2016年中考数学专题复习：第3讲整式(含详细答案).doc

把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2016年中考数学专题复习第三讲 整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：1整式单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。2同类项： 定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。 合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。【名师提醒】：1单独的一个数字或字母都是 式。2判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。二、整式的运算：1整式的加减：去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )整式加减的步骤是先 ，再 。【名师提醒】：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。2整式的乘法：单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。乘法公式：、平方差公式：（ab）（ab） ， 、完全平方公式：（ab）2 = 。 【名师提醒】：1在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。2两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。3整式的除法：单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）m= 。三、幂的运算性质：1同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n （a0，m、n为整数）2幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n （a0，m、n为整数）3积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。 即：(ab) n （a0，b0，n为整数）。4同底数幂的除法: 不变 相减，即：a ma n （a0，m、n为整数）【名师提醒】：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例1 （2015遵义）如果单项式与是同类项，那么 思路分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得：a-2=1，b+1=3，解方程即可求得a、b的值，再代入（a-b）2015即可求解解：由同类项的定义可知a-2=1，解得a=3，b+1=3，解得b=2，所以（a-b）2015=1故答案为：1点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。跟踪训练1（2013苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）A-5x2B5x2C-x2Dx2考点二：代数式求值例2 （2015娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a-1的值为（）A0B1C-1D-2思路分析：原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值解：a2+2a=1，原式=2（a2+2a）-1=2-1=1，故选B。点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想跟踪训练2（2015苏州）若a-2b=3，则9-2a+4b的值为 考点三：单项式与多项式。例3 （2015通辽）下列说法中，正确的是（）A的系数是B的系数是C3ab2的系数是3aD的系数是思路分析：根据单项式的概念求解解：A、-的系数是，故A错误；B、的系数是，故B错误；C、3ab2的系数是3，故C错误；D、的系数，故D正确故选：D点评：本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数跟踪训练3（2015岳阳）单项式的次数是 考点四：幂的运算。例4 （2015海南）下列运算中，正确的是（）Aa2+a4=a6 Ba6a3=a2 C（-a4）2=a6 Da2a4=a6思路分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解解：A、a2a4=a6，故错误；B、a6a3=a3，故错误；C、（-a4）2=a8，故错误；D、正确；故选：D点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题跟踪训练4（2015达州）下列运算正确的是（）Aaa2=a2 B（a2）3=a6 Ca2+a3=a6 Da6a2=a3考点五：完全平方公式与平方差公式例5 （2015遵义）下列运算正确的是（）A4a-a=3B2（2a-b）=4a-bC（a+b）2=a2+b2D（a+2）（a-2）=a2-4思路分析：根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答解：A、4a-a=3a，故本选项错误；B、应为2（2a-b）=4a-2b，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（a+2）（a-2）=a2-4，正确故选：D点评：本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键例6 （2015衡阳）已知a+b=3，a-b=-1，则a2-b2的值为 思路分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值解：a+b=3，a-b=-1，原式=（a+b）（a-b）=-3，故答案为：-3点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键跟踪训练5（2015甘南州）下列运算中，结果正确的是（）Ax3x3=x6B3x2+2x2=5x4C（x2）3=x5D（x+y）2=x2+y26（2015莱芜）已知m+n=3，m-n=2，则m2-n2= 考点六：整式的运算例7 （2015青岛）计算：3a3a2-2a7a2= 思路分析：根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和除法，然后计算减法，即可求出算式3a3a2-2a7a2的值是多少解：3a3a2-2a7a2=3a5-2a5=a5故答案为：a5点评：（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加（3）此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数a0，因为0不能做除数；单独的一个字母，其指数是1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么跟踪训练7（2015威海）下列运算正确的是（）A（-3mn）2=-6m2n2B4x4+2x4+x4=6x4C（xy）2（-xy）=-xyD（a-b）（-a-b）=a2-b28（2015常德）计算：b（2a+5b）+a（3a-2b）= 考点七：整式的化简求值例8 （2015包头）计算：（x+1）2-（x+2）（x-2）= 思路分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果解：原式=x2+2x+1-x2+4=2x+5故答案为：2x+5点评：此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键例9 （2015福建）先化简，再求值：（x-1）2+x（x+2），其中思路分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值解：原式=x2-2x+1+x2+2x=2x2+1，当时，原式=4+1=5点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键跟踪训练9（2015金华）已知a+b=3，a-b=5，则代数式a2-b2的值是 10（2015丽水）先化简，再求值：a（a-3）+（1-a）（1+a），其中考点八：规律探索。例10 （2015张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）A46B45C44D43思路分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解解：底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，m3有m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：，2n+1=2015，n=1007，奇数2015是从3开始的第1007个奇数，第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45故选B点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式例11 （2015六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几何点数1111第二层几何点数2345第三层几何点数3579第六层几何点数第n层几何点数思路分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=21-1、3=22-1、5=23-1，可得第六层的几何点数是26-1=11，第n层的几何点数是2n-1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=31-2、2=32-2、3=33-2，可得第六层的几何点数是36-2=16，第n层的几何点数是3n-2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=41-3、5=42-3、9=43-3，可得第六层的几何点数是46-3=21，第n层的几何点数是4n-3，据此解答即可解：前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；前三层正方形的几何点数分别是：1=21-1、3=22-1、5=23-1，第六层的几何点数是：26-1=11，第n层的几何点数是2n-1；前三层五边形的几何点数分别是：1=31-2、2=32-2、3=33-2，第六层的几何点数是：36-2=16，第n层的几何点数是3n-2；前三层六边形的几何点数分别是：1=41-3、5=42-3、9=43-3，第六层的几何点数是：46-3=21，第n层的几何点数是4n-3名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几何点数1111第二层几何点数2345第三层几何点数3579第六层几何点数6111621第n层几何点数n2n-13n-24n-3故答案为：6、11、16、21、n、2n-1、3n-2、4n-3点评：此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题跟踪训练11（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A（31，50） B（32，47） C（33，46） D（34，42）12（2015重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有6个小圆圈，第个图形中一共有9个小圆圈，第个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（）A21B24C27D3013（2015自贡）观察下表：我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”例如，第1格的“特征多项式”为4x+y回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n格的“特征多项式”为 ；（2）若第1格的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16，求x，y的值【备考真题过关】一、选择题1（2015海南）已知x=1，y=2，则代数式x-y的值为（）A1B-1C2D-32（2015柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（）A2x2y2B3yCxyD4x3（2014安徽）已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为（）A-6 B6 C-2或6 D-2或304（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（）A-2xy2B3x2C2xy3D2x35（2015金华）计算（a2）3的结果是（）Aa5Ba6Ca8D3a26（2015酒泉）下列运算正确的是（）Ax2+x2=x4B（a-b）2=a2-b2C（-a2）3=-a6D3a22a3=6a67（2015衡阳）下列计算正确的是（）Aa+a=2a Bb3b3=2b3 Ca3a=a3 D（a5）2=a78（2015泰安）下列计算正确的是（）Aa4+a4=a8B（a3）4=a7C12a6b43a2b-2=4a4b2D（-a3b）2=a6b29（2015漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）A4，2，1 B2，1，4 C1，4，2 D2，4，110（2015陕西）下列计算正确的是（）Aa2a3=a6B（-2ab）2=4a2b2C（a2）3=a5D3a3b2a2b2=3ab11（2015十堰）当x=1时，ax+b+1的值为-2，则（a+b-1）（1-a-b）的值为（）A-16B-8C8D1612（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A135B170C209D25213（2015重庆）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图中有2个黑色正方形，图中有5个黑色正方形，图中有8个黑色正方形，图中有11个黑色正方形，依次规律，图中黑色正方形的个数是（）A32B29C28D2614（2015义乌市）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走如图中，按照这一规则，第1次应拿走号棒，第2次应拿走号棒，则第6次应拿走（）A号棒B号棒C号棒D号棒二、填空题15（2015西藏）已知-2am-2b4与3abn+2是同类项，则（n-m）m= 16（2015扬州）若a2-3b=5，则6b-2a2+2015= 17（2015桂林）单项式7a3b2的次数是 18（2015镇江）计算：m2m3= 19（2015黔东南州）a6a2= 20（2015金华）已知a+b=3，a-b=5，则代数式a2-b2的值是 21（2015常德）计算：b（2a+5b）+a（3a-2b）= 22（2015连云港）已知m+n=mn，则（m-1）（n-1）= 23（2015酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，依此类推，那么第9个三角形数是 ，2016是第 个三角形数24（2015安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为 （用含n的式子表示）三、解答题25（2015梧州）先化简，再求值：2x+7+3x-2，其中x=226（2015南昌）先化简，再求值：2a（a+2b）-（a+2b）2，其中a=-1，b=27（2015长沙）先化简，再求值：，其中28（2015河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式；（2）若，求所捂二次三项式的值29（2015内江）（1）填空：（a-b）（a+b）= ；（a-b）（a2+ab+b2）= ；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）= （2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+abn-2+bn-1）= （其中n为正整数，且n2）（3）利用（2）猜想的结论计算：29-28+27-+23-22+230（2015温州）（1）计算：；（2）化简：（2a+1）（2a-1）-4a（a-1）31（2015张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中a1=1，公比为q=3则：（1）等比数列3，6，12，的公比q为 ，第4项是 （2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： 所以：a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3，由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项2016年中考数学专题复习第三讲 整式参考答案【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。跟踪训练1D考点二：代数式求值跟踪训练23考点三：单项式与多项式。跟踪训练35考点四：幂的运算。跟踪训练4B考点五：完全平方公式与平方差公式跟踪训练5A66考点六：整式的运算跟踪训练7C85b2+3a2考点七：整式的化简求值跟踪训练91510解：原式=a2-3a+1-a2=1-3a，当时，原式=考点八：规律探索。跟踪训练11B解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+（2n-1）1008，即，解得：n，当n=31时，1+3+5+7+61=961；当n=32时，1+3+5+7+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：21024-1=2047，第32组的第一个数为：2962-1=1923，则2015是个数故A2015=（32，47）故选B12B13（1）12x+9y，16x+16y，4nx+n2y；（2）x、y的值分别为-3和2解：（1）观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4x+y，第2格的“特征多项式”为 8x+4y，第3格的“特征多项式”为 12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，第n格的“特征多项式”为4nx+n2y；（2）第1格的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16，解得：x=-3；y=2，x、y的值分别为-3和2【备考真题过关】一、选择题1B2C3B4D5B6C7A8D9D10B11A解：当x=1时，ax+b+1的值为-2，a+b+1=-2，a+b=-3，（a+b-1）（1-a-b）=（-3-1）（1+3）=-16故选：A12C解：a+（a+2）=20，a=9，b=a+1，b=a+1=9+1=10，x=20b+a=2010+9=200+9=209故选：C13B解：观察图形发现：图中有2个黑色正方形，图中有2+3（2-1）=5个黑色正方形，图中有2+3（3-1）=8个黑色正方形，图中有2+3（4-1）=11个黑色正方形，图n中有2+3（n-1）=3n-1个黑