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上通现代数学 下达中学课堂 -数学高考压轴题的数学背景分析浙江平阳县第一中学 (325400) 何龙泉 新加坡数学教育家李秉彝先生认为数学教育要“上通数学、下达课堂”。的确，中学数学课堂上通数学并不容易，但数学高考题的编制却在十年前就做到了。通过对近十年来全国和部分省市数学高考题中若干典型试题的深入分析，我们可以看到，数学高考题特别是所谓的压轴题都有深刻的高等数学甚至现代数学背景。从表面看这些试题与其他的考题没什么两样，解题方法也是初等的，但若对它们深入剖析，我们就会发现，这些试题有的本身就是一道高等数学题，有的是现代数学家们正在研究的某些前沿问题的一个特例，也有的则是某个现代数学概念以一种中学生能够接受的方式给出，然后以此出发通过逻辑推理得出一些“好”的结论。这些试题的共同特点是要求考生有较强的数学思维能力，特别是演绎推理能力，而这些能力正是后续学习中特别重要的。1、高等数学问题 初等方法解决有的高考题在内容上属于高等数学范围，但可以用初等的方法解决，这样的问题具有作为检验考生数学能力的功能，常被选作考题。题1.（2005年全国高考数学全国卷 理22题）（）设函数 ，求的最小值。（）设正数满足，证明：+ 解：（可参看有关资料，以下同）略。背景：我们对第（）小题作进一步的分析，要证+ 只要证 即 (1)上式的左边为一乘积且不等号是“”，我们自然会想到均值不等式 此式的左边为正数的几何平均数而右边是调和平均数，为了看清它和（1）式的关系，我们把这个式子稍作变形。再把上式推广，得到：若 、 且 ， 、则 (2)(2)式表示的仍是的几何平均数和调和平均数之间的关系，只不过这里的平均数是加权平均数，我们再把(2)式推广到个正数的均值不等式。命题：设、 、 且 +， 则 (3)(3)式的证明参看文献1第136页命题50。 由(3)易得：= =所以(1)式成立，从而原命题成立。通过上面的分析我们可以看到，题1实际上是一道个正数的加权平均数问题，其背景就是均值不等式(3)。把握了这一点，我们就可以更一般地考察这个问题。如原题中对数的底是2，我们可以把它改为3，那么以下命题成立。命题：设正数 满足， 则等等。2、隐不动点概念 蕴动力学理论不动点是现代数学中的重要概念之一，而应用十分广泛的不动点定理实际上是一个满足一定条件的空间到其自身的连续映射的性质的定理。自从1997年全国高考数学卷中出现一道以不动点为背景的试题以来，类似的考题已多次出现，如1999年全国高考卷（理）23题也有相同的背景。有的试题甚至干脆给出了不动点的定义（如2002年上海春季招生理22题）。这里我们通过对1997年全国高考数学卷（理）24题的分析，探讨该题所隐藏的背景。题2.设二次函数 ，方程的两个根、满足 （）当时，证明：.（）设函数的图象关于直线对称，证明：.背景：本题的几何背景是二次函数和一次函数，它们的图象有两个交点，若的图象的顶点在之上，则有哪些基本的性质？而这个问题更深刻的背景则是动力系统问题2，也就是说、是的不动点，则在条件之下，是稳定的不动点，并且吸引子的吸引域有多大？设，、是即的两根，故可设 ，于是 =，=, 即 (4) 即 又 记 则 且 当时上式成立。于是为上的压缩映射，由不动点定理，在上存在唯一的一个稳定的不动点，这个不动点正是。事实上，设 ，且 ，则可用数学归纳法及条件（）容易证明：。于是由（1）知：，所以数列单调递增。从而数列收敛，即是的不动点。同理可得上述结论对于来说也都成立，从而吸引子的吸引域是。二次函数在高考中一直是一个重点内容，一个重要的原因是围绕它的基本内容与近、现代数学发展有密切的联系，是考生进行后续深造的必不可少的重要知识点。另一个原因是以它为背景出题可以灵活多变，层出不穷，较易考查考生的综合数学能力。而这道高考题中只出现两个小题的原因在于的证明与（）的证明类似，而的证明则超出了中学的范围。编题者对现代数学的深刻理解以及他们在高考题编制上的匠心独运和娴熟技巧由此可见一斑。3、以混沌为背景 取特例作试题上面谈到以动力系统为背景的考题在高考中经常出现，而以当代科学前沿之一的“混沌动力学”为背景的考题也时常看到。当然，由于这类考题的背景太深刻，高考题只能以这些问题的特例的形式出现的。如2005年全国数学高考江西卷（理）21题就是这样的一道好题。题3.已知数列的各项都是正数，且满足： (5)(1)证明： (2)求：数列的通项 分析：由递推公式及得， 于是我们可以考虑把（5）式化为 的形式。由（5）得： = =问题便可迎刃而解。背景：从表面来看本题似乎并非一道好题，它太特殊，仅有的推广是把递推式改为， (6)易得 ， 从而 但问题并非如此简单，如果我们把原题中的2和4改得一般一点，如：，且，那么的通项就不一定能求出来。相信大家已经注意到（5）的右边是的一个二次函数，数列实际上可以由迭代函数（其中）经过迭代而得到。由于是二次的，故称为“非线性”的，因此（5）式实际上是一个非线性动力系统模型。这种非线性动力系统模型和线性动力系统模型之间有着完全不同的特性。后者如：，（其中、为常数且）这样的数列其通项一定可以求出，并且性质相对简单3。而前者则复杂得多，它是当代数学的一个前沿学科“混沌”中的一个问题。我们以一个最简单的例子来说明其复杂性。设，其中且已知。它是由迭代函数，迭代而得到。首先，若存在，设，则由是上的连续函数及数列极限的性质知：，因此，数列的极限就是的不动点。问题的关键是满足什么条件时存在。根据混沌理论4知：当时，存在，并且的不动点是稳定的。进一步人们已经证明4、5：（1）当时，=0。（2）当时，即数列的极限是的非零解。收敛于一点，此时称为“周期1”。，当时，的非零不动点可由得：，不满足条件，因此这个不动点是不稳定的。事实上，这时有两个收敛点，称为“周期2”。（3）当时，和时一样，都有两个收敛点。当时是“周期4”，即有四个收敛点，依此类推，可以得到“周期8”、“周期16”。这个过程我们称之为“倍周期分岔”。(4)人们特别有兴趣的是：当3.571488时，“周期”变得无限大，即不存在周期性，这时系统是混沌的。顺便指出这个模型的另外一个十分有趣而深刻的性质，我们用表示周期的分岔点，如：=3，等，记。美国数学家对数列做过了不起的观察和研究，他得到了=4.66920，并且此结论对某区间上的单峰函数都成立。这个极限就是混沌动力学中十分著名的常数，它和圆周率一样，是自然界中的普适常数之一。数学高考题中具有现代数学背景的考题是十分常见的，如果我们能够对这些试题进行深入挖掘、认真思考，对其背景做细致的剖析，相信一定会对我们的复习提供有益的帮助。参考文献1. 徐利治 王兴华.数学分析的