名师讲逻辑推理.doc

逻辑推理学科：奥数教学内容：逻辑推理古时候有位哲人要去寻访A村，他的朋友告诉他：“A村附近有个B村，它们看起来几乎一模一样，A村的村民常去B村串门，而且对于陌生人的问话，A村的村民总说实话，B村的人总说假话，因此你将难于找到A村。”哲人听了这些话却不以为然，而且对他的朋友说：“我看到了A村或B村，只要问首先遇到的人任何一个问题，就能分辩出到达的是A村还是B村。”你知道这位哲人问的是什么问题吗？这位哲人只要问：“您是这个村的人吗？”如果得到的回答是“是的”，那么他到达的 A村；如果得到的回答是“不是的”，那么他到达的 B村。这是因为，在A村的A村村民（总说真话）和B村村民（只说假话）都会回答“是的”，而在B村的A村村民（总说真话）和B村村民（只说假话）都会回答“不是的”。像上面这样的问题，对于它们的讨论不需要任何专门的数学知识，只需要有较强的逻辑推理能力和机智，只需要从题设的一些相互关联的条件出发，经过分析推理，如假设法、排除法或经过简单的计算等方法，得出正确的结果。在数学竞赛、体育竞技比赛（球类、棋类比赛等）以及游戏中，常出现这类推理计算问题。这一讲我们主要讲述比较复杂的推理计算问题。例1 三名学生参加了若干科的考试，以考试名次积分，每科第一名得A分，第二名得B分，第三名得C分，且ABC0， A，B，C都是整数。已知甲积分为22分，乙、丙积分都为9分，并且乙是英语第一名，问数学第二名是谁？分析：甲、乙、丙三名学生参加了若干科的考试（至少2科），首先应估计到底是几科。依题意可列表如下：英语数学科目P总分甲22乙A9丙9总分A+B+CA+B+CA+B+CA+B+C40设共有m（m1，整数）科，则m（A+B+C）=40=235，由ABC0，得A+B+C6，且m是40的约数。下面分情况讨论：（一）若m=2，即只有两科，由于乙英语第一名，故A最大是9，而甲不可能得到22分。故不能是两科。（二）若m=4，则A+B+C=10，由A，B，C是正整数，且C1可得下列4种情况： A=7，B=2，C=1 A=6，B=3，C=1 A=5，B=3，C=2 A=5，B=4，C=1先看第种情况。由于乙得了一个7分，其它三科至少能得3分，故总分10，这与乙总分是9矛盾。看第种情况。由乙总分是9，且考4科，知乙的分数应是6，1，1，1，此时丙最多只能有一个第三名，即丙最少也能得到1+3+3+3=10分，这与丙得9分矛盾。若是第、种情况，乙都不可能得一个第一名且总分是9。所以m不能是4。（三）若m8，则A+B+C5，又A+B+C6，所以m8的情况不会出现。（四）综上所述m只能是5。解：设共有m科，m2，且m为整数。由题意可得m（A+B+C）=40=235，经分析可知m=5，A+B+C=8，由A，B，C是正整数，且C1可得下列2种情况：A=4，B=3，C=1或A=5，B=2，C=1。若A=4，B=3，C=1，则乙不可能有一个第一名且总分是9。因此，A=5，B=2，C=1。得分情况如下表：说明：首先要把所有可能的得分情况逐一列举出来，有时，由于数据较多，还经常采用图表的办法帮助分析，使得分析过程清楚、简洁、一目了然，排除不合情理的情况，从而得出正确的结论。这是解决推理计算题目常用的排除法。例2 22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有几人？分析：家长+老师=22，由于家长比老师多，故老师最多10人，家长至少有12人。类似地，可推出妈妈、爸爸和女老师的数量范围，再由至少有1名男老师，确定出男、女老师的人数，最终确定爸爸的人数。解：由题意可知老师最多10人，家长至少有12。又知道家长中，妈妈比爸爸多2人，故妈妈不少于7人。而女老师又比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。由于老师最多有10人，且至少有1名男老师，则女老师恰好9人，男老师恰好1人。妈妈有7人，则爸爸有5人。例3 10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分的总和相等，求第三名的得分。分析：由题意可求出比赛的总盘数及10得分的总和。由前两名没输过，可知这二人不能得到最高的9分，再由前两名的总分比第三名多10分，可求出第三名得分的上限，再结合题目所给条件借助不等式来分析，即可确定第三名的得分。解：10人中每两人都要赛一盘，因此每人赛9盘，10人共赛9102=45盘。每盘比赛不管结果如何，2人的总分都是1，故10的得分总和是45分。由于10的得分各不相同，可依次设为a1a2a3a9a10，又前两名都没输过，故a18.5，a28，a3=a1+a2-10，即a36.5，下面排除a36.5的情形。若a36.5，则a36，a45.5，a55，a64.5，a7+a8+a9+a10=a45.5，则这10人的总分不超过8.5+8+6+5.5+5+4.5=5.4=4319知，小明至少做对20道题。假设小明做对21道题，即使其余4道题全做错了，他也能得80分，可实际小明得了78分。这说明小明做对的题目应小于21。所以小明做对了20道题。而204=80（分），故小明错了2道题。由25-20-2=3知小明有3道题没做。10已知在每个正方体的六人面上分别写着1，2，3，4，5，6，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来，如图，要求紧挨着的两个面上的两个数字之和都等于8，则图中打“？”的这个面上所写的数是几？解：由“任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7”，得前面1的对面是6，又由“紧挨着的两个面上的两个数字之和都等于8”，得6挨着2，2的对面是5，5挨着3，3的对面是4，这时看右上角这块小立方体。它的上面是1，下面是6，前面是3，后面是4，左右两面只能是2和5，到底哪边是5呢？假设左边是5，则它