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文档简介

8 1梁的变形 一 基本概念 取梁的左端点为坐标原点 梁变形前的轴线为x轴 横截面的铅垂对称轴为y轴 xy平面为纵向对称平面 度量梁变形后横截面位移的两个基本量 挠曲线方程为 式中 x为梁变形前轴线上任一点的横坐标 为该点的挠度 挠度 向下为正 向上为负 转角 顺时针转为正 逆时针转为负 8 2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 横力弯曲时 M和 都是x的函数 略去剪力对梁的位移的影响 则 由几何关系知 平面曲线的曲率可写作 推导公式 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 在规定的坐标系中 x轴水平向右为正 y轴竖直向下为正 曲线向上凸时 0 M 0 曲线向下凸时 0 因此 M与 的正负号正好相反 所以 与1相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为 此式称为梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 1 略去了剪力的影响 2 略去了 2项 再积分一次 得挠曲线方程 上式积分一次得转角方程 若为等截面直梁 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 8 3a 8 3b 在悬臂梁 图8 4b 中 在简支梁 图8 4a 中 左右两铰支座处的挠度 A和 B都应等于零 固定端处的挠度 和转角 A都应等于零等等 式中积分常数C1 C2可通过梁挠曲线的边界条件来确定 例题8 1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁 试求梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度fmax和最大转角 max 弯矩方程为 解 例题8 1图 A B x y 挠曲线的近似微分方程为 对挠曲线近似微分方程进行积分 得 边界条件为 C1 0及C2 0 例题8 1图 A B x y 例题8 1图 A B x y 将已确定的积分常数代入 3 4 两式中 即得梁的转角方程和挠曲线方程分别为 例题8 2图示一抗弯刚度为EI的简支梁 在全梁上受集度为q的均布荷载作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度fmax和最大转角 max 解 由对称性可知梁的两个支反力为 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 A B x q x 边界条件为 将边界条件代入 d 式得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 A B x y q x C 在梁跨中点l 2处有最大挠度值 A B x y q x C 说明 积分常数C1和C2几何意义 将x 0代入 例题8 图示一抗弯刚度为EI的简支梁 在D点处受一集中力P的作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并求其最大挠度和最大转角 解 此梁的两个支反力为 两段梁的弯矩方程分别为 代入方程可解得 将积分常数代入后 即得两段梁的转角方程和挠度方程如下 将x 0和x l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当a b时 右支座处截面的转角绝对值为最大 当a b时 最大挠度确实在第一段梁中 梁中点C处的挠度为 结论 在简
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