复变函数论教学大纲.doc

复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质复变函数是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表章节目录课时分配第一章复数与复变函数第一节 复数28第二节 复平面上的点集2第三节 复变函数3第四节 复球面1第二章解析函数第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程412第二节 初等解析函数2第三节 初等多值函数6第三章复变函数的积分第一节 复积分的概念及简单性质210第二节 柯西积分定理3第三节 柯西积分公式及推论3第四节 解析函数和调和函数的关系2第四章解析函数的幂级数表示法第一节 复级数的基本性质212第二节 幂级数3第三节 幂级数和函数的泰勒展式3第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理4第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节 解析函数的洛朗展式412第二节 解析函数的(有限) 孤立奇点4第三节 解析函数在无穷远点的性质2第四节 整函数与亚纯函数的概念2第六章留数理论及其应用第一节 留数414第二节 用留数定理计算实积分4第三节 辐角原理及其应用6总课时数685、使用教材：复变函数论（第三版），钟玉泉 编；高等教育出版社。6、教学方法与手段（1） 学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。7、考核方式本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时作业成绩占20%，考试成绩占80%。8、主要参考书目1、复变函数学习指导书，钟玉泉，高等教育出版社。2、复变函数（第二版），余家荣，高等教育出版社。3、复变函数史济怀，刘太顺，中国科学技术大学出版社。4、多复变函数美那托西姆汉著，科学出版社。 二、课程内容第一章：复数及复平面（8 课时）第一节 复数（2课时）1、教学目的和要求理解复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系，复数的模，辐角，三角表达式，复球面与无穷大。2、教学要点与知识点教学要点：复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向。量的关系，复球面与无穷大。知识点：复数与平面上点一一对应关系。3、重点和难点重点：复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系。难点：复平面在几何中的应用；复球面与无穷大。第二节 复平面上的点集（ 2课时）1、教学目的和要求理解初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念。2、教学要点与知识点教学要点：聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念知识点：聚点、约当曲线、区域的概念。3、重点和难点重点：聚点、约当曲线、区域的概念。难点：复角、单、复连通区域的概念。第三节 复变函数（3课时）1、教学目的和要求理解复变函数的定义，掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。2、教学要点与知识点教学要点：复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。知识点：复变函数的极限、连续。3、重点和难点重点：复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。难点：有界闭集上连续函数的性质。第四节 复球面与无穷点（1 课时）1、教学目的和要求理解无穷远点复平面、扩充复平面的定义。2、教学要点与知识点教学要点：扩充复平面的定义及的有关概念。知识点：扩充复平面的定义3、重点和难点重点： 的邻域及内点。难点： 及其邻域。第二章：复变函数（12课时）第一节 解析函数的概念与CauchyRiemann方程（4课时）1、教学目的和要求熟练掌握解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、CauchyRiemann方程。2、教学要点与知识点教学要点：复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系，函数解析的条件。知识点：解析函数的概念。3、重点和难点重点：解析函数的概念，CauchyRiemann方程。难点：函数解析的判定。第二节 初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数（2课时）1、教学目的和要求掌握基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处。2、教学要点与知识点教学要点：指数函数、三角函数与双曲函数。知识点：指数函数。3、重点和难点重点： 基本初等函数的定义和性质。难点：指数函数性质与相应实函数的同与不同之处。第三节 初等多值函数：对数函数、幂函数、根式函数，一般幂函数，一般指数函数，具有多个支点的情形（6课时）。1、教学目的和要求理解多值函数的概念、分支、分支点的概念及对数函数、幂函数、根式函数的性质。2、教学要点与知识点教学要点：初等多值函数，对数函数，根式函数的多值性。知识点：初等多值函数3、重点和难点重点： 多值函数的概念，分支、分支点的概念，多值函数分割为单值解析分支。难点：辐角函数、多值函数的分支点。第三章：复变函数的积分（10课时）第一节 复积分的概念及其简单性质（2课时）1、教学目的和要求掌握积分的定义、性质、会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算2、教学要点与知识点教学要点：积分的定义、复积分的计算，性质。知识点：积分的定义、复积分的计算。3、重点和难点重点：复积分与定积分和线积分的联系与区别。难点：复积分的计算。第二节 柯西积分定理（3课时）1、教学目的和要求掌握柯西积分定理及其证明、不定积分、柯西积分定理推广、会用柯西积分定理计算。2、教学要点与知识点教学要点： 柯西积分定理，柯西积分定理推广，周线和复周线。知识点：柯西积分定理。3重点和难点重点：柯西积分定理和柯西积分定理推广及计算。难点：柯西积分定理证明第三节 柯西积分公式及推论（3课时）1、教学目的和要求掌握积分公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式、Liouville定理；Morera定理。2、教学要点与知识点教学要点：柯西积分公式及计算，解析函数的无穷可微性、柯西不等式、Liouville定理、Morera定理。知识点：柯西积分公式。3、重点和难点重点：柯西积分公式及计算，解析函数的无穷可微性、Morera定理。难点：解析函数的无穷可微性。第四节 解析函数与调和函数的关系（2课时）1、教学目的和要求理解调和函数的性质，解析函数与调和函数的关系，会利用调和函数构造解析函数。2、教学要点与知识点教学要点：解析函数与调和函数的关系，利用调和函数构造解析函数。知识点：解析函数与调和函数的关系。3、重点和难点重点：解析函数与调和函数的关系，利用调和函数构造解析函数。难点： 共轭调和函数，解析函数与调和函数的关系。第四章 解析函数的幂级数表示法（12课时）第一节 复级数的性质、收敛性（3课时）1、教学目的和要求理解复级数的定义及其收敛条件，解析函数项级数的一致收敛性、和实级数收敛的联系。2、教学要点与知识点教学要点： 复级数收敛性，解析函数项级数的一致收敛性，内闭一致收敛性。知识点：复级数收敛性。3、重点和难点重点：复级数收敛性，解析函数项级数的一致收敛性和实级数收敛的联系。难点： 魏尔斯特拉斯定理。第二节 幂级数（2课时）1、教学目的和要求掌握幂级数的收敛范围及性质，会计算幂级数收敛半径。2、教学要点与知识点教学要点： 幂级数的敛散性，幂级数收敛半径，幂级数和的解析性。知识点：幂级数的敛散性。3、重点和难点重点：幂级数的敛散性，幂级数收敛半径。难点：幂级数收敛半径。第三节 解析函数的泰勒展开式（3课时）1、教学目的和要求掌握泰勒定理，能熟练应用泰勒定理将函数泰勒展开。2、教学要点与知识点教学要点：解析函数的泰勒展开式，幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。知识点：解析函数的泰勒展开式。3、重点和难点重点：解析函数的泰勒展开，幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。难点：解析函数的泰勒展开。第四节 解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性定理（4课时）1、教学目的和要求理解解析函数的零点孤立性，并掌握解析函数唯一性定理的内容，意义，并掌握其证明思路。2、教学要点与知识点教学要点： 解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性，最大模原理。知识点： 解析函数的零点孤立性。3、重点和难点重点：解析函数的零点孤立性，零点的阶，解析函数的唯一性。难点： 解析函数的唯一性第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点（12课时）第一节 解析函数的罗朗展开（4课时）1、教学目的和要求掌握罗朗定理及解析函数的罗朗展开，理解洛朗级数和泰勒级数的关系。2、教学要点与知识点教学要点：罗朗定理及解析函数的罗朗展开，理解洛朗级数和泰勒级数的关系。知识点：罗朗定理及解析函数的罗朗展开。3、重点和难点重点：罗朗定理及解析函数的罗朗展开。难点：解析函数的罗朗展式。第二节 解析函数的孤立奇点（4课时）1、教学目的和要求熟练掌握孤立奇点的分类，性质，掌握奇点的判定定理和Picard定理2、教学要点与知识点教学要点：孤立奇点的分类，性质，和Picard定理。知识点：孤立奇点的分类，性质。3、重点和难点重点：孤立奇点的分类，性质。难点：Picard定理。第三节 解析函数在无穷远点的性质（2课时）1、教学目的和要求理解解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系，掌握奇点的判定定理。2、教学要点与知识点教学要点：解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系，掌握奇点的判定定理。知识点：解析函数在无穷远点的性态3、重点和难点重点：解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系。难点：奇点的判定。第四节 整函数和亚纯函数的概念（2课时）1、教学目的和要求掌握整函数的概念及分类，了解亚纯函数的概念及其于有理函数的关系，2、教学要点与知识点教学要点：整函数的概念及分类，亚纯函数的概念。知识点：整函数，亚纯函数3、重点和难点重点：整函数，亚纯函数的共性和个性。难点：函数的分类，奇点和整函数，亚纯函数的关系。第六章留数理论及其应用（14课时）第一节 留数（4课时）1、教学目的和要求掌握函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。2、教学要点与知识点教学要点：函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。知识点：留数的概念及留数定理。3、重点和难点重点：留数的概念及留数定理及留数的求法。难点：留数定理及留数的求法。第二节 用留数定理计算实积分（4课时）1、教学目的和要求掌握利用留数定理求实积分的方法，应用多值函数的积分。2、教学要点与知识点教学要点：计算积分路径上没有奇点的广义积分