新课标下初中数学建模常见的几种类型.pdf

第9朝 初 中数学教 与学 新课标下初巾数学建模常见昀几种类型 叶 文 建 广东省珠海市第三中学初中部 5 1 9 0 0 0 初中数学新课标大纲对数学建模提出了 明确的要求 教材采用 问题情境 建立模 型 解释 应用与拓展 的模式展开 通过 对问题的研讨 学习 有助于学生经历真正的 做数学 和 用数学 的过程 数学建模对初 中学生来说是难点 强化数学建模 的教学 不 仅能使学生更好地掌握数学基础知识 学会 数学的思想 方法 语 言 也能树立学生正确 的数学 观 增 强应用数 学 的意识 比较 全 面的 认识数学及其与社会 技术 科学的关 系 提 高分析问题 解决实际问题的能力 下面举例说明新课标 中初中数学常见的 建模类型 一 建立方程 或方程组 模型 例 1 某商场将进货价为 3 0元的台灯以 4 0元售出 平均每月能售出6 0 0 个 调查表明 这种台灯的售价每上涨 1 元 其销售量就将减 少 1 0 个 为了实现平均每月1 0 0 0 0 元的销售利 润 这种台灯的售价应定为多少 这时应进台 灯多少个 北师大版九年级上 P 6 7 简析 本题的主要等量关系是 每个台灯 的销售利润 X平均每月销售台 灯的数 量 1 0 0 0 0元 设每个台灯涨价 元 那么每个台灯定价 是 4 0 元 每个台灯的销售利润为 4 0 一 3 0 元 平均每月销售台灯的数量为 6 0 0一 l O x 个 问题转化为求方程的解 4 0 一3 0 6 0 0一l O x 1 0 0 0 0 解 得 1 0或 4 0 答略 例 2 据报道 2 0 0 0年第一季度我国对外 贸易进出口总额达9 8 0 亿美元 比1 9 9 9 年同期 增长 4 0 其 中出 口增长 3 9 进 口增 长 4 1 2 0 0 0年第一季度我国对外贸易出 口是 多少亿美元 进 V I 是多少亿美元 北师大版 八年 级上 P 2 1 4 简析 设 1 9 9 9 年第一季度我国对外贸易 出口是 亿美元 进 V I 是y 亿美元 问题转化为 求方程组的解 1 4 0 Y 9 8 0 1 3 9 1 4 1 Y 9 8 0 解 得 3 5 0 I y 3 5 0 2 0 0 0年第一季度我国对外贸易出口是 1 3 9 4 8 6 5亿美元 进V I 是 1 4 1 Y 4 9 3 5亿美元 例 3 我国是世界上受沙漠化危害最严 重的国家之一 沙化土地面积逐年增长 2 0 0 0 年初我国沙化土地面积约为 2 6 1 5万千米 到 2 0 0 2年 初 沙 化 土 地面 积 已达 近 2 6 2万 千 米 假设沙化土地面积每年的增长率相同 那 么增长率大约是多少 新课标北师在版九年 级上 P 7 0 简析 设年增长率大约是 2 0 0 0年到 2 0 0 2年初沙化土地 面积经过两次增长 增长 率相同 则2 0 0 2年初沙化土地面积是 2 0 0 0年 初我国沙化土地面积 X I 问题转化为 求方程的解 2 6 1 5 X 1 2 6 2 解得 0 0 9 5 2 一2 0 9 5 舍去 注 求解增长率 问题的关键是正确理解 增长率的含义 一般地 如果某种量原来是 o 每次以相同的增长率 或减少率 增长 或减 少 经过 n 次后的量便是 0 1 或 0 1一 现实生活中广泛存在着数量之间的相等 9 维普资讯 初 中数学教 与学 2 0 0 6互 关系 例如分期付款 打折销售 增长率 储蓄 利息 工程 问题 行程 问题 人员 调配及 浓度 配比问题等 常归纳为方程或方程组模型来 求解 二 建立不等式 或不等式组 模型 例 4 商场出售 的 型冰箱 每台售 价 2 1 9 0 元 每日耗电量为1 千瓦 时 而 型冰箱 每台售价虽比 型冰箱高出1 0 但每日耗电 量却为0 5 5 千瓦 时 商场将A型冰箱打折销 售 如果只考虑价格与耗电量 那么至少打几 折 肖 费者购买才合算 使用期为 1 0 年 每天 3 6 5天 每千瓦 时电费按 0 4元计算 北师 大版 八年级下 P 2 3 简析 设商场将 型冰箱打 折出售 消 费者购买才合算 问题转化为求不等式的解 2 1 9 0 X 1 t 3 6 5 X 1 0 1 X 0 4 l U 2 1 9 0 X 1 1 0 3 6 5 X 1 0 Q5 5 X Q 4 解这个不等式 得 8 所以应将 型冰箱至少打 8 折出售 消费 者购买才合算 注 通过分析题意 找 出不等关 系 列 出 不等式 建立 最大 或 最小 模型 解决 至 多 或 至少 一类的决策性问题 例 5 一堆玩具分给若干个小朋友 若每 人分 3 件 则剩余 4件 若前面每人分4件 则 最后一人得到的玩具不足 3 件 求小朋友的人 数与玩具数 北师大版八年级下 P 3 2 简析 设小朋友的人数为 人 根据题 意得 r 3 4 一 4 一 1 3 I 3 4 一4 一1 1 解得 5Y 即 4时 选择乙旅行社 当 Y 4时 选择 坷 1 旅行社 例 7 某 厂现有甲种原料 3 6 0千克 乙 种原料2 9 0 千克 计划利用这两种原料生产 曰两种产品共5 0 件 已知生产一件A种产品需 甲种原料 9千克 乙科I 原料 3千克 可获利润 7 0 0元 生产一件 种产品需甲种原料4干克 乙种原料 1 0千克 可获利润 1 2 0 0元 1 按要求安排 两种产品的生产件 数 有哪几种方案 请你设计出来 2 没生 产 两 种 产 品 获 总 利 润 为 Y 元 其中一种的生产件数为 试写出 Y与 之间的函数关系式 并利用 函数性质说 明 1 中哪种生产方案获总利润最大 最大利润 是多少 简析 1 设生产 种产品 件 则生产 种产品 5 0一 件 依题意有 r 9 4 5 0一 3 6 0 3 x 1 0 5 0 一 2 9 0 解得 3 0 3 2 维普资讯 第 9期 生产方案有三种 生产 4 种产品3 0件 种产品2 0件 生产 种产品3 1 件 种产品 9件 生产 A种产品3 2件 种产品 1 8件 2 依题意有 Y 7 0 0 x 1 2 0 0 5 0一 一5 0 0 x 6 0 0 0 0 它是一次函数 根据一次函数的性质 当 取最小值时 y有最大值 所以 3 0时 Y 有最大值为 4 5 0 0 0元 第一种方案总利润最 大 例 8 某商店购进一批单 价为 2 0元 的 日 用商品 如果以单价 3 0元销售 那么半月内可 售出4 0 0件 根据销售经验 提高销售单价会 导致销售量的减少 即销售单价每提高 1 元 销售量相应减少 2 0件 如何提高售价 才能在 半月内获得最大利润 新课标北师大版九年 级下 P 6 0 简析 设定价为 元 则每件的利润为 一2 0 元 半月内的销售量为 4 0 0 2 0 一 3 0 元 依题意有 Y 一2 0 4 0 0 2 0 一3 0 一2 0 x一3 5 4 5 0 0 x 3 0 利用二次函数的性质 当 3 5时 Y有 最大值为 一 2 0 3 5 3 5 4 5 0 0 4 5 0 0 元 即当售价为 3 5元时 才能在半月 内获得 最大利润 现实生活中普遍存在着最优化问题 如 国情民意 生产生活 计划决策 市场营销 存 贷利息 用料造价问题 最佳投资问题 最小 成本等实际问题 常归结为函数问题来求解 四 建立几何模型或三角模型 例 9 已知 二条公路两两相交 交点分别 为 4 B C 现计划修 一个 由 库 要求到三条公 路之 间 的距 离 相 等 可供 选 择 的地 址 有 A 一处 B 二处 C 三处 D 四处 简析 条公路可看作是三条直线 油 初中数学教与学 库可看作是一个点 予是本题 可抽象为下列 儿何模型 已知 AA B C 在平 f I 内求怍到此 角形三边距离都 相等的点 P的个数 由一角 形性质 可知 这 样的点共有 四个 即 AA B C的 内心 1 个 AA B C的旁心 3个 故选 D 例 1 0 如 图 l 海 中有一 小 岛 该 岛 四 周 1 0海 内有 暗礁 今有货 轮 由西向东航行 开始在 4 岛南偏西5 5 的B 处 往东行驶2 0 海 里后到达该岛的南偏 西2 5 的 C处 之后 货 轮继续向东航行 你认为货轮继续 向东航行 途中会有触礁的危险吗 北帅大版九年级 下 P 2 1 B C D 冈 l 简析 根掂图示 货轮继续 东航行途 中是否会有触礁 的危险 就是 比较 A D 1 0海 里的大小 问题转化成为解直角三角形 求 A D 的长 由题意可知 BAD 5 5 CAD 2 5 在 R t A C D中 C D A D t a n 2 5 在 R t 4 启 D中 D A D t a n 5 5 AD t a n 5 5 一AD t a n 2 5 2 0 解得 A D 2