艾滋病疗法的评价及疗效的预测 [文档在线提供].doc

艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文将两组多人次、多时刻艾滋病治疗效果数据认为是某个随机过程多次在不同时刻的样本进行分析处理，给出HIV及CD4统计曲线图，同时给出曲线的一个多项式模型，以此对最佳终止治疗时期给出预测、判断。在问题一中，我们首先对问题所给数据进行了处理。根据统计规律，我们将数据组中的缺失数据项删除，然后用线性插值的方法将所有病人的数据记录按一周为单位长度补齐，然后求出HIV及CD4的平均值，再利用MATLAB软件做出其随时间的变化曲线。我们通过对图形的分析，找出了最佳终止治疗的时间应在第23周。同时我们用MATLAB分别拟合出了CD4和HIV的4阶多项式模型。也可以通过对这两个多项式求解极值，得出了最佳终止治疗时间t=23.41。这与我们通过上面图形分析所获得的结果大体是一致的，这也验证了我们模型的正确性。在问题二中，我们通过比较最佳治疗期的长短以及CD4水平的高低及各个疗法的持续治疗期大约为33周，并依此判断出疗法四的治疗效果最好。我们给出用解决问题一中相同的方法建立4种疗法的多项式模型，以上结果都可用所建模型在时刻t的数值及极值点的大小给出如上预测。 在问题三中，我们通过比较各种疗法在最佳终止治疗期及持续治疗期所花费的费用，作出结论。如果选择最佳终止治疗期的费用最少，则选择疗法1；如果选择持续治疗费用最少，则仍然选择疗法1。 关键字：随机过程曲线拟合相关系数拟合多项式省级二等奖一、问题的提出 爱滋病医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由爱滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。所以，医学上对爱滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV日数量，同时产生更多的CD4，至少要有效的降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 目前，医学上存在很多种AIDS疗法，但疗效不尽相同。在此我们所要做的是，参考附件1、附件2给出的数据，建立合理的数学模型，解决以下问题：1、对附件1中300多名病人继续治疗的效果做预测或者确定最佳治疗终止时间；2、对附件2中的4种不同疗法的优劣给出评价，并对较优疗法预测继续治疗的效果或确定最佳治疗终止时间；3、参考爱滋病药品的价格，在病人考虑不同疗法费用时，对前述问题的评价和预测进行进一步分析和改进。二、问题的分析 我们要预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间，就必须对病人在治疗过程不同阶段测试的CD4和HIV浓度随时间的变化进行分析。根据本题目给出的信息，爱滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效的降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。当继续治疗人体内HIV的数值不再增加，同时CD4数值不再减少时刻为最佳治疗终止时间。我们对数据进行处理，得到CD4和HIV随时间变化的趋向图，依此就可以对治疗效果或最佳治疗终止时间进行分析。 三、假设1、 附件中给出的调查数据具有代表性，即被调查的这些人之间是相互独立的；2、 考虑没有外界因素对病人病情的影响；3、 附表中的CD4或HIV数据如果缺失则可认为没有进行此周的测试，即剔除附表中该患者本周的测试数据；4、 相邻两次测试之间患者的CD4或HIV浓度呈线性变化；5、 每位病人每次服用相同剂量的药物；6、 问题二中的分组是绝对随机的，每组的病人的初始病情的平均情况相同； 7、 假定四周为一个月，交换使用药物时，首先使用较便宜药物。 四、参数与符号说明t : 表示对数据进行检测的时间（单位：周）；Mj：表示第j种疗法的日费用 (j=1，2，3，4，单位：美元)； Cj：表示第j种疗法的总费用（j=1，2，3，4，单位:美元）； ：表示CD4在t时刻的数值；：表示HIV在t时刻的数值。五、模型的建立与求解问题一：建立爱滋病患者CD4数量、HIV浓度随时间变化规律模型将附件1中文本形式数据放入EXCEL数据表中应用自动筛选功能进行处理，分析发现，在某些检测时刻没有CD4和HIV的数据记录。另外发现数据中有一组起始检测时间为-2，不符合常理，因此我们对这些数据进行删除操作，对每个病人测试的时间的长短进行统计，统计结果见表一： 表 一：不同检测时间人数及比例测试时间t50t45t44t43t42t41人数112130365286百分比0.66%1.26%1.80%2.16%3.12%5.17%对大量数据进行统计,要求落在单位时间内的数据尽量多,才能使统计结果比较接近真实值。对表一进行分析发现，测试时间大于42的数据所占总数据的比例小于5%，删除不会对模型产生明显的影响。因此数据表的测试时间分布应为0，42，我们对这些数据记录进行统计分析。 对于每一个病人，相对应的一组数据是在治疗期间的抽样值，是一组离散的数据，而在实际中，人体内各项指标的变化是连续的。我们无法得到实际数据，依据假设4，相邻两次测试之间患者的CD4或HIV浓度呈线性变化。通过插值的方法得到患者在各周时CD4或HIV的水平值。为了实现这一目标，我们选择用时间序列分析法和MATLAB数学软件对数据进行处理。设随机过程X（t），Y（t），、分别表示X（t），Y（t）的第i个抽样，其值表示第i个患者在t时刻的CD4和HIV水平值。以，分别表示患者在t时刻CD4和HIV水平值。、只有有限个实验值，相邻两次测量时间与之间其余的值由与线性插值得到。同理得到。由大数定理我们可以得到：在MATLAB中建立M文件fujian1.m，并编写程序实现以下功能：1、由线性插值得到、并求出相应的及；2、绘制及即CD4和HIV的水平值随时间的曲线图；3、由插值点拟合出多项式为：即CD4及HIV随时间t变化的数学模型。fujian1.m见附录。4、将X（t）、Y（t）图及CD4和HIV的水平值随时间的曲线图绘制到同一坐标系下。我们对X（t），Y（t）在不同时间段进行相关性分析，当t取值范围不同时，得到不同的相关系数，如表二所示： 表二: X（t）与Y（t）的相关性系数t的取值范围相关系数0，25-0.939626，35-0.6564 从表中我们可以看出，当t0，25时，相关性比较大，近似线性相关，可认为线性相关。此时，对于治疗效果，可以通过对CD4或HIV水平值的分析来作出判断；当t26，35时，相关性比较小，就不能通过单独对CD4水平值或HIV水平值分析来判断。因为AIDS是由HIV引起的，所以HIV的水平值变化是决定治疗效果的首要因素。因此，我们在做判断的时候，应该首要考虑HIV水平值的变化情况，其次也要考虑到CD4水平值的变化，综合考虑两方面因素，对治疗效果作出判断。为了便于对CD4和HIV含量变化进行比较分析，将CD4和HIV曲线图放置在同一 坐标图中，其中HIV图是由原图纵轴等比例扩大30倍所得。曲线图如图2：图2 CD4和HIV随时间变化的关系根据图2显示，随着时间的变化，周数在t 0，8区间时，HIV浓度呈很明显的下降趋势，且下降趋势很大；当t 8, 24区间时，随时间的增长，HIV浓度依然呈下降趋势；在t 24，26区间内，HIV浓度值开始有波动，而在t 26，40内基本保持同一水平，可以认为药效已经不明显。以此我们判断在测试期结束后继续治疗的效果也不好，应该在t23周时终止治疗。同时可以看到，在治疗初期刚刚开始用药时，即周数t 0，10区间时，CD4细胞数量随时间增长速率很快；t 10，23区间时，与前阶段相比，CD4细胞数量随时间增长速率有所减缓，但依然呈现增长趋势，且在t23周时出现峰值；到t27周时才有缓慢的回升并继续变化如图2所示；当t在40附近时又出现一个峰值，随后急剧下降。参考本题目所给资料，医学上对爱滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效的降低CD4减少的速度。因此我们据图2做出结论，当t 0,10区间内时,CD4数量明显上升而HIV浓度明显降低,是治疗效果最明显的阶段;当t10,HIV浓度的减少速率减小而CD4数量还有较明显的升高,此时也满足治疗见效的条件;当t 23,24时,CD4数量和HIV浓度均是减少的,在t25，40周的一段时间内,CD4数量保持缓慢上升,HIV数值基本保持不变；当t40时，HIV数量急剧上升，CD4数量急剧下降,因此我们得出终止治疗时间为23周。用MATLAB软件对CD4及HIV曲线拟合一个随时间变化的四次多项式模型： 将两个多项式曲线图及CD4和HIV的水平值随时间的曲线图绘制到同一坐标系下,如图3:图3用此多项式模型可以得到CD4和HIV在各个时刻的数值。用多项式求出CD4的数值在0，40的最大值点为t=23.41；用多项式求出HIV的数值在0，40的最小值点与多项式求得的结果吻合。因此，我们以两个多项式、的极值点作为最佳终止治疗时间的判断时间。问题二：建立对四种疗效的评价模型题目给出了四种不同的AIDS疗法，疗法一：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；疗法二：600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；疗法三：600 mg zidovudine加400 mg didanosine；疗法四： 600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平） 附件2中数据记录了在不同疗法下病人的CD4含量，要评价四种疗法的优劣，我们同样需要得到每种疗法所对应的CD4随治疗时间的变化曲线。1数据处理 将附件2中的数据放在EXCEL中，利用自动筛选功能，将数据组中记录数据的个数少于2个的患者记录剔除掉，得到疗法1、疗法2、疗法3、疗法4的统计数据。2. 建立文件，编写程序fujian2.m，fujian2.m见附录23用MATLAB作出图形 如 5：图5.四种疗法CD4随时间变化曲线 根据图5所示四种疗法CD4-时间散点图，对所建模型进行分析：比较图中4条变化曲线图，疗法1CD4数值上升较慢，最佳治疗期较短，但其CD4减小的速度较慢；疗法2中CD4数值变化趋势与疗法1走势相同但CD4整体数值稍高；疗法3的最佳治疗期较疗法1、2稍长，其CD4数值较高，其后下降速度较快；疗法4较之其它疗法，最佳治疗期最长，约为15周，CD4数值水平是其它疗法的2-5倍，其后CD4数值下降速度最快。 总体来讲，疗法4较优，但其最佳治疗期后CD4水平下降剧烈。以下分别给出疗法1、2、3、4的多项式数学模型：由曲线得到的最佳治疗期时刻与由模型得到的最佳治疗期相吻合，见图6图6该图曲线使用MATLAB软件进行曲线拟合得到。由多项式在时刻t的值即可判定各疗法下CD4的数值，通过比较多项式的值及极值点的大小即可判定各疗法的优劣。问题三：应用问题二中得到的4个模型，找出各模型的最佳中指治疗时间和继续治疗时间。题目给出了不同AIDS疗法的用药配方和各种药物日治疗价格：药物价格：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。4种疗法的日治疗费用为，i=1，2，3，4，则 0.85 第一个月 1.60 第二个月1.85+1.60=3.5=1.60+0.85=2.45=1.60+0.85+1.20=3.65根据模型曲线，在曲线稳定段0，35，即继续服药一直稳定在35周时，我们可以求出四种疗法分别在最佳治疗终止期所花费用和继续服药期所花总费用（i=1，2，3，4）见表三。实现程序见附录三：fujian3.m 表三CD4最高数值疗法18.0868.60292.25疗法27.11169.05845.25疗法39.30154.35600.25疗法413.80332.15894.25六、模型的结果与分析所建立的多项式数学模型，用MATLAB软件非常容易实现。模型对数据曲线拟合较好，但是多项式模型的幂次稍高，其原因可能是因为病人测试数据较少引起的。七、参考文献1 姜启源谢金星叶俊数学模型（第三版）北京：高等教育出版社 20