2013届高三数列的基本题型..doc

数列基本题型一、由数列的前几项求通项：1根据下面各数列前几项的值，写出一个通项公式：（1）；解：（1）先求的通项公式，=1+。 （2）3，5，9，17，33，；解：（2），。或， =（3）1，3，6，10,15，21，；解：（3），。 =。（4），；解：（4）各项的分母分别为，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3。因此把第1项变为，至此原数列已化为：， 。 注：先找出部分项满足的公式，然后将其余的项向这个公式变化即可。2.在数列中，已知，当时，是的个位数，则 43.若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数n，都有，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k1个k，则=_。23解：1；2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4，4，4；4. 在数列中，已知，当时，是的个位数，则 .45. 已知数列的首项，且，则 6.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状： 记表示第m行的第n个数，则 .937. 根据下面一组等式：可得 . 8. 用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m1269. 把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大顺序排成一列，得到一个数列，若，则 。10281 1 2 3 4 2 45 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 . .图甲 图乙二、由数列前项和求通项：1. （2011四川文9)数列an的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n1),则a6= 。3 44解析：由题意，得a2=3a1=3.当n1时，an+1 =3Sn(n1) ，所以an+2 =3Sn+1 ，-得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 44.2.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk0，0，从而。因此。 方法二：由方法一知。 。 方法三：作为填空题可用不完全归纳法。由，可求得。于是可猜想：。注：一般地只要数列满足，（常数）都可以用累乘法。 （三）换元法：1在数列中，则通项 _.解：，从而可知：数列是以为首项，2为公比的等比数列。2设数列的前项和为 已知。（I）设，证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式。解：（1）由，有，两式相减得，变形为，即，由得，于是，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列。(2)由（1）得，即，所以，且，于是是首项为，公差为的等差数列，所以，从而。3.已知数列的首项，其递公式为，求数列的通项公式。解：，又。从而，。 故为以为首项，为公差的等差数列，因此。 注：本题可推广为：已知数列的首项，其递公式为，求数列的通项公式。 4已知数列满足。求数列的通项公式。解：，从而是以为首项，2为公比的等比数列。因此，。四、求数列的最大与最小项：1已知数列的通项公式，当为 时，取最大值。（，或）2若数列的通项公式为，则数列的最大项为 ，最小项为 。（， ）解：令，。当，即时；，即，时，。五、等差数列：（一）等差数列的基本量：1.（2011江西文5）设为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则= .20解：，又，。2.(2012北京理)已知等差数列为其前项和.若，则 , 解： 3已知是等差数列，则该数列前10项和等于 。（ 100）4. 记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差 3（二）等差数列前项和最值：1已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 。 解：由+=105得即，由=99得即 ，由得，2在等差数列中，Sn是它的前n项的和，且，给出下列命题：此数列公差；是各项中最大的一项；是Sn中的最大项是递增数列。其中真命题的序号是 。（把你认为是真命题的所有序号都填上）3在等差数列中，已知，则使它前项和取得最大值的正整数是 。（ 5或6 ）解：0,则由(3)知2972n(n-1)dn(n-1)(n-1)2故只可能有n=97.于是(3)化为 a+48d=97此时可得n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1若d=0时，则由(3)得na=972,此时n=97,a=97 或 n=972，a=1故符合条件的数列共有4个（八）等差数列的实际应用： 1大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短（假定相邻两层楼梯长相等）？分析：设在第k层的临时会议室满足要求，相邻两层楼梯长相等为a，则上楼的人走的路程分别为a，2a，(k2) a，(k1) a；下楼的人走的路程分别为a，2a，(nk1) a，(nk) a解：设相邻两层楼梯长为，位参加人员上、下楼梯的总路程和为，则，当为奇数时，取，达到最小值；当为偶数时，取或，达到最小值。2. 设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设等差数列的公差为d. 由已知得，即解得.故. （2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，.整理得， 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 六、等比数列：（一）等比数列的基本量：1等比数列中，则公比q的值是 （1或）2.（2011辽宁文）若等比数列满足，则公比为 。4解：，又由知，故。（二）等比数列的前项的和：1设等比数列的前项的和为，若，则数列的公比= 。解：方法一：若，则，又，得，显然。，整理，得，即。，从而，即，因而。方法二：。同理。，又，即，因而。（三）定义证明（判断）等比数列1是实数构成的等比数列，是其前项和，则数列 中 。（填上你认为是正确的序号）任一项均不为0；必有一项为0；至多有一项为0；或无一项为0，或无穷多项为0。2是a、b、c成等比数列的 条件；是a、b、c成等比数列的 条件。（必要不充分条件；既不充分也不必要条件）3.设,则数列的通项公式. 解：由条件得且所以数列是首项为, 公比为的等比数列, 则4. 设数列的前n项和为，若（t为正常数，n=2,3，4）。(1)求证：为等比数列；(2)设公比为，作数列使，试求，并求(1)解: ()()两式相减得：，为正常数 4分又，是以1为首项,为公比的等比数列. (2)., 是以1为首项,为公差的等差数列,（四）等比数列性质的直接应用1.（2012辽宁文）已知等比数列an为递增数列.若a10,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列an的公比q =_.2解:因为数列为递增数列，且.2.（2012广东文）若等比数列满足，则 . 解：，则3. （2012安徽文）公比为2的等比数列 的各项都是正数，且 =16，则= . 1解:4.（2012安徽理）公比为等比数列的各项都是正数，且，则 . 解:5设是由正数组成的等比数列，公比，且，则 。解法一：，解法二：，。6已知等比数列，0，且+，则的值为 。5 解：， +。又0，。7在等比数列中， ，则的值为 （）8.各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= 。（五）等比数列性质的综合应用1.设正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比 解：设数列的公比为q，因为，所以，由此可得，所以又因为是正项等比数列，所以q2. 知数列与均为等比数列，且，则 。13已知等比数列的公比为，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：当时，不存在常数，使数列成等比数列；当时，由于，当，即时，。故存在常数，使数列成等比数列。（六）等比数列与其它知识的综合应用1若一个直角三角形的三边长成等比数列，则下列结论正确的序号是 。（ ）三边之比为3：4：5 ；三边之比为1：3；最小角的正弦为；较大锐角正弦为。 解：设三边为且。且，即。 ，从而（舍去负值）， 又最小，角A最小。（七）等比数列的实际应用1有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是 。（ 192 ）2.某人从1999年1月1日起，每年这一天到银行存一年定期元，若年利率保持不变，且每年到期的存款本和利都再存入新的一年的定期，到2003年1月1日，将所有的存款和利息全部取回，他可取回人钱数为 。（）解：2000年存入元后，该人在银行中的钱为元；2001年存入元后，该人在银行中的钱为元；2002年存入元后，该人在银行中的钱为元；2003年该人取回的钱数为元。即.3.设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则x= 。 ；（八）等差等比数列性质综合题：1. 已知数列成等差数列, 成等比数列, 则的值为 。2.三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是 。或3. 设数列满足且记的前项和为则 。 解：则是以公比的等比数列, 由4. 在正项等比数列中，若集合，则集合中元素的个数为 75. 已知等比数列的前n项和为Sn， 若S1，2S2，3S3成等差数列，则的公比为 6. 已知都是整数，且，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 217. 在等差数列中，在等比数列中，则= 08若正项等比数列的公比，且、成等差数列，则 （ ）解：、成等差数列。9已知成等差数列，成等比数列，且，则的取值范围是 。 10在等差数列，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立. 解:，. 因此(. 从而.又.11在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 三角形。（锐角 ）解：，都是锐角，12已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是 。 解：设三边为则，即得，即13设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为 。（2002）解：，。14. 数列的前n项和记为，（）当t为何值时，数列是等比数列；（）在（）的条件下，若等差数列的前n项和有最大值，且15，又，成等比数列，求解：（I）由，可得，两式相减得，当时，是等比数列.4分要使时，是等比数列，则只需，从而 （II）设的公差为d，由得，于是， 故可设，又，由题意可得，解得， 等差数列的前项和有最大值，15. （2012重庆文）已知为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。解：（）设数列 的公差为d,由题意知 解得所以（）由（）可得 因 成等比数列，所以 从而 ，即 解得 或（舍去），因此 。16.（2012陕西文）已知等比数列的公比为q=-.（1）若，求数列的前n项和；（2）证明：对任意，成等差数列。解：（1）由及，得，数列的前项和。（2）证明：对任意，由，得，故，对任意，成等差数列。17. （2012陕西理）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的公比；（）证明：对任意，成等差数列.解：（）设数列的公比为，由成等差数列，得，即，由得，解得，（舍去），。（）证法一：对任意，对任意，成等差数列.证法二：对任意，因此，对任意，成等差数列.18已知数列为等差数列，公差，中部分项组成的数列，恰为等比数列，其中，求。解：方法一：由题意得，即。，。从而，在等比数列，中，公比。为上述等比数列的第项， 又为等差数列的第项， 由，得，而，。故。方法二：设等比数列，的公比为，则有，即。又， 同理由，可得， 由消去，得，而，由此得，或，但若可推出，与已知矛盾，故，从而，代入得。（下同方法一）方法三：公差，各项互不相等，设的公比为，则，由比例性质，得.,从而。又。是公比为的等比数列，且首项为。从而，即，。 19已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明解：（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知，（*）=由（*）式得（） ，又，又.20. 已知数列是等比数列，为其前项和（1）若，成等差数列，证明，也成等差数列；（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围解：（1）设数列的公比为，因为，成等差数列，所以，且所以，因为，所以，所以，即所以也成等差数列 （2）因为，所以， ，由，得，所以，代入，得所以又因为，所以， 由题意可知对任意，数列单调递减，所以，即，即对任意恒成立， 当是奇数时，当，取得最大值，所以； 当是偶数时， ，当，取得最小值，所以综上可知，即实数的取值范围是七、数列求和（一）等差、等比数列公式求和：1.已知数列，满足，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是 20122. 已知数列满足,则数列的前100项的和为 . 2003.记当时，观察下列等式：，可以推测， 。（二）倒序相加法求和：1设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为（1）求证：M点的纵坐标为定值； （2）若Snf（N*，且n2，求Sn解：（1）证明： M是AB的中点设M点的坐标为（x，y）， 由，得，则或。而，M点的纵坐标为定值（2）由（1），知，两式相加，得，。（三）折通项求和（分组求和）：1.已知，则 5000212+23+34+；3。（四）混合数列求和（乘公比错位相减法求和）：1。2.（2012全国文）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。解：（1）由Sn=，得当n=1时，；当n2时，nN.由an=4log2bn3，得，nN.（2）由（1）知，nN所以，nN.3.(2012天津理)已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（）求数列与的通项公式；（）记，证明（）.解：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，由条件，得方程组，解得，（）证明：由（）得 由，得，而，故。（五）裂项法求和：1.数列的前n项和为，若，则等于 . 2。（六）引进恒等式求和：112+23+34+。（七）并项求和：1. (2011安徽文7)若数列的通项公式是，则 。15【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：，故。2求下列各数列的前和： （1）；（2）；解：（1）方法一：当为偶数时，当为奇数时，。 ，即。 方法二：当为奇数时同解法一。 当为偶数时，为奇数， ，。（2）解法一：当为偶数时， 。当为奇数时，=。解法二：当时， 。当时，。3已知函数且，则。解：方法一：。方法二：， ，。八、数列知识与函数、方程、解几、平几、不等式知识的综合运用：（一）数列与向量：1已知等差数列的前项和为。若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过原点），则 。（16） （二）数列与三角：1（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为 。【解析】由于以3 为周期, 故。2. 已知数列满足，则该数列的前10项的和为 773. （2012四川理）设函数，是公差为的等差数列，则 （ ） 解：数列an是公差为的等差数列，且 即 得点评本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.4.（2012上海理）设，在中，正数的个数是 100 （三）数列与解析几何：1.已知数列的前项和为，且点在直线上 （1）求k的值；（2）求证是等比数列；（3）记为数列的前n项和，求的值.解：（1）又 （2）由（1） 当 , (3) （五）数列与函数：1（2012上海文14）已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 .解:据题，并且，得到，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.2.记数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足，若对任意都有成立，则实数的取值范围为 。-22,-183设是从这三个整数中取值的数列，若，且，则中数字0的个为 . 114已知数列是递增数列，且对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 。（ ）解：由是递增数列，得恒成立，即，在时恒成立，只需。6在等差数列中，表示其前项，若，则的取值范围是 （4，）解：设首项为，公差为，则，（）。7等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数均为常数的图象上，则r的值为 。解：因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,8. （2012湖北理）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 . 解：等比数列性质，； ；.选C9. 已知数列中，且点在直线上。 (1)求数列的通项公式； (2)若函数求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。解：（1）由点P在直线上，即，且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 ，同样满足，所以 （2）， 所以是单调递增，故的最小值是（3），可得， ，n2，故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立1