次式 数列和就是四次式 方程就要列4个 1 8 27 64 结果依次是1 9 36 100 看到这里 你可能会说 这不正是我们前面求得的1 3 6 10 的二次方嘛 别着急 我们还是先列方程算一算 2 2a 2b 2c 2d9 2a 4b 8c 16d12 a 3b 9c 27d25 a 4b 16c 64d消a 得7 2b 6c 14d11 2b 8c 26d24 3b 15c 63d 用8 b 5c 21d消b 得9 4c 28d5 2c 16d消c 得1 4d由d 1 4求得c 5 16d 2 5 4 2 1 2代入14 4b 12c 28d 得b 14 12c 28d 4 14 6 7 4 1 4则a 0 b 1 4 c 1 2 d 1 4于是得到公式Sn n4 4 n3 2 n2 4 n2 n2 2n 1 4 n 1 2 2真的是1 3 6 10 的二次方啊 再做几个公式组合 自然数n3的数列 Sn n 1 2 2 接下来我们还是看看奇数 2n 1 3的数列展开通项公式 得 2n 1 3 8n3 12n2 6n 1公式组合 得Sn 8n2 n 1 2 4 12n n 1 2n 1 6 6n n 1 2 n 2n2 n2 2n 1 2n 2n2 3n 1 3n n 1 n 2n4 4n3 2n2 4n3 6n2 2n 3n2 3n n 2n4 n2即 13 33 53 2n 1 3 n2 2n2 1 下面再看看连续的三数相乘 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n n 1 n 2 展开通项公式 得n n 1 n 2 n3 3n2 2n公式组合 得Sn n4 2n3 n2 4 3 2n3 3n2 n 6 2 n2 n 2 n4 2n3 n2 4n3 6n2 2n 4n2 4n 4 n4 6n3 5n2 6n2 6n 4 n2 n 1 n 5 6n n 1 4 n n 1 n2 5n 6 4即 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 4 发现问题找规律 数列和公式求出这么多个 你有没有发现问题呢 看1 2 3 4 n n n 1 21 2 2 3 3 4 n n 1 n n 1 n 2 31 2 3 2 3 4 3 4 5 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 4三个数列的公式呈现出这个样子 其中有什么规律吗 我们换个方法求数列和看看为了计算方便 每个数列我们都只取前三项1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 3 1 3 4 2 2 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 2 3 4 21 2 2 3 3 4 1 2 3 2 3 4 1 3 4 5 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 3 4 5 31 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 3 4 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 4 3 4 5 6 4原来如此 那么通项相乘的连续数字再多 我们也知道数列和公式了 这样的数列求数列和 第一步都是把最后一项再乘以后面紧接的一个自然数 第二步 数列中每一项有几个数字相乘 就除以比它大1的数字 例如通项为n n 1 n 2 n 3 数列和就是n n 1 n 2 n 3 n 4 5 公式求解有了新方法 通项为连续几个自然数乘积的数列 前n项和的公式这么简单 找到规律以后 求解其他的数列和公式 我们就可以用这些公式组合得到 再也不用列方程组了 要是忘记了前边的这些数列和公式 我们也不怕了 还是奇数三次方13 33 53 73 2n 1 3的数列和 我们换个求法 通项公式展开变形 得an 2n 1 3 8n3 12n2 6n 1 8n3 24n2 16n 36n2 10n 1 8n n 1 n 2 36n2 36n 26n 1 8n n 1 n 2 36n n 1 26n 1公式组合 得Sn 8n n 1 n 2 n 3 4 36n n 1 n 2 3 26n n 1 2 n 2 n4 6n3 11n2 6n 12 n3 3n2 2n 13 n2 n n 2n4 12n3 22n2 12n 12n3 36n2 24n 13n2 13n n 2n4 12n3 12n3 22n2 13n2 36n2 12n 13n 24n n 2n4 n2 继续分析总结 同样方法 不列方程 还可以求出通项是几个连续自然数乘积的倒数的数列和公式通项为1 n n 1 用1 1 2 1 2 3 1 3 4 算算Sn 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 4 1 1 n 1 通项为1 n n 1 n 2 用1 1 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 算算Sn 1 2 3 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 3 3 4 5 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 4 1 3 4 1 4