突变理论在力学中的应用.pdf

陈应 天 华中工学院 一 什么是突变理论 突变理论 面 作为一种新的数学理论 主要是由结构稳定性的拓扑概念发 展过来的年法国数学家发表了开拓性的著作 结构稳定性和形态发生学 系统地介 绍了突变理论以及它在生物学 尤其是在动物胚胎学中的应用 在科学界引起巨大反响后来有 人不断将突变论的概念和方法引人物理学 力学 心理学 医学 社会学 经济学等领域 用数学模型来描写自然现象 是科学研究的一种基本方法自从牛顿和莱布尼兹发明微积分 以来 人们愈来愈习惯用微分方程描写自然现象然而微分方程仍然存在很大的高限性 即它只 能描写连续变化的现象在由微分方程建立起的物理规律中 不允许有突变和发散自然界中的 非连续现象比比皆是 对于这一类现象 能否找到一个合适的数学模型呢 突变理论就在这问题上指出了新的研究方向 历史证明 力学问题往往是产生新的数学方法的诱因突变理论虽然不是从力学中产生的 然而它与力学是密切相关的早在以前 有许多研究弹性稳定性一般理论的作者 例如 决 等人已经独立地在失稳现象的研究中 由分析能量函数的泰勒展 开的前几项发现 了几种突变型式但是当时它们被认为是某些特殊的近似计算只有在分 类定理发表以后 才有了更高的认识 分类定理是突变理论最重要的部分它的中心思想是认为自然界中的一切突 变型式可以通 过系统的控制空间和行为空间的维数分类突变模式的总数目完全由控制空间的维数决定由 于我们所处的时空的四维性 四维控制空间是很重要的 的研究表明它最多有七种突变垫 式 称为七种基本突变 令是控制空间 是行为空间 令是二维 是一维 是空间内用是的坐标作参数的平滑一般函数 令材是 的稳定值的集合可证 是空间中的平滑曲面 并且在上投影的仅有的奇点集合 是尖角型突变 如把从二减为一 就是一条平滑的曲线 那么仅有的奇点集合是转折型突变 反之 增加的维数 假设是三维 是一维的 则就是四维的可证 是三维流 形 奇点类型为燕尾突变 设是三维的 是二维的 则仅有两类奇点型式 称为椭圆脐点型和双曲脐点型突变 设是四维的 则仅有两类奇点型式 分别称为蝴蝶型突变和抛物脐点型突变 分类定理的科学意义是十分明显的它把世界上大量的突变现象进行分类 大大减少了描述 的任意性 从而把许多本来似乎毫无关系的事物有机地联系了起来这是人类科学思想的一个新 的发展 上面提到的函数称为势函数自然界中大量事物的运动是由势函数决定的势函数本来 是力学中的概念 这里把它进行了推广 可以适用于突变论研究的所有现象 例 如在力学中可 以是总的能量在经济学中可以是消费函数在优选工作中可以是耗费函数 在光学中可以是测地 线距离在热力学中可以是吉布斯函数等等势函数的具体形式是由不同学科的具 体规 律决定 的从这点可看出 突变论的研究不能代替各门学科的具体研究然而 如果找到了势函数或势 函数的微分形式 我们就可以从基本突变表中查到它的数学模型 再从这个数学模型的研究中 预 言能够 同实验对照的结果下面将在力学的研究中 举出一些典型的应用方法从中可看出 突 变论的主要定理的证明和推导尽管复杂 但它却可以并不那么困难地应用于实际问题 二 欧拉结构的突变模型 图的弹性拱结构受到水平力 产和垂直压力 的作用 当 产达到一定数值时 拱会突然产 生屈曲对于这样一个突变现象以往是能通过某些计算了解它的一些特性的 然而不能获得它的 整体模型而突变论贝提供了这样一个模型 显然 产 是两个控制因素 拱的形状是行为 控制空间为二维 行为空间为一维我们将期 待它是尖角型突变 户 令拱长为 又 为 点对水平线的垂 直 距离 可见尹的函数形式表示了拱的形状 一般我们可以用福里叶级数表示了 一 艺 月北 一 称为第 次谐波的振幅 欧拉已经证明当尸 又 在二级近似条件下 了 的形式为 些 凡 其中为拱的中点到水平线的距离 如上所述 为了找到它的突变数学模型 必须求出系统的势函数系统的能量包括三项结 构的应变能 压缩力所做的功 以及负载做的功 队注意到 压缩力做的功使系统失去能 量下面我们分别求出这些能量项的数值由弹性力学我们知道 应变能 为 几 一 一 刀 田 一叮万 其中为拱的弯曲刚度 为任意点 处的曲率图为拱上任意点 处附近 的一 个无限小单 元 为对水平线的夹角 由图中不难看出 点的曲率 为 办 一 粤 斗 李卜 一 一 一 了万了 尸产 式 中撇号表示对 的微商于是式化 为 一生 一 一 从图中还可以看出在水平力 拼作用下 拱在水平方向的收缩距离为 一 一 了不了二面 三一 一 了 柳 那 么水平力作的功为 一 一 一 了玉 丁 石 负载所作的功可以近似表示为 这样 拱的势函数可以近似用下式表示 一 一 粤 一 一一 卜 了不万 艺 沙 把代人 经过计算并选取适当单位令 一 产 一止立 可得 生 月 十甲 甲 口 斗 将式与基本突变类型表对照 可以看 出它是同尖角型突变的势函数相对应的就是说图 所示的欧拉拱的突变行为是一种以 一对为正常因素 以 图形见图其中行为曲面分为三叶上下叶表示 即 拼 为分裂因素的尖角突变 它的 护场一护口口 一 鱼 二 二 月 而中叶表示 能量取极小值 物体才处于稳定状态所以上下叶表示系统的稳 定平衡状态 即拱向上或向下的屈曲中叶表示不稳定状态 即拱 不可能存在的状态 图中的平面称为控制平面 的折线在上的投影称为 尖角分支集合 任何加载路径经过分支集合时都会使欧拉弹性梁产生突变行为图中虚线表示了 这样的过程增大 产 使梁向里压缩梁向上屈曲增大 向下加载劝弹性梁向下 屈曲 于是 这样一个尖角突变模型就完全描述了图所示的机构 突变论给出的数学模型也是能够用实验进行验证的 泛 证明了另外一种铰支欧拉拱的 突变行为是对偶尖角型突变所谓对偶尖角 是指图中的冠的中叶表示稳定状态 而上下叶表 示不稳定状态 七 的结果是同 通过实验给出的不完整度灵敏性 曲线完全吻 合的 三 优化设计中的应用 高度优化的工程结构的稳定性理论已经使用了突变理论它能够使我们对于优化设计中不 完整度参量的作用获得一个全面而完整的认识这将大大减少工程设计中的保守性 考虑 图 斗所示的加强板 它是在许多实际工程结构中常用到的当板受 到 个平行于加强筋 方向的轴向负载时 板一方面会产生类似简单立柱的弯曲形变 其幅度为另一方面它还会在 加强筋之间产生卷曲 其幅度为 优化设计的一般理论认为当 与 这两种破坏模式一 同发 生时 这样设计的结构将是最优的即能承受最大的外加负载 另外 任何一块类似的加强板 它不可避免地要存在一些制造缺陷我们用 和 来模拟 两类最重要的不完整度如果能研究清楚 和 对结构强度的影响 对结构的优化设计将是十 分有用的 首先讨论只存在 这一个不完整度的情况 分类定理告诉我们 在只有两个控制参量 户和 的情况下的突变类型只有一种 即尖角突变据此可以 广汾 于哪竹少勺 期待板的突变行为符合尖角突变 即同以上所述的欧拉拱 图斗 的行为是完全一样的破坏负载同 的关系呈 次 幂 的关系实验完全证明了这样的结论 如果同时存在两个不完整度因素 和 根据分类 定理 在控制空间为三维 行为空间为二维的情况下的突变 或者是双曲脐点型或者是椭圆脐点型和 详细研究了这种情况它已被识别出是双曲脐点型突变 然而实际结构中的问题有时比这要复杂得多结构愈 优化 不完整度的数目则愈多所以优化结构的突变型式 实际早已超出七种基本突变 例如双尖角突变也已经得到 应用不过 更高维的突变型式是可以推导 出来的 有人已 经计算到控制维数为维的突变型式 四 原子晶格的断裂 研究了图的一片密堆积原子面 设两个相距为 一 势 一 一 一 其中 为常数 现在来研究当这一方块 晶体受到叭 的单轴拉伸时的行为 的原子之间的作用势满足 假设原 子 间 的相互作 用只会在最邻近的原子间发生并且原子晶格在受到单 轴拉伸时 只产生平面应变采用以上假设 他证明了在 晶体的应力一应变曲线上 存在这样一个分支点 在这 以前 晶体只存在 的拉伸应变但是在欠点以后 即 在一定的几作用下 当原子间的距离达到一个特定的数 值时 就产生了破坏对称的切应变于是方块晶体就 会突然变成平行四边形在这样的分支负载下 只要存 在即使是很小的扰动 晶体就会突然断裂因此用突变 论分析 这样的晶体结构的平衡表面就是以切应力巩和 晶体最大允许负载 笠作为控制因素的尖角突变表面 季季季冬冬渗渗 加认为 这里的结果很可能同断裂力学的研究有关因为在裂纹尖 端拉伸区的不稳 定分支很可能就是形成平面裂纹的对称破坏的机理 突变理论可以很方便地研究更复杂的受力情况现在已清楚地研究了在双轴受力下晶体的 情况它的三维破坏位置图形是一种双曲脐点型突变 五 关于船的稳定性的新看法 与经典的船的稳定性理论不同 突变理论对船的状态提出了一个新的看法它对经典的稳定 性理论是一个重要的补充 能使我们更加明瞪地看到船的整体行为为了说明突变理论是怎样应 用于船的稳定性问题的 我们举一个厢壁船的静态平衡的例子类似的工作已经推广到三维或者 非线性的动力学平衡的研究中了 设想一个船的船身截面如图所示 它的两边壁是 相互平行的 称为厢壁船图中符号为 口表示船的重心 位置 表示船铅垂地浮于水面时的浮力中心 表示 船倾斜 口角时浮力中心 男表示船在摇摆时浮力中心位 置曲线 一 表示男上的 点的垂线 表示定倾中心 即劣曲线的过 点的曲率中心 产 表示定倾高 度 设船的重心位置由于某种原因发生了变化但船的 重 量并不改变 使船产生大角度的摆动 现在就来研究 在这样非线性范围 内 船的静态平衡问题 图 首先求出厢壁船的浮力中心位置曲线男的函数关系 根据浮体定律及其它关系 可以证明 甲的方程为 夕 其中为男上 点的曲率半径 也是到 的距离 坐标意义见图 对于小角度摆动 垂线是通过点的然而在大角度倾斜时 场显然不通过 也就是说 必须研究男曲线的每一点的曲率中心 即研究式的渐缩线 令渐缩线在图的当地坐标系中的坐标为 二 于是 一 一 厂 二 尸 一 夕 仁 民 十 一丁 一 其中 为劣曲线上的任一点 整理后得 夕一户 这是一条半立方抛物线如图它的开口是向上 的 以标记之 以上的推导与 的位置无关它们可以用来研究 在 力空间内移动的情况那么对于 的一个给定位置 船将在什么样的倾斜角度下平衡呢这种平衡是稳定还是不稳定的呢 船处于稳定平衡状态时 的位置必定处于垂线屿上 我们可以把限制在一定的范围内 例如 叫夕 夕是一定的角度 在图中 倾斜夕角不能使水浸没甲板于是我们定义这样的平 衡曲面 夕 这个曲面表示了的位置同平衡角之间的关系上式中之所以有 两 是因为 的位置在平 衡时必处在垂线上就是说 是 集合 中的一个元素于是根据这个定义 可以得出 只要 把当作一个坐标 的方程就必然同的方程一样可以从图的几何关系上求得 以任 为坐标的劣的法线方程为 一姆一 查基本突变表 这是一个在 户处有一个尖角突变的曲面方程 二 分别为正常因素和分裂 因素在 夕 空间内画出它们的 图形如图 其中坐标垂直于 平面 即 妇平面 讨论这个数学模型的几点性质 曲面就是 汾的法线束 即在图中 当我们用 的平面来截曲面时 其交线必 定是平行于曲线劣的法线的直线这是因为具有相同倾斜角的点的位置都在一条法线上 曲面的折线在 平面上的投影即分支集合就是曲线 如果船的重心位置 在 曲线里面 则对应有三个 平衡点 在二曲线外面 则有一个平衡点 从尖角突变的理论知道 曲面的三叶中 中叶代表 系统的不稳定状态 其他两叶是稳定状态所以对于厢壁 船 如果在 内部 可以取三个数值 其中一个是不稳 定的 沿用同样的方法 还可以证明 截面为椭圆形的船的稳 定性曲面 为对偶尖角突变这个曲面只有中 叶是 代表 稳定状态的 其他两叶都是不稳定的并且它的曲线开 口是往下 从而说明它的稳定性在大角度倾斜时要比厢壁 船差得多 突变理论能够使我们从一个新的角 度看待 船的 稳定 性除了以上所叙外 还提出了 由于过载或者浪 头打在船的中部而增加的颠覆可能性是燕尾突变模型由 于彼浪引起的非线性共振而产生的突然滚旋的模型是动力 学折点突变在一定的情况下 定倾中心还可以有双曲脐点型突变等等 六 结束语 突变理论在力学中的应用远不止以上所举的几个例子它在激波研究 非线性振动 流体力 学等方面都有应用但仅从以上就可以看 出 突