振动力学2.ppt

简谐振动的合成 同方向同频率的简谐振动的合成 同方向不同频率的简谐振动的合成 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 相互垂直的不同频率的简谐振动的合成 一 同方向同频率的简谐振动的合成 1 分振动 一物体同时参与两个在同一直线上的同频率的简谐振动 其表达式为x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 2 合振动 x x1 x2 注意 A与A1 A2及 2 1都有关 同方向同频率的简谐振动的合振动必然是简谐振动 其角频率仍为 A 可由旋转矢量法导出 这比用解析法方便 t 0时合成振动如右图所示 当A1 A2同时以 的角速度转动时 A同样以 的角速度转动 得合成运动为 X Acos t 由矢量合成的平行四边形法则 显然合成振动的振幅不仅与A1 A2有关 也与 1 2有关 2 若两分振动反相 2 1 2k 1 则A A1 A2 两分振动相互减弱 以上k 0 1 2 如再有A1 A2 则A 0 此情形下 振动加振动等于不振动 其它情况下 A1 A2 A A1 A2 3 两种特殊情况 讨论振幅A 1 若两分振动同相 2 1 2k 则A A1 A2 两分振动相互加强 例 求两同方向 同频率谐振动X1 4cos 3t X2 2cos 3t 3 的合成谐振动方程 解 合成后 不变 X Acos 3t A1 4 A2 2 1 0 2 3 合振动方程 例 两个同方向同频率的简谐振动 其振动表达式分别为 则它们的合振动的振幅及初位相为 B 解 例 图中所画的是两个简谐振动曲线 若这两个谐振动是可迭加的 则合成的余弦振动的初相为 C 解 两振动反相 例题三个谐振动方程分别为 画出它们的旋转矢量图 并在同一x t坐标上画出振动曲线 写出合振动方程 合振动方程X 0 设它们的振幅相等 初相位依次差一个恒量 其表达式为 在 OCP中 同方向的N个同频率简谐振动的合成 合成后仍为谐振动 所以 合振动的表达式 上两式相除得 讨论1 即各分振动同相位时 合振动的振幅最大 当 讨论2 这时各分振动矢量依次相接 构成闭合的正多边形 合振动的振幅为零 以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用 当且 重要的特例 可得 各分振动同相 各分振动的初相差为 为不等于nk的整数 可得封闭多边形 例 n 4时 二 同方向不同频率的简谐振动的合成 1 分振动 设为 2 合振动 同方向不同频率的简谐振动合振动不是简谐振动 当两个分振动的振幅相等而且在两个分振动矢量重合的时刻开始计时 合成也是非简谐振动 随t缓变 随t快变 若 1 2均较大 而差值较小 上式变为 这时振动方程可以看成是被A 调制的振动 是振幅有周期性变化的 简谐振动 令 合振动的 振幅 时而大 为2A 时而小 为0 这种两个频率都较大但是相差又很小 同方向简谐振动合成时 合振动有忽强忽弱的现象 称为 拍 单位时间内振动加强 或减弱 的次数叫拍频 拍 播放教学片CD2拍 振动合成后 振幅出现时而加强 时而减弱的现象 拍 三 相互垂直的同频率简谐振动的合成 1 同频率 将两式联立 消去t 可得 再将上两式平方后相加即可得 合运动一般不是简谐振动 1 合运动一般是在2A1 x向 2A2 y向 范围内的一个椭圆 2 椭圆的性质 方位 长短轴 左右旋 在A1 A2确定之后 主要决定于 2 1 1 2 1 2k 讨论 直线是退化了的椭圆 2 2 1 2k 1 Y A2cos t 2 A2cos t 1 3 2 1 2Y A2cos t 2 A2sin t 1 是长短轴分别在x y方向上的椭圆 当A1 A2时是圆形 讨论 1 2 2x方向的振动比y方向的振动超前 2即 当某一瞬时 即质点在图中p点 经过很短时间后 略大于零 y将略小于A2 为正 而 略大于 2 x将为负 所以质点运动到第二 象限 即质点沿椭圆逆时针运动 y相位领先 则为右旋 x相位领先 则为左旋 所以 反之 2 1 2 质点沿椭圆顺时针方向运动 4 一般情况 表示一个长短轴在任意方向的椭圆 轨迹的旋转矢量作图法 y相位领先 设x 1y 2 两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹 四 相互垂直的不同频率简谐振动的合成 其情形复杂 轨迹曲线一般不稳定 随t变化 也不一定闭合 即合成运动不一定是周期性运动 如果两个互相垂直的振动频率成整数比 合成运动的轨道是封闭曲线 运动也具有周期 这种运动轨迹的图形称为李萨如图形 例 下图是 x y 3 2 2 0 1 4时的李萨如图形 阻尼振动 实际振动系统因受阻力作用其振幅会不断减小 称为阻尼振动 常见的阻力可写成 质量为m的物体在弹性回复力和上述阻力作用下的动力学方程 上式的解与阻尼因素 的大小有关 分为欠阻尼 临界阻尼和过阻尼三种情形 为阻力系数 1 欠阻尼情况 方程的解 系统作准周期振动 振幅不断减小 频率为 可由初始条件 x0 v0 求出 为表示阻尼的大小 定义 对数简缩 3 临界阻尼情况 方程的解 此时振动系统刚刚不能作准周期振动 而很快回到平衡位置 上两式中C1 C2均由初始条件确定 此时根本无振动发生 2 过阻尼情况 方程的解 受迫振动和共振 系统受弹性力 阻力外 还受周期性策动力 其动力学方程 注意此时有两个频率 系统固有频率 0和驱动力频率 当系统振动的频率 驱动力的频率 系统稳定 此稳定解与简谐振动很相似 但很不一样 是策动力的角频率 与系统本身的性质无关 振幅A为最大值 这称为共振现象 注意 在弱阻尼 情况下 当 稳定振动解 共振时 振动系统能最大限度地从外界获得能量 因为此时 即策动力与速度同相 策动力总是作正功 系统就能最大限度从外界获得能量 振幅可达最大值 荡秋千 有 随后在大风中因产生共振