斐波那契数列及其性质.doc

裴波纳契数列及其性质 在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契 数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作算盘书中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月 份12345678910111213小兔子数（对）101123581321345589大兔子数（对）01123581321345589144兔子总数（对）1123581321345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：， 所给出的一个数列。从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规律，我们首先给出几个与裴波纳契数列相关的数学模型，然后对裴波纳契数列展开讨论。2.1 覆盖问题例1 用的骨牌覆盖的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？解 设有种不同的覆盖方法，将棋盘水平放置，考虑最后一个骨牌的放法：若垂直放置，则有种不同的覆盖方法；若水平放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有种不同的覆盖方法。于是，由加法原理得： ，其初值为，因此， 。例2 用和两种骨牌覆盖的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？解 设覆盖方法有种，考虑最后一块骨牌：若是的，则有种覆盖方法；若是的，则有种覆盖方法。所以，其初值为，于是， 。2.2 爬楼梯问题例3 某人爬有个台阶的楼梯，一步可以迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的爬楼方法？解 设爬个台阶有种方法。考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前个台阶有种方法；若最后一步迈两个台阶，则前个台阶有种不同的方法。于是，由加法原理得：，易知其初值，从而 。2.3 0-1序列问题例4 由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度，若果0100011011是一个长度为10的0-1序列，求长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数。解 设这样的序列有个，考虑最后一个数，如果最后一位是0，则只要前位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有个。若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有个，由加法原理得：，由初值得，当然也可以写成 。例5 求长为的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的个数。解 设这样的序列有个，以0和1结尾的这样的序列的个数分别用和表示。则。以0结尾的序列有如下两种：（1）00 （2）110第一类中只要前位既无010也无101即可，注意到前位是以0结尾的，所以有个这样的序列；第二类中只要前位无010和101即可，因为前位是以1结尾的，故有个这样的序列；于是有: -同样，以1结尾的序列有如下两种：（1）11 （2）001于是有： -由+得： 再由初值，得： 2.4 一个几何上的例子例6 半径为1的两个圆, 外切，是它们的一条外公切线，依次作和、均相切，作和、 、均相切，作与、均相切，求的半径的表达式。解 作、，过作的平行线分别交、于、,作于，则由，可得 .令，则且，故，从而. 3裴波纳契数列的性质3.1 基本性质为了方便讨论裴波纳契数列具有的若干性质和变化规律，本文首先从的通项公式入手，对裴波纳契数列展开讨论.设 -由裴波纳契数列的递推公式，可得： = 从而 再设，则有从而得 所以 -再利用，并将式展开得到： -其中将和比较可得数列的通公式，也就是我们所要探讨的数列的通项公式：性质1 裴波纳契数列的通项公式:（n1）通过观察，我们知道裴波纳契数列中的每一项都是整数，但其通项却含有有理数，因此可见裴波纳契数列的与众不同之处。利用裴波纳契数列的递推公式可以得到：性质2 裴波纳契数列的前n项和：证明 由，.可得：性质3 裴波纳契数列的奇数项和：证明 由，可得：性质4 裴波纳契数列的前n项平方和: 证明 由 ， 可得：利用数学归纳法还可以证明：性质5 裴波纳契数列的相邻项乘积之和： 证明 对用数学归纳法证明，当时，等式显然成立。假设时结论成立，即.现证时结论成立. =所以，对任意自然数结论都成立。性质6 若连分数，那么证明 由，有： 所以，利用的通项公式 可以证明下面的一些性质：性质7 证明 设，则 =所以：性质8 证明 =而 =综上所述： 性质9 证明 =所以：性质10 若，则 证明 =所以，用同样的方法证明得到：性质11 若，则性质12 若，则性质13 若, 则性质14 若，则3.2 裴波纳契数列与黄金分割数通过以上性质的证明推导，我们可以发现裴波纳契数列的一些基本性质变化。那么，如果我们对裴波纳契数列的前后两项进行比较，而得到的新数列又有什么性质呢？因此，我们对裴波纳契数列进行延伸，在深层次探讨数列的极限存在性及其具有的性质。这个问题的解决，可以为人们进一步讨论该数列的规律提供一个重要依据。通过观察数据：1我们发现数列不是单调函数，但随着的增大，裴波纳契数列的前两项与之比趋近于黄金数0.618。众所周知，黄金数在自然界是一个奇妙的数字，比如人的肚脐是人体总长的黄金数分割点；某植物的叶子在茎上的排列也存在黄金分割问题；在艺术和建筑上，黄金数很有用，正因为如此，裴波纳契数列的这个性质显然格外重要。性质15 证明 利用裴波纳契数列的通项公式，可知数列前后项之比的极限为。由上面的性质可知，裴波纳契数列相邻两项之比所形成的数列恰恰收敛于“黄金分割数”。这一命题揭示了裴波纳契数列与黄金分割的奇妙关系。 但如果把性质15中的改为后，数列又有什么变化规律呢？通过推导，我们得到了：性质16 设为裴波纳契数列，则 数列为严格单调数列且有上界；数列为严格单调递减数列且有下界.证明 = =利用性质9，上式 故数列为严格单调数列.显然，数列是一个单调数列，即所以，数列为严格单调数列且有上界.同理可证，数列为严格单调递减数列且有下界.性质17 数列有极限且等于黄金分割点率证明 我么只需证明数列与有极限且相等就可以了.事实上，有极限，设为； 单调也有极限设为。则有： ；。显然且，从而可得，所以我们可得：，即数列有极限且等于。4 斐波那契数列在中学数学中的应用4.1 求解一元二次方程利用裴波纳契数列能快速求解一类特殊的一元二次方程根的代数式的值。例1 设， 是方程的两实数根，不解方程，求 的值。 解 考虑利用根的定义降次，得 ：， 。通过这些计算，不难发现规律： 同理，有 所以， 那么 例2 设， 是方程的两实数根，且，不解方程，求的值。解 利用根的定义升次和降次 考虑到中右边系数为负数，给计算带来不便，而由，得： ，再由，得：， ， 故 又 且， 则 。所以 。4.2 几类具有代表性的问题求解4.2.1比较数的大小例3 已知:，那么与的大小关系是： 不能确定解 4.2.2 化简根式例4 化简解 设，则 ，所以 ，因而 ，故 4.2.3 求值 例5 求的值。解 那么 =4.2.4 证明等式例6 若为非负整数，那么 证明 令，则 =又，则有 = 所以 4.2.5 裴波纳契数生成勾股数由性质10，11，当时有： = 得：对任意给定的，由上式可导出勾股公式，当为奇数时有 ；当为偶数时有 。由此我们的得出五个连续的斐氏数生成的勾股数组公式，我们还可利用性质16得出五个非连续的斐氏数生成的勾股数组。事实上，在中令，得： 故 此式非连续的斐氏数生成的勾股数组公式。4.2.6 巧证竞赛题例7 求证是正整数时，大于的最小整数能被整除（1987年苏州高中竞赛题）。证明 设，则有 = 故是含有的整数。又由，有。 故是大于的最小整数而又能被整除。例8 数列，求证： 中任意一项都是正整数； 为完全平方数。（2005年全国高中数学联赛题）分析：初看该数列，颇有些奇特，但易知,这些数字似曾相识，但仔细想想，正是数列中的一些项，就是所谓的斐氏数，进一步我们知道，由此猜测。下面将证明这个关系式。证明 当时，显然有； 假设当时，有，下证当时，也有：由 ，知： 从而 =综上所述，对一切都成立，由此可知中任意一项均为正整数。对于第问，由，得 ，进一步有：，所以：而又因 =因此为完全平方数。例9 设，其中 和时互质的自然数，而等式左边含有条分数线，试计算的值（第14届全俄数学竞赛）。解 由性质6，我们有，知 ，设上述含有条分数线的繁分数的值为，显然，于是 =例10 确定 的最大值，其中，为整数，且， （第22届IMO）。解 若的一组解,那么从而，即，其中当且仅当时等号成立。因此，在时，。由于，如果是满足上述条件的一组解，并且，那么也是满足上述条件的一组解，等等。由于满足上述条件的解有限，因此进行有限步后一定可得到；反过来，由解可逐步得到满足上述条件的全部解（其操作过程为由得出）。不难看出，这些组成的斐波那契数（每相邻两个是一组解）：因此的最大值为。例11 现有长为的铁丝，要截成段，每段的长为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，试求的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段（第17届江苏省初三数学竞赛题）。解 欲使尽可能的大，则每段长应该尽可能的小，又由每段的长不小于，所以应从1开始分截，假定含有1的起始三段长为，且，为了使这三段都不能构成三角形，则，又尽可能的小，故取，于是这段可分截如下：，这就是裴波纳契数列，又因为 ，而 ，故的最大值为，将长为的铁丝分成满足条件的段共有如下种方式： 1、1、2、3、5、8、13、21、35、61 1、1、2、3、5、8、13、21、36、60 1、1、2、3、5、8、13、21、37、59 1、1、2、3、5、8、13、21、34、62 1、1、2、3、5、8、13、22、35、60 1、1、2、3、5、8、13、22、36、59 1、1、2、3、5、8、14、22、36、58例12 在元旦春节期间，某超市准备利用超大屏幕，反复播放一个广告节目，这个广告节目每次播放的时间是10秒钟，如果开始只有一段10秒的录像带母带，若用两盘空白录像带在一台录音机上