第4章 动量和角动量.ppt

牛顿定律是瞬时的规律 有些问题中 如 碰撞 宏观 散射 微观 只关心过程中力的效果 即始末态间的关系 对过程的细节不感兴趣 作为一个过程 我们关心的是力对时间和空间的积累效应 力在空间上的积累 作功 改变动能 力在时间上的积累 第4章动量和角动量 4 1动量定理与动量守恒定律 为力在时间上的积累效应 定义为元冲量 即力F在t t dt时间内给质点的冲量 在有限时间内 initial final 一 质点的动量定理 牛顿2nd定律 动量定理 讨论 1 冲量是矢量 2 在冲击等过程中 力的作用时间很短暂 而力随时间的变化却很复杂 无法通过力的积分计算冲量 并估算力的平均冲力 4 动量与参照系有关 但动量差值与参照系无关 因此 动量定理适用于所有惯性系 3 动量定理适用于任何形式的质点运动 但在讨论如冲击 碰撞等过程时更方便 讨论 解 1 根据动量定理 例4 2 质量为m的行李 垂直地轻放在传送带上 传送带的速率为v 它与行李间的摩擦系数为 试计算 1 行李将在传送带上滑动多长时间 2 行李在这段时间内运动多远 1 以地面为参照系 2 由质点动能定理 解 或 设有N个粒子 外力用Fi 内力 即粒子之间的相互作用 为fij 对所有粒子求和 二 质点系的动量定理 则第i粒子的运动方程 共有N个方程 依牛顿第三定律 因内力总是成对出现 fij和fji 为质点系的总动量 为质点系所受到的合外力 质点系的动量定理 即 与单个质点的动量定理形式上相同 1 合外力沿某一方向为零 可得到该方向上的动量守恒 尽管总动量不守恒 三 动量守恒定律 质点系所受合外力为零 质点系总动量不随时间改变 注意 质点系动量守恒定律 2 在某些情况下 如碰撞 打击 爆炸等过程 外力与内力相比小很多 3 动量定理只适用于惯性系 在极短的时间内 外力的时间积累 冲量 相比之下可以忽略不计 我们可以有近似的动量守恒 4 在牛顿力学的理论体系中 动量守恒定律是牛顿定律的推论 但动量守恒定律是更普遍 更基本的定律 它在宏观和微观领域 低速和高速范围均适用 例4 3 已知高H 傾角为 的斜面光滑 小车质量M 从顶端滑至中点时刚好有一钢球m从h高度掉入 求小车到达底部时的速度V 解 m M系统 冲击过程 由于m与M间的冲击作用力远大于重力在斜面上的分量 重力在冲击过程中可以忽略 斜面方向动量守恒 冲击过程后 m M 地球系统机械能守恒 解得 4 2质心与质心运动定律 一 质心 考虑两个质点组成的 孤立体系 不受外力 由动量守恒得 式中定义 它表示一个位置 如图 c称为系统的质心 centreofmass 设 结果表明 如果将两粒子系统看作一个质量集中在的一个质点 则质点系的运动就等同于一个质点的运动 该系统的动量就等于该 质点 的动量 系统的动量守恒就等同于该 质点 的动量守恒 将上述讨论推广到N个粒子系统 定义质量中心 分量形式 对连续分布的物质 可以将其分为N个小质元 分量形式 式中 体分布 面分布 线分布 例4 4 求半圆环的质心 质心不一定位于物体内部 解 思考 求质量均匀的半圆盘的质心 二 质心运动定理 设想系统在外力的作用下运动 则质心速度为 质心运动定理 结果表明 如果将两粒子系统看作一个质量集中在的一个质点 则质点系的运动就等同于一个质点的运动 指平动 当质点系受到的合外力为零时 质心保持静止或匀速直线运动 动量守恒 4 3角动量与角动量定理 一 力矩 力是物体运动状态改变的原因 力可使物体产生平动或转动 力矩 遵从牛顿2nd定律 遵从什么规律 遵从角动量定理 力矩 还与力的方向 作用线到转轴的距离 有关 不仅与力的大小有关 考虑到力矩与转动的方向 定义 称为力对转轴的力矩 力矩方向如右上图所示 力对参考点O的力矩 为参考点到力的作用点的矢量 力矩大小 这种定义适用于质点绕固定点的转动 二 角动量 类似于力矩的定义 可定义质点对参考点的角动量 角动量大小 方向如图所示 满足右手规则 满足右手规则 L单位 kg m2 s或J s 注意 同一质点相对于不同的参考点 角动量可以不同 在说明质点的角动量时 必须指明是对哪个点而言的 三 质点的角动量定理 微分公式 转动定律 适用于质点对参考点的转动 对比冲量 定义元冲量矩 角动量定理 积分有 四 角动量守恒定律 由角动量定理 当 1 mvrsin const 2 轨道在同一平面内 说明 开普勒第二定律 开普勒第二定律 绕 固定轴 的角动量定理和守恒定律 设固定轴为z轴 则绕该轴的角动量守恒 若绕固定轴的力矩为0 即 力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力对该轴的力矩 质点对点的转动定律 其中 质点对轴的转动定律 绕 固定轴 的角动量定理和守恒定律 设固定轴为z轴 则绕该轴的角动量守恒 若绕固定轴的力矩为0 即 质点对点的转动定律 质点对轴的转动定律 质点的角动量守恒 由质点对轴的角动量定理 如果质点所受的力对轴 例如z轴 的合力矩为零 则质点对该轴的角动量就不随时间改变 质点对轴的角动量守恒定律 讨论 1 天体系统为什么不坍缩 2 人造地球卫星为什么会掉下来 天体系统角动量守恒 太空中无气体 故无摩擦力 大气对卫星的摩擦力 不是有心力 相对于地心的力矩使卫星的角动量不断减小 例4 5 发射宇宙飞船去考察一质量为m1 半径为R的行星 当飞船静止于距行星中心4R处时 以速度发射一质量为m2 m2远小于