等速螺线.docx

等速螺旋(阿基米德螺线）一、什么是等速螺旋 1、从点O出发的射线l绕点O作等角速度的转动。 2、同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫等速螺旋 或阿基米德螺线。二、等速螺线的极坐标方程1、建立极坐标系取O点为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系如上图。2、建立参数方程设点M的初始位置为（0,0），点M在l上的运动速度为v,l绕点O转动的角速度为w，经过时间t后，l旋转了角，点M到达位置（,）根据螺旋线的定义可得：-0=vt, =wt这就是以时间t为参数的参数方程。3、建立极坐标方程参数方程消去t后得：-0=v/w这是所求得的等速螺线的极坐标方程。设v/w=a则=0+a此为等速螺线极坐标的一般形式，是的一次函数。特殊情况下，0=0时，= a，是的正比例函数。三、=a的图像其中虚线为和取负值时的图像四、等速螺线的笛卡尔坐标系方程1、极坐标系和直角坐标系的换算公式x=cosy=sin2=x2+y2tan=y/x2、等速螺线的笛卡尔坐标系方程由=vt =wt可得x=vtcosy=vtsin五、CREO下的参数方程1、笛卡尔坐标系第一个例子s=v*tangle=t*360x=s*cos(angle)y=s*sin(angle)图中：v=50表示螺线的极径在0-50之间变化，转角在360度之内，当达到360时极径长度为50当转过90时，t=90/360=1/4s=50/4=12.5当转过180时，t=180/360=1/2，s=50/2=25第二个例子s=50*tangle=5*t*360x=s*cos(angle)y=s*sin(angle)第三个例子s=50*tangle=60+3*t*360x=s*cos(angle)y=s*sin(angle)第四个例子s=50*tangle=-60-2*t*360x=s*cos(angle)y=s*sin(angle)2、圆柱坐标系（极坐标系）r=50*ttheta=t*360z=0（柱坐标系的三个参数为r，theta，z）此方程与第一个例子等价的。六、等速螺线的面积问题1、扇形的面积公式S=12R2S扇形面积R半径圆心角，弧度2、计算曲边扇形面积的数学模型如上图，由曲线=()，射线=，=围成曲边扇形，要计算其面积，取极角为积分变量，它的变化区间在，相应于任一小区间，+d的窄曲边扇形的面积，可以用半径为=()，圆心角为d的扇形的面积来近似代替，从而得到窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素：dA=12()2d以此面积元素作为在闭区间，上作定积分，便得所求曲边扇形面积的面积为：12()2d3、计算等速螺线的面积如图，计算阿基米德螺旋变化区间为0，2的一段圆弧与极轴围成图形的面积根据数学模型，可得：A=02122d=021222d=223302=4323当=10时，变化区间为0，2时，等速螺线的柱坐标系参数方程为theta=t*360r=10*2*pi*t（由theta化为弧度，即t*360*/180=2*t*）则A=4323=431003=4134.17计算等速螺旋变化区间为0，4的一段圆弧与极轴围成图形的面积如下图：根据等速螺线的定义起始点为0时的极坐标方程为，= a。如图此时的起始点位置为0=2由-0=v/w=可得-2=。于是改图像所示的极坐标方程为=2+=（+2）此时，当=10时，变化区间为0，4时，等速螺线的柱坐标系参数方程为theta=2*t*360r=10*4*pi*t（此方程表示螺线从圆心开始绕两圈）如果只考虑外圈，不考虑图中的虚线部分，则参数方程为r=2*10+10*2*ttheta=t*360（此方程表示螺线从2点开始绕一圈）下面计算此图形的面积A=0212(+2)2d=02122(+2)2d=22(+2)3302A=50(4)33-50(2)33=33073.36-4134.17=28939.19七、等速螺线的弧长问题1、弧长元素如图，设x，x+x为（a,b)内相邻的两个点，它们在曲线y=f(x)上对应的点为M,M。当x足够小时，弧MM近似等于其对应的弦长，用s表示弧长，于是有 s=x2+y2 由函数微分学可知，xdx，ydy则sds由此可得直角坐标系下的弧长元素为ds=(dx)2+(dy)22、各种形式方程下的弧长直角坐标方程由ds=dx2+dy2可推出ds=(dx)2+(dy)2=dx(dx)2+(dy)2dx=dx1+(dy)2故此，直角坐标系下区间（a,b)的弧长为abds=ab1+(dy)2dx由参数方程所确定的弧长x=(t)y=(t)dx=(t)dtdy=(t)dtds=(tdt2+tdt2=t2+t2dt故此，在区间（a,b)的弧长为abds=abt2+t2dt由极坐标方程确定的弧长x=()cos()y=()sin()dx=()cos-sin()ddy=()sin+cos()dds=()cos-sin()2+()sin+cos()2d=2+2d故此，在区间（a,b)的弧长为abds=ab2+2d3、计算等速螺线的弧长1、变化区间为0，2时，等速螺线的弧长sabds=ab2+2d=022+2d=021+2ds=2