三元函数的极值.doc

本 科 生 毕 业 论 文 题目：三元函数的极值及实例应用 姓 名： 吕思毕 学 号： 201005010275 专 业： 应用数学 年 级： 2010级 学 院：数学与统计学院 完成日期：14年5月25日 指导教师： 彭德军老师 本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为 。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。论文作者签名： 日期： 本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。论文作者签名： 日期： 指导教师签名： 日期： 目录 引言11 一、二元函数的极值及最值问题3 11 一元函数的极值及最值3 12 二元函数的极值及最值4121 二元函数极值的定义4122 二元函数取得极值的条件5123 求二元函数极值的一般步骤62 三元元函数的极值及应用7 221 三元函数极值的定义4 212 三元函数取得极值的条件73 三元函数求解极值的步骤134 求三元函数极值的例子135 结束语16参考文献17谢辞1811三元函数的极值及实例应用作者：吕思毕 指导老师：彭德军老师（海南师范大学数学与应用数学，海口市，571158）摘 要：本篇文章先从一元函数的极值与二元函数的极值的基础知识入手并讨论它们的定义、取极值的条件以及一元、二元函数的实例，而后把一、二元函数的极值问题推理到三元函数。本文在探究三元函数极值的时候，首先借鉴文献给出三元函数的定义以及极值的判定条件，然后以二元函数的归纳为模版，自己归纳得出三元函数极值的步骤，最后用一些实例说明自己的求极值步骤。.关键词:三元函数；极值； The ternary function extreme value and its application instance Author: Lv Sibi guidance teacher: Peng Dejun teacher Mathematics and applied mathematics (hainan normal university, haikou city, 571158). Pick to: This article first from value of monadic function this basic definition, take extreme conditions as well as a yuan, dual function instance, the extreme value of binary function reasoning function to three yuan. This article explore the ternary function extreme value, the first reference to the literature presents the definition of ternary function and judge condition of extreme value, and then to dual function as templates.summarized the ternary function extremum steps. with some examples finally own extreme steps. .Keywords: three yuan functions;The extreme;引言：函数极值是否存在问题和它的判别方法一直都是微积分学的应用的一大热门问题，无论是在桥梁设计，还是在航天工程，亦或规划运筹方面，把它们中的实际问题变为求解极值都是很通用的.文献1、2讨论了一元、二元函数的定义，判定方法等，参考文献3-10得到三元函数的定义、判定条件。而文献1给出二元函数极值求解步骤，3、5给出一些三元函数的求解方法，最后通过归纳得出三元函数的求解步骤。1 一、二元函数的极值及最值问题11 一元函数的极值及最值对于一元函数，都能很直观的判别出它的极值，基本有一下3种方法：设函数在内有意义，如果是的极值点，且在能导，那么. ：设函数在的区间连续，在空心区间能导.当时，;时，则是的极小值点；当时，;时，则是的极大值点；当时，如果不改变符号，那么不是的极值点. ：设函数在的邻域可导，是的临界点，即，且存在.若，则是的极大值点.若，则是的极小值点.22 二元函数的极值及最值221 二元函数极值的定义设函数，如果函数在有最大值，反之有最小值。例1函数在处有极小值.解 当时，而当时，.因此是函数的极小值. 例2函数在处有极大值.解 当时，而当时，.因此是函数的极大值. 此题在（0，0）处不可偏导，但是存在极大值。3.函数在处无极值.，（0，0）是驻点以上关于二元函数的极值概念的一些加强练习，但题目给的较为简单，可以根据二元函数极值的定义很直观的就可以看出来。然而当遇到、,就需要我们采用极值判定的专业方法。 222 二元函数取得极值的条件 二元函数在处有极值、有偏导。那么在这个点的偏导一定为零，.凡能使一阶偏导数、同时为零的点，均称为函数的驻点. 设函数在点的某区间内，有偏导。且， .记，则在点处能取得极值则要满足一下条件：当时，点是极值点，反之去极小值点；当时不是极值点；当时可能是极值点，也可能不是极值点.223 求二元函数极值的一般步骤求的极值的步骤： 首先求偏导数， 、；再求出函数的各个驻点，即把所得驻点代入A、B、C,然后确定的大小，判断出二元函数的最大、最小值。例1求函数的极值解 ，（1）首先求偏导数：， ， ，（2）求驻点：由，解得驻点.（3）判断极值： ，因为， ， ，于是点不是极值点.例2. 求二元函数的极值解：（1）首先求偏导数：， （2）求驻点，由，解得驻点为（1，5） （3）A=，B=，C=，所以 所以，（1，5）不是极值点例3 求的最大值和最小值.解 由 ，得驻点 和.因为，边界上的值为零，所以最大值为，最小值为.23 三元函数的极值问题及应用231 三元函数的定义 函数，若满足不等式，则有最大值，反之有最小值。231 三元函数取极值的条件 三元函数在处有偏导和极值。那么在这个点的偏导为零，如果能使偏导、，一起等于零的点，统一叫做为三元函数的驻点. 设函数在点偏导存在。， ， 令，,则在点处只有满足一下条件就可以取得极值点： 则在处取得极小值。 3.三元函数极值的求解步骤求的极值的步骤： 首先求偏导数，、；，, 确定的各个驻点，即求解 （3）根据判断三元函数极值的条件确定在相应驻点的极值（确定的大小关系来判断三元函数的极值）. 4.三元函数极值的求解例题 例1. 求三元函数的极值 解：（1）先求偏导数，=0，=0， （2）三元函数的驻点为，解得：驻点 （3）根据三元函数极值判断条件的: 所以，为三元函数的极小值例2 求三元函数满足条件的的极值 解： 令 （1）先求偏导数：， （2）三元函数的驻点为， （3） ，,所以函数在处可以得到最小值，且最小值为-3 ，,所以函数在处取得极大值，且极大值为3 例3. 把12分成之和，求为最大值. 解：令 （1）首先求偏导数：，（2） 函数的驻点为，解得驻点为（6，4，2） （3）根据三元函数的判定条件得：函数在驻点处取得最大值，所以， 3 结束语随着近年来对函数的极值研究日益广泛，它在理论和实践上都有很重要的运用。.本文通过引入一元、二元函数并讨论它们的极值问题，而在二元函数的极值判别的时候大多数都是利用黑塞矩阵判断极值，即化为比较-AC大小，除此之外还有另一种求极值的方法拉格朗日乘数法。对于黑塞矩阵法需要的条件很强，要求函数二阶可微，有一定的局限性，而拉格朗日乘数法求极值时我们也要求函数有连续偏导数，本文主要是以黑塞矩阵为基础，以文献4为指引，然后归纳出求三元函数的的一个小方法.参考文献 1万淑香，二元函数的极值问题A.鸡西大学学报，2004.7 2王欣，二元函数充分条件的证明条件极值的判定，沈阳大学学报（自然科学版），1996 3 宿娟，三元函数极值的探究A.成都师范学院，2013.10，611130 4孟义平，三元函数极值的一个充分条件A.教书科技大学学报（自然科学版），2010.10 5周先锋、王晓佳，关于三元函数的极值探讨，合肥工业大学，数学系，2008.2 6郭常予等.多元函数极值问题的分析与研究J.中国科技论文在线精品论文，2009, 2(