从一道模拟试题的？谬谈带导体的静电能.doc

从一道模拟试题的佯谬谈带电导体的静电能浙江 普陀中学 顾大男在今年高三总复习中，遇到了这样一道模拟试题，一度引起学生和老师的异议。现摘录如下：如图所示，光滑绝缘的水平面上的M、N两点各放完全相同的金属球A和B，A和B的带电量分别为2Q和Q，现使A和B以大小相等的初动能E0（此时动量大小均为p0），让其相向运动刚好能发生接触，接触后返回M、N两点时A和B的动能分别为E1和E2，动量大小分别为p1和p2，以下说法正确的是（ ）(1)E1=E2E0，p1=p2p0 (2)E1=E2=E0，p1=p2=p0(3)接触发生在MN中点的右侧 (4)两球同时返回M、N两点A.(2)(4) B.(2)(3) C.(1)(4) D.(3)(4) 在课堂上我是这样对学生分析的。以两小球作为一个系统，在整个过程中动量守恒。由于总动量为零，系统质心的位置不变，两小球在运动过程中离MN中点的距离始终相同，它们必同时返回M、N两点，且在任一时刻两球都具有相同的动能和动量大小。但由于两球相碰后电量重新分布，两球在分离过程中的任一距离时的斥力都要大于相向运动时两球在同一距离时的斥力，所以当两小球返回M、N点时小球的动能和动量均大于初动能和初动量。正确的答案为C。然而课后就有学生提出这样的问题：“老师我觉得这道题有问题。两小球刚开始运动时系统的电势能为，接触后各带电量1.5Q，当两小球回到M、N点时系统的电势能为比开始运动时的电势能大。而现在系统的动能又增加了。这不是违背了能量守恒定律吗？”当时我也一时语塞，回到办公室翻阅了有关资料，才搞清了问题的症结所在。原来在高中阶段我们所讲的点电荷的电势能，并非带电系统所具有的所有静电能。它只反应了带电体之间相互作用而具有的势能，称为互能。事实上这个带电体自身所带的电荷之间也存在相互作用，因而也具有势能，称为自能。一般地说，由多个带电体组成的体系的静电势能（简称静电能）等于以下两部份之和：（1）每个带电体的自能。其大小定义为：把这个带电体分割为无限多的小块，把每一小块无限远离时电场力的功。（2）各个带电体之间的互能。其大小定义为：把各个带电体无限远离时电场力的功。让我们先讨论处于1、2两点的两个点电荷q1、q2的互能计算公式。为便于计算，可令q1不动而q2从2点移至无限远。设q1在无穷远处电势为零，在2点的电势为U12，则当q2从2点移至无限远时电场力的功为q2U12，因此q1、q2分别位于1，2点时的互能为W12=q2U12。若改令q2不动而q1从1点移至无限远，又可得W21=q1U21，因W12=W21，故两个点电荷的互能W12可写成比较对称的形式，W12=(q1U21+q2U12)。若把上式推广到n个点电荷体系，可得互能公式：W互= （1）其中qi是第i个点电荷的电量，Ui是除qi外所有电荷在qi处的电势。有了上述点电荷的互能公式，我们就可以推出带电导体组的静电能计算公式。先讨论一个带电导体的情况。若把导体表面分成许多（n个）小面元Si，每个面元看作电量为iSi的点电荷。（i是第i个面元所在处的电荷面密度）。各面元间的互能由式（1）应为W互= 令Si0所得互能就是这个带电导体的自能，也是这个导体总的静电能。W= 积分遍及整个导体表面。当带电体系由m个导体组成时，上述积分还应对导体取和，故W=，下标j代表第j个导体。注意到导体是等势面，Uj可提到积分号外，即W=， 而 等于第j个导体的电量记作Qj，得W= （2）。这就是带电导体组的静电能计算公式（包括自能和互能）。须特别强调的是这里的Uj是所有导体的电荷（包括第j个导体本身所带的电荷）在第j个导体贡献的电势。这是与点电荷体系的互能公式的根本区别所在。现在我可以回过头来讨论前面的问题。为说明方便可设两个带电小球在M、N两点时均可视为点电荷，每个小球电荷的分布是均匀的，（当两小球距离r远大于半径R时可以这么认为）。为不失普遍性，设两小球所带电量分别为q1和q2，且q1q2。这样由（2）式可知，两球接触前在M、N点时系统的静电能W=+，接触后每个小球所带电量均为，回到M、N点时系统的静电能W/=+。 WW/=0 由此可见当我们考虑了带电体的自能后，同在M、N两点，接触前后两球的静电能是减少的，原题并没有违背能量守恒定律。然而在高中物理教材中讨论带电体的静电能时我们从不考虑带电体的自能，恰能用它正确地进行功能计算，原因何在？这是因为我们在讨论能量转化问题时关注的是各种能量的变化量而不是每种能量的总值，所以当带电体的自能在整个过程中不变，只有互能发生改变时我们只需考虑互能而不必考虑自能，从而使计算变