函数的应用举例(一)备课10月27日.doc

2.9.1 函数的应用举例（一）备课：10月27日 上课：10月28日教学目标（一）教学知识点1.数学模型.2.数学建模.3.数学应用题的能力要求.4.解答应用题的基本步骤.（二）能力训练要求1.了解数学建模.2.掌握根据已知条件建立函数关系式.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.4.培养学生应用数学的意识.（三）德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.了解数学在实际中的应用.教学重点根据已知条件建立函数关系式教学难点数学建模意识教学方法读议讲练法首先要求学生通过阅读课本来了解数学模型的概念及数学建模的思想方法，然后通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过讲解例题与大家一起总结解答应用题的基本步骤，最后通过相应的课堂练习使学生巩固对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度.教具准备投影片第一张：例1（记作2.9.1 A）第二张：例2（记作2.9.1 B）第三张：数学应用题能力要求及解答步骤（记作2.9.1 C）教学过程.复习回顾师前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接下来，用已学过的知识举例说明函数的应用.讲授新课师大家首先阅读课本P96P97，来了解一下数学建模的有关知识.1.数学模型与数学建模简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.2.例题讲解例1用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用. 解：如图，设AB=2x，则CD弧长=x,于是AD=因此y=2x,即y=-再由解之得0x即函数式是y=-x2+mx定义域是：（0，）评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用题的能力要求及求解应用题的基本步骤.（1）数学应用题的能力要求阅读理解能力；抽象概括能力；数学语言的运用能力；分析、解决数学问题的能力；（2）解答应用题的基本步骤合理、恰当假设；抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；分析、解决数学问题；数学问题的解向实际问题的还原.师有了上述说明，我们在看例2时就应有所注意. 例2如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.解：如图所示，AB=2R，C、D在O的半圆周上设腰长AD=BC=x，作DEAB，垂足为E，连结BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD.AD2=AEAB，即AE=CD=AB-2AE=2R-所以，y=2R+2x+(2R-),即y=-+2x+4R再由周长y与腰长x的函数式为：y=- (x2+2x+4R),定义域为：（0， R）评述：例2是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.课堂练习课本P92练习1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为d，截面的面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域.解：如图，截面的一条边为x，对角线AC=d,另一条边BC=,所以S=x,定义域为：x|0xd2.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域.解：底面边长为a-2x,底面积为(a-2x)2又长方体高为x,长方体体积V=x(a-2x)2由a-2x0,得x又x0,函数定义域为x|0x.课时小结师通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步掌握解决实际问题的能力.课后作业（一）课本P93习题2.91.建筑一个容积为8000 m3，深为6 m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数.解：设底面的另一边长为z(m)，则根据题意有6xz=8000,z=池壁造价为a(2x+2z)6=12a(x+)池底造价为2aa所以，总造价：y=12a(x+)+a(元) 2.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45，水深h m，求横断面中有水面积A（m2）与水深h(m)的函数关系式解：如图，作ACCE，BDCE，RtBDE面积：h2，矩形面积：2hA=S矩+2SRtBDE=2h+2h2=h2+2h(m2)教后感：根据题目条件如何建立函数关系是难点和重点，所以，关键是分析题目条件，利用已学的知识建立一个模型。板书设计 2.9.1 函数的应用举例1.应用题能力要求：（1）阅读理解能力；（2）抽象概括能力；（3）数学语言运用能力；（4）分析、解决数学问题的能力.2.解答基本步骤： 例1（1）合理、恰当假设；（2）抽象数量关系； 例2（3）分析解决问题； 学生练习（4）数学问题的解向实际问题还原.课 题2.9.2 函数的应用举例（二）备课：10月28日 上课：10月29日教学目标（一）教学知识点1.数学建模.2.有关增长率的数学模型.（二）能力训练要求1.继续了解数学建模的方法.2.能够建立增长率的数学模型.3.培养学生应用数学的意识.(三)德育目标：1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.2.了解数学在生产实际中的应用，并逐步增强分析、解决实际问题的能力.教学重点数学建模的方法教学难点数学建模的意识教学方法启发引导式启发学生解决数学应用题的前提条件是审清题意，并且认识到提取题目中的数量关系，也就是做好文字语言与数学语言的转换工作，在提取数量关系时，应排除专业术语等非数学因素的干扰，在分析、解决转化以后的纯数学问题时，要求学生较为熟练地掌握数学的有关知识点与基本方法，最后，在纯数学问题解决之后，应注意把数学问题的解向实际问题的还原.教具准备投影片两张第一张：例3及其解答（记作2.9.2 A）第二张：例4及其解答（记作2.9.2 B）教学过程.复习回顾师上一节，我们了解了数学建模的方法和较简单的情形，并总结了解答应用题的基本步骤，这一节，我们继续学习有关数学建模的方法，加强大家的函数应用意识.讲授新课例3按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，和大家初中所接触的增长率问题相似.解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a+ar=a(1+r);2期后的本利和为y2=a(1+r)3;x期后的本利和为y=a(1+r)x,将a=1000(元)，r=2.25%,x=5代入上式得y=1000(1+2.25%)5=10001.02255由计算器算得y=1117.68(元)答案：复利函数式为y=a(1+r)x.5期后的本利和为1117.68元评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受.例4某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以仿照例子.解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1+4%），人口量为M（1+1.2%）则人均占有粮食为经过2年后,人均占有粮食为经过x年后，人均占有粮食y=,即所求函数式为：y=360()x评述：例4是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为R，则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y=N(1+P)x解决平均增长率的问题，常用这个函数式.课堂练习课本P92练习3.一种产品的年产量是a件，在今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加P%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设年产量经过x年增加到y件，则y=a(1+P%)x(xN*且xm)4.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低P%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：设成本经过x年降低到y元，则y=a(1-P%)x(xN*且xm).课时小结师通过本节学习，大家要掌握有关增长率的数学模型，如产量、产值、粮食、人口等增长问题就常用增长率的数学模型.课后作业（一）课本P93习题2.93.一个圆柱形容器的底部直径是d cm，高是h cm,现在以v cm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域与值域.解：高度x(cm)与时间t(s)之间的函数关系是x=它的定义域是0，,值域是0，h4.某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.解：汽车离开A地的距离与时间t(h)之间的关系：x=它的图象如下图：车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式：v=它的图象如下图： （二）1.预习内容：课本P91例32.预习提纲：（1）例3中的数学模型是什么？（2）例3解决的是一个什么数学问题？教后感：把握题目条件，建立函数关系，培养学生数学建模的意识。板书设计 2.9.2 函数应用举例例3 例4 课时小结 学生练习解答 解答v课 题2.9.3 函数的应用举例（三）备课：10月29日 上课：11月1日教学目标（一）教学知识点1.数学建模的基本思想.2.有关物理问题的数学模型.（二）能力训练要求1.使学生适应各学科的横向联系.2.能够建立一些物理问题的数学模型.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标1.用联系的观点看问题.2.能够将生产实际、物理研究中的某些问题用数学知识、数学方法进行解决.教学重点数学建模的方法教学难点如何把实际问题抽象为数学问题教学方法自学辅导法在前几节学生了解数学建模基本思想及数学建模一般步骤的基础上，直接给出学生例题，要求学习通过审题，自己抽象出其中的数量关系，在通过老师的帮助加以确认之后，再着手进行纯数学问题的解决，最后在老师的引导下，把握好由数学问题的解向实际问题的还原.引导学生在研究例6的过程中，了解函数思想在解决物理问题时所发挥的作用，同时对高考中具有导向意义的题目有所认识，了解高考命题趋势的发展.教具准备投影片第一张：例题5（记作2.9.3 A）第二张：例题6（记作2.9.3 B）教学过程.复习回顾师上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型.讲授新课例5设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c、k为常量.已知某地某天在海平面的大气压为1.01105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90105 Pa.求600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式.解：将x=0,y=1.01105,x=1000,y=0.90105分别代入函数式y=cekx，得 (由计算器算得)解之得函数式y=1.01105将x=600代入上述函数式得y=1.01105e-1.1510-4600由计算器算得y=0.943105(Pa)答：在600 m高空的大气压约为0.943105 Pa.评述：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.例6：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a1,a2,a3,an推出的a=_.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2最小由于y=na2-2(a1+a2+an)a+(a12+a22+an2)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n0,二次函数f(a)图象开口方向向上.当a= (a1+a2+an)，y有最小值.所以a= (a1+a2+an)即为所求.评述：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为