高等代数作业.doc

高等代数专题研究”是中央广播电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。该课程是针对中央广播电视大学数学与应用数学专业的学生开设的。它将已学过的代数知识（数的本质认识，数的发展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等）直接用到中学数学的教学与研究中。本门课程的主要任务是,一方面使学生加深对代数学的理解，另一方面使学生从高等数学和高等代数的观点出发，对初等数学进行深入的研究，并能够建立起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进行初等数学的教学。.关于课程考核说明与实施要求1.“高等代数专题研究”是中央广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业学生必修的一门专业基础课程。通过本课程的学习，使学生掌握代数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力。课程的结业考核合格水准应达到高等学校该专业本科教育的要求。本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材高等代数专题研究(王仁发主编中央广播电视大学出版社出版)为依据制定的。2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解、了解和知道；有关方法、公式和法则等的要求从高到低为熟练掌握，掌握和会。3.本课程的结业考核实行形成性考核和期末考试相结合的方式。结业考核成绩满分100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。结业考核成绩满60分为合格。4关于形成性考核的说明形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。作业的内容和要求以及评定请参考广播电视大学“高等代数专题研究课程教学设计方案”5.关于终结性考试的说明终结性考试实行全国统一考试，根据本课程考核说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间。考试的组织实施和试卷的评定，由有关的各省、自治区和直辖市完成。(1)终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算。命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。(2)考试形式：闭卷笔试，试卷满分100分。(3)考试时间：90分钟。(4)试题类型及分数：单项选择题和填空题，分数约占30。解答题(含简答题、化简题或计算题等)，分数约占60；证明题，分数约占10。单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。单项选择题给出四个备选答案，其一正确。填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。解答题主要考核学生的基本运算技能和速度，要求写出解答的理由或计算推导过程。证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。(5)试卷题目难度分布，易、中、难的题目在试卷中分配比例为4：4：2。考试时不得携带除书写用具以外的任何工具。II.考核内容和考核要求第一章代数运算与自然数考核知识点集合及其运算映射与函数，映射的合成与逆映射置换，复合函数与反函数代数运算及性质，代数体系，同态与同构自然数的定义及其运算归纳法原理考核要求： 1.熟练掌握集合的定义及其表示方法，集合与元素、集合与集合的关系以及集合的运算。 2.理解映射的定义，映射相等和映射的主要性质。熟练掌握映射的合成和求逆映射的方法。了解置换、轮换和对换等概念。 3.了解代数运算与代数体系的概念，以及代数运算的结合律、交换律和分配律等性质。知道代数系统同态和同构的概念。 4.了解自然数的定义，掌握自然数的运算。 5.掌握各种归纳法及其应用第二章不等式考核知识点：不等式的定义和性质，解不等式柯西不等式，赫勒德尔不等式，明可夫斯基不等式凸函数的定义及其应用，常用不等式考核要求1.理解不等式的定义和主要性质，熟练掌握常用解不等式和不等式的证明方法。 2.掌握柯西不等式的两种证明方法。 3.了解赫勒德尔与明可夫斯基不等式及其证明方法。4.理解凸函数的定义和性质，掌握它的某些应用。第三章多项式与环考核知识点：环的定义及其分类，整环的定义和性质素元素、不可约元素和相伴元素的定义与区别多项式的代数定义与分析定义代数学基本定理与多项式根的求法因式分解多项式的根的估计重因式判别法考核要求：1.了解环、交换环的定义，知道环的分类和子环定义。2.理解整环的概念，知道理想、可逆元素的定义。3.掌握素元素、不可约元素和相伴元素的定义及其区别。 4.熟练掌握整系数多项式因式分解的方法。5.了解多项式的代数定义和分析定义的异同。6.知道代数基本定理，并会进行证明。7.熟练掌握一元三次和四次多项式根的求法，以及多项式零点的估计方法。8.了解重因式和单因式定义，掌握其判别法。第四章排列与组合考核知识点：加法原理、乘法原理初等排列组合，可重复的排列与组合模型与公式筛法原理分部与逆推公式抽屉原理考核要求：1.理解加法原理和乘法原理。熟练掌握初等排列和组合。2.掌握可重复排列与组合。了解排列组合模型，熟练掌握排列组合公式。3.理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。4.知道分部概念，会求正整数方程n=x1+x2+xk的有序解和无序解。了解递推公式原理、扰乱排列、积和式、母函数等的概念。5.知道抽屉原理的简单形式，会简单应用。知道抽屉原理的一般形式。III.试题类型及规范解答举例一、单项选择题1自然数集是（）(易)(A)空集（B）有限集(C)可列集(D)无限不可列集选项（C）正确，将C填入题中括号内。2.若a,b是任意实数，且ab，则以下各式成立的是()。(中)(A)a2b2（B）(C) (D)选项(D)正确，将D填入题中括号内。3.多项式g(x)被3x+2除所得的余数是()。(难)(A)（B）g(2)(C)g(2)(D)选项（A）正确，将A填入题中括号内。二、填空题1.不等式取等号的条件是。(易)在横线上填写答案“ab0”。2.Z3x中的全部可逆元素是。(中)在横线上填写答案“1，2”。3.设A,B是两个集合，若Am，Bn，那么A到B的映射的个数是。(难)在横线上填写答案“”。三、简答题1.求整数6的有序不重复分部，即6=x1+x2+xk的不重复有序解。(易)答62442155162.对任意两个整数x,y，定义乘法*为：x*y=x。问整数集Z对普通数的加法和上述乘法是否构成环：为什么？(中)答乘法*对加法不满足左分配律，故Z，+，*不是环。四、计算题1.在边长为1的等边三角形中随机投放5个点，试说明必有2个点的距离不大于。(易)解作三角形割边中点的连线，将等边三角形等分成四个相等的边长为的小等边三角形。放入5个点，则必有一个小三角形内有两个点，它们的距离不超过。2.求整系数多项式f(x)3x32x2+9x+6的全部有理根，并在Zx中分解之。(中)解易知f(x)的有理根只能是1，2，3，。由于f(x)的奇次项系数为正数，偶次项系数为负数，可能的有理根只能是1，2，3，。验证得知，是f(x)的有理根。于是有3.求集合a,b,e，f的全排列中，abc和ef均不出现的全排列个数。(难)解令S是集合A中所有全排列的集合，则S6！。P1是在S中出现排列abc的集合，则P14！。P2是在S中出现排列ef的集合，则P25！。abc和ef均不出现，即为，由筛法原理因为P1P2的一个排列，即为abc,d,ef的排列，故所求为P1P24！6！4！5！4！55!五、证明题1设f是集合A到B的映射，g,h是集合B到C的映射。证明；若gf=hf，f是满射，则g=h。(易)证明任给yB，存在xA，使得y=f(x)，于是g(y)=g(f(x)=gf(x)=hf(x)=h(f(x)=h(y)故g=h。2.设f(x)是一个整系数多项式，证明：若有一个偶数a与一个奇数b，使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)无整数解。(中)证明用反证法。设c是f(x)的整数根，则f(x)=(xc)g(x)其中g(x)是整系数多项式。于是f(a)=(ac)g(a)f(b)=(bc)g(b)由f(a)与f(b)都是奇数知，ac与bc都是奇数，故a与b奇偶性相同，与已知矛盾。可见f(x)无整数根。3.已知a,b,m,nR，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证am+bn1。(难)证明方法1，比较法。 先证。因为所以，。再证。因为所以。方法2，分析法。故原式成立。方法3，综合法。因为a,b,m,nR,所以所以高等代数专题研究样题一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有，其中()，则称f(x)是上凸函数(A)(B)且(C)且(D)且2.下列环中是非交换环的为( )(A)整数环Z(B)剩余类环Z5(C)n阶方阵环 (D)高斯整数环Zi=a+bia,b为整数3.剩余类环Z8的一个真零因子是()(A)(B)(C)(D)4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张从中任取一张，则不同取法有( )种(A) 52(B)4(C)134 (D)4135.将r个不可区分的小球投入n个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(nr)，若计算有多少种不同投球方式，应该用()(A)允许重复组合数公式(B)不重复组合数公式(C)允许重复排列数公式(D)不重复排列数公式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设a1,a2,a5是正实数，可构造两组正实数列和用柯西不等式证明7.若(a,b)1，那么(a,a+b)8.如果域上含有无穷多个不同元素的，设多项式为f(x)=anxn+an1xn1+a0和g(x)=bnxn+bn1xn1+b0，则从代数学的观点，如果，则称f(x)=g(x)9.p是有理数域上的超越元，是因为p不是多项式的根10.计算三、计算题(每小题15，本题共60分)9.设集合A=，a，a,b，求P(A)10.设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6。求f(x,y,z)=xyz的极大值11.求f(x)=的重因式12.试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数四、证明题(本题10分)13.设是实数集，是正实数集，任给的元素x,令映射s(x)证明s是到的双射高等代数专题研究样题参考答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.B2.C3.D4.A5.B二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.，7.18.ak=bk(k=0,1,2,n)9.任何有理系数10.三、计算题(每小题15，本题共60分)9.由幂集合的定义，P(A)=,a,a,b,a,a,b,a,a,a,b,a,b,a,a,a,b,a,b,a,a,b,a,a,b10.利用均值不等式x+2y+5z当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=时，xyz的极大值是11.只要求出f(x)与f(x)的公因式即可而，有(f(x),f(x)(x1)所以x1是f(x)的二重因式12.所求项数为的系数为四、证明题(本题10分)13.由对数函数的定义域和函数值，知s(x)是到的映射(1)任给的两个元素x1,x2且x1x2，由对数函数的严格单调性，有这表明s(x)是单射(2)任给的元素y，则存在属于，则有s(x)=这表明s(x)是满射总之，s是到的双射高等代数专题研究课程高等代数专题研究课程作业(本学期作业共分四次)第一次作业：1. 下面命题是否正确？(1) 若AB，BC，则AC；2. 设s是整数集合Z到Z的映射，s(n)3n求证：存在一个t：ZZ，使得tsIZ；但不存在t：ZZ，使得stIZ3. 若集合A1，0，1，s是AAB的映射，且满足 s 求Im(s)，并求出从A到Im(s)共有多少不同的映射4. 设s t 求st，ts，s2t5. 试给出从整数集合Z到自然数集合N的满足下列条件的映射各一个：(1) 是单射但不是满射；(2) 是满射但不是单射；(3) 既不是单射也不是满射；(4) 双射6. 若R是实数集合，对R中任意两个数a与b，令ab=a+bab，求证代数体系R,满足结合律7. 在代数体系R，(R为实数集合，t?普通乘法)中，下面映射是否为R，到R，的同态？9. 求证： 10. 求证： 第二次作业：1. 解不等式 2. 设x1,x2,xn都是正数，求证3. 求证： 4. 设a1,a2,an是n个正数，且为等差数列，求证5. 设0k0. 6. 若x, y, z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=9，求函数f=3x+6y+5z的极大值. 7. 设x1+x2+xn=1，求 的最小值. 8. 已知a1,a2,an是n个正数，且满足a1a2an=1，求证(2+a1)(2+a2)(2+an)3n。高等代数专题研究课程第三次作业：1. 求证：整环R中的两个元素a和b相伴的充分必要条件是(a)=(b)2. 求证：整环R中元素u是可逆元素的充分必要条件是(u)=R或者u能整除R中的一切元素3. 令R 求证：(1) R关于数的加法和乘法构成环；(2) 找出R中的一切单位元素；(3) 找出R中的不可约元素4. 设R是因式分解惟一环，5. 找出高斯环Zi中的一切可逆元素6. 设是R因式分解唯一环，f1(x)和g1(x)是R上两个本原多项式，证明：如果f(x)=af1(x)，g(x)=bg2(x)，7. 求出Z12上多项式 在Z12的根8. 实系数多项式有一个根a，则也是此多项式的根9. 求下列方程的根：(1) ; (2) 10. 判断以下多项式有无重因式？第四次作业：1. 停车场内有m辆不同的大卡车与n辆小轿车，停放在一排. 如果小轿车必须停放在一起，一共有多少种停放方法？2. 把4个相同的黑球和3个相同的白球摆成一排，有多少种不同摆法？3. 把10个儿童分成二组(每组5人)，每组围成一个圆圈，有多少种不同围法？4. 展开多项式(a+b+c+d+e+f)5并合并同类项，