2011年考研数学微积分基础班7(刘坤林老师).pdf

赛尔教育 水木艾迪考试培训网 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 7 1 定积分应用的两种思想 7 1 定积分应用的两种思想 定积分应用问题的特征 定积分应用问题的特征 解决定积分应用问题的两种思路 元素相加法 利用定积分定义一个量 分小取近似 解决定积分应用问题的两种思路 元素相加法 利用定积分定义一个量 分小取近似 ii xfI 求和取极限 求和取极限 b a n i ii dxxfxfI lim 1 0 微元分析法 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法 分小取微分 微元分析法 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法 分小取微分 dxxfdII 积分求增量 积分求增量 aFbFdxxfI b a 7 2 定积分在几何方面的应用 7 2 1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 7 2 定积分在几何方面的应用 7 2 1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 xgyxfbxayxD b a dxxfxgA 注 若连续函数在区间上变号 则表示正负面积的代数和 有时 称为代数面积 注 若连续函数在区间上变号 则表示正负面积的代数和 有时 称为代数面积 xf ba b a dxxfA 例 7 1 求例 7 1 求 2 2 x y 与与 2 3 xy围成的面积 解 由 围成的面积 解 由 2 3 2 2 xy x y 解得交点 解得交点3 1 ba 3 16 22 3 3 1 2 dx x xA 例 7 2 求非负常数 例 7 2 求非负常数a 使与 使与 2 xxy axy 所围封闭区域之面积为所围封闭区域之面积为 4 9 解 当时 解 当时 10 a 4 9 1 0 2 a dxaxxx 0 2 3 1 3 aa 所围的面积 所围的面积 解 解 0 2 2 0 2 2 1 ddA 2 2 0 42 0 42 2 3 cos8 2 cos4atdtada 例 7 5 已知曲线 例 7 5 已知曲线xay 与曲线 与曲线0 axyln 在点处有公切线 在点处有公切线 00 yx 1 求常数 1 求常数a及切点之坐标值 及切点之坐标值 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 2 求上述二曲线与 2 求上述二曲线与x轴所围图形的面积 轴所围图形的面积 解 1 由 解 1 由 00 2 1 2 1 xx a 及及 00 lnxxa 解得 切点为 解得 切点为 1 ea1 2 e 2 面积为 2 面积为 dxxdxxaA ee 22 10 ln 2 1 2 1 3 2 22 ee 2 1 6 1 2 e 7 1 2 旋转体的体积 1 绕 7 1 2 旋转体的体积 1 绕x轴旋转生成的旋转体的体积 小圆台法 轴旋转生成的旋转体的体积 小圆台法 平面区域 平面区域 0 xfybxayxD 绕绕x轴 旋 转 生 成 的 旋 转 体 的 体 积 为 轴 旋 转 生 成 的 旋 转 体 的 体 积 为 b a x dxxfV 2 2 绕轴旋转生成的旋转体的体积 薄壁筒法 平面区域 2 绕轴旋转生成的旋转体的体积 薄壁筒法 平面区域 y 0 xfybxayxD 绕 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为 轴旋转生成的旋转体的体积为 b a y dxxfxV 2 例 7 6 求由曲线例 7 6 求由曲线xyxy 2 2 及轴所为平面区域绕及轴所为平面区域绕yx轴及绕轴旋转生成的旋 转体的体积 轴及绕轴旋转生成的旋 转体的体积 y 解 解 6 7 2 1 0 2 dxxxVx 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 15 22220 22 1 0 2 dxxxVy 例 7 7 设常数 直线 例 7 7 设常数 直线10 aA 2 1 a时 取到最小值 时 取到最小值 6 2 3 1 2 1 A A 2 用小圆台法 2 用小圆台法 1 222 0 222 2 2 2 2 2 2 dx x xdxx x 30 12 例 7 8 求曲线上的一条切线 使该切线与直线 例 7 8 求曲线上的一条切线 使该切线与直线 62 ln xxy6 2 xx所围成平 面图形面积最小 解 求曲线段 所围成平 面图形面积最小 解 求曲线段 62 ln xxy的一条切线 使该切线与直线的一条切线 使该切线与直线6 2 xx及 此曲线段所围平面图形的面积最小 设切点为 则切线方程为 及 此曲线段所围平面图形的面积最小 设切点为 则切线方程为 0 x 00 0 ln 1 xxx x y 该切线与直线 该切线与直线6 2 xx所围成平面 图形面积为 所围成平面 图形面积为 6 2 0 0 00 ln 1 ln dxxxx x xxS 2ln26ln6 16 ln4 0 0 x x 由 得 又有 由 得 又有 0 0 x S4 0 x 2ln26ln6 3 8 6ln4 6 2ln26ln642ln8 2ln26ln682ln4 2 0 S xS S 所以最小 故所求切线方程为 所以最小 故所求切线方程为 0 xS 4 4 1 4ln xy 例 7 9 过点作曲线 例 7 9 过点作曲线 0 1 2 xy的切线 该切线与上述曲线及的切线 该切线与上述曲线及x轴围成一平面图形轴围成一平面图形A 1 求 1 求A的面积 的面积 2 求 2 求A绕绕x轴旋转一周所成旋转体体积 轴旋转一周所成旋转体体积 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 解 1 设切点坐标为 则在此点的切线斜率为 解 1 设切点坐标为 则在此点的切线斜率为 00 yx 22 1 0 0 x y xx 在此点的切线方程为 在此点的切线方程为 2 22 1 00 0 xxx x y 把点代入上式得 切线方程为 把点代入上式得 切线方程为 0 1 3 0 x 1 2 1 xy 则 则 3 1 12 2 1 0 2 dyyyA 2 2 dxxdxxVx 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 6 1 2 1 3 2 7 1 3 光滑曲线的弧长 1 直角坐标系中的光滑曲线 7 1 3 光滑曲线的弧长 1 直角坐标系中的光滑曲线bxaxfy 的弧长为的弧长为 b a dxxfl 2 1 2 参数方程下 2 参数方程下 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 的弧长为 的弧长为 dttytxl 22 ttyytxx 3 极坐标系下光滑曲线3 极坐标系下光滑曲线 的弧长为的弧长为 dl 2 2 例 7 10 求心形线 例 7 10 求心形线 0 cos1 aar 的弧长 的弧长 解 解 2 0 22 sincos1dal dacos22 atdtada8cos8 2 cos22 2 00 7 1 4 旋转体的侧面积 7 1 4 旋转体的侧面积 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 1 直角坐标系中曲线1 直角坐标系中曲线bxaxfy 绕轴旋转生成的旋转体的侧面积为 绕轴旋转生成的旋转体的侧面积为 x b a dxxfxfA 2 1 2 2 参数方程下曲线 2 参数方程下曲线 ttyytxx 绕绕x轴旋转成的侧面积为 轴旋转成的侧面积为 dttytxtyA 22 2 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 例 7 11 设有曲 线 例 7 11 设有曲 线1 xy 过原点作其切 线 求此曲线 切线及 过原点作其切 线 求此曲线 切线及x轴为成 轴为成 的平面区域绕的平面区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积 解 可以求得切线为 轴旋转一周所得到的旋转体表面积 解 可以求得切线为xy 2 1 切 点为 切 点为 1 2 旋转体表面积由两部分组成 由曲线绕 旋转体表面积由两部分组成 由曲线绕x轴旋转一周所 轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为得到的旋转体表面积为 2 1 2 1 12dxyyA 155 6 34 2 1 dxx 由切线绕 由切线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 5 2 5 2 1 2 2 0 2 dxxA 所以旋转体表面积 所以旋转体表面积 1511 6 21 AAA 例 7 12 设外旋轮线的方程为 例 7 12 设外旋轮线的方程为 0 20 cos1 sin at tay ttax 1 求它绕 1 求它绕x轴旋转一周生成的体积与侧面积 轴旋转一周生成的体积与侧面积 2 求它绕轴旋转一周生成的体积与侧面积 2 求它绕轴旋转一周生成的体积与侧面积 y 解 1 体积为 解 1 体积为 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 2 0 22 cos1 cos1 dttata 2 0 323 coscos3cos31 dtttta 32 5a 侧面积为 侧面积为 0 22 2dtyxy 0 22 2dtyxy dt t a 2 0 3 2 sin8 2 cos 2 cos1 16 2 0 2 t d t a 2 3 64 a 2 绕轴旋转体积与侧面积分别为 2 绕轴旋转体积与侧面积分别为 y 体积 体积 2 0 22 sin sin tdtatta 33 6a 侧面积 侧面积 0 22 2dtyxx 0 cos22 sin 2dtttta 22 16a 7 2 定积分的物理应用 1 平面图形的形心 设在区间上可积 则平面图形 7 2 定积分的物理应用 1 平面图形的形心 设在区间上可积 则平面图形 xgxf ba xgyxfbxayxD 的形心为 的形心为 b a b a dxxfxg dxxfxgx x b a b a dxxfxg dxxfxg y 2 1 22 例 7 13 求半径为 例 7 13 求半径为R的半圆板的形心 的半圆板的形心 解 设半圆板的圆心在原点 由对称性 解 设半圆板的圆心在原点 由对称性 0 x R R dxxR y R R 3 4 2 1 2 1 2 22 例 7 14 假设区域由曲线 例 7 14 假设区域由曲线 D 0 0 3 Pypxy及其过点的切线与及其过点的切线与 1 px轴围成 设此区域的形心为 轴围成 设此区域的形心为 YX 1 求 1 求X的值 的值 2 求的值 使绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 2 求的值 使绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为pD 135 7 y V 解 1 解 1 ppxy x x 33 1 2 1 切线为 与 切线为 与 1 3 xppyx轴交点为轴交点为 0 3 2 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 ppdxpxA 12 1 6 1 1 0 3 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 xdxxppdxxpxMy 1 3 1 3 2 1 0 3 dxpxpxp 1 3 2 2 23 5 1 ppp 135 7 9 4 1 27 8 1 5 1 45 28 135 84 X 2 2 dy p y ppV p y 0 3 2 3 2 21 2 3 2 31 3 1 dy p y pp p 0 3 2 3 2 21 2 3 2 31 3 1 ppp 5 3 2 3 2 31 3 1 21 p 135 14 令令 135 7 135 14 p 得到 得到 2 1 p 或 由古耳金定理得到 或 由古耳金定理得到pXAVy 12 1 135 84 22 2 1 135 7 135 14 pp 2 压力问题 同一深度的各方向的压强相等 小微元的压力微元为 2 压力问题 同一深度的各方向的压强相等 小微元的压力微元为dAghdp 其中其中h为该小微元离液面的高度 为重力加速度 为该小微元离液面的高度 为重力加速度 dA为该小微元的面积 积分可得压力 为该小微元的面积 积分可得压力 g 例7 15 将半圆形平板闸门垂直放入水中 直径与水平面重合 水的密度为1 求闸门受的压 力 解 以水平面为轴 垂直向下为 例7 15 将半圆形平板闸门垂直放入水中 直径与水平面重合 水的密度为1 求闸门受的压 力 解 以水平面为轴 垂直向下为 y x轴建立坐标系 轴建立坐标系 dxxRxdp 22 2 其中 其中R为半径 为半径 压力 压力 3 0 22 3 2 2RdxxRxp R 2 引力问题 例 7 16 有一长为 2 引力问题 例 7 16 有一长为L 质量均匀分布 总质 量为 质量均匀分布 总质 量为M的细杆 在沿杆所在的直线上 离其一端相距为的处 放有一质量为的的细杆 在沿杆所在的直线上 离其一端相距为的处 放有一质量为的OaPm 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 质点 求杆对质点的引力 质点 求杆对质点的引力 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 解 取杆的微元 解 取杆的微元 dxxx 其对 其对P点的引力微元为 点的引力微元为 dx L M xal m gdF 2 杆对质点的引力 杆对质点的引力 0 2 ala gmM dx L M xal m gF L 3 变力作功 两个关键量的表达 1 导致作功的力 2 导致作功的有效路程 例 7 17 将一半径为 3 变力作功 两个关键量的表达 1 导致作功的力 2 导致作功的有效路程 例 7 17 将一半径为R的圆球压入水中 使球体刚好与水平面相切 求克服水的浮力作的 功 设水的密度为 1 的圆球压入水中 使球体刚好与水平面相切 求克服水的浮力作的 功 设水的密度为 1 解 平面曲线为 解 平面曲线为 222 RRyx O P L y 2R O 取厚度为的水平薄片 其受水的浮力微元为 导致 取厚度为的水平薄片 其受水的浮力微元为 导致 y dyxdF 2 作功的有效行程为 因此功的微元 元功 为 所 作功为 作功的有效行程为 因此功的微元 元功 为 所 作功为 2 yR dyyRxdW 2 2 4 2 0 22 3 4 2 RdyyRRyRW R 公斤米 例7 18 一圆锥形油罐高10m 上方开口直径为10m 油面高度为8m 油的密度为480kg 问将罐内的油全部抽出至罐外需作多少功 公斤米 例7 18 一圆锥形油罐高10m 上方开口直径为10m 油面高度为8m 油的密度为480kg 问将罐内的油全部抽出至罐外需作多少功 3 m 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 解 建立坐标如图 圆锥侧母线为 解 建立坐标如图 圆锥侧母线为xy2 沿轴方向将圆锥分割成小圆台 体积微元 为 沿轴方向将圆锥分割成小圆台 体积微元 为 y dyydv 2 2 质量微元为 质量微元为dy y dm 2 2 480 导致作功的有效行程为 导致作功的有效行程为 10 y 米 米 因此功的微元 元功 为 因此功的微元 元功 为 dy y ydw 2 4 10 480 所作功为 所作功为dy y yw 8 0 2 4 10 480 8192 10 120 8 0 32 kgmdyyy 7 3 定积分综合问题 例 7 19 求由与 7 3 定积分综合问题 例 7 19 求由与xyx2 22 xy 确定平面图形绕直线确定平面图形绕直线2 x旋转而成的旋转体体积 解 方法法 1 记 旋转而成的旋转体体积 解 方法法 1 记 V yxyx 2 2 1 11 1 12 22 y x xy xyx dyxxdv 2 2 2 2 2 1 dyyy 2 11 222 1 0 dvV 3 2 2 2 11 1 0 2 222 dyyy 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 方法 2 记 方法 2 记 2 21 2 xxyxy dxxxxx 2 2 2 2 dxyyxdv 2 2 12 3 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 0 dxxxxxdvV 例7 20 设在上 连 续 非 负 且 单 调 增 加 为 区 域 例7 20 设在上 连 续 非 负 且 单 调 增 加 为 区 域 xf ba YX bxaRyxD 2 0 xfy 的形心 证明的形心 证明 2 ba X 思路 本题要证 思路 本题要证 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2 ba dxxf dxxxf X b a b a 即证 即证 0 2 dxxf ba dxxxfI b a b a 1 将视为变量 引入变上限的积分 证明 1 将视为变量 引入变上限的积分 证明 b xF0 xF 这便是 方法 1 将二个积分合并为一个积分号 再插入分点这便是 方法 1 将二个积分合并为一个积分号 再插入分点 2 ba 把积分拆分为两个区间上的积分 利用单调性对积分估计正负号 把积分拆分为两个区间上的积分 利用单调性对积分估计正负号 xf 形成 方法 2 利用积分中值定理对积分进行估计 便形成 方法 3 证 方法 1 令 形成 方法 2 利用积分中值定理对积分进行估计 便形成 方法 3 证 方法 1 令dttf xa dtttfxF x a x a 2 则 则 0 aF 而而dttfxf xa xxfxF x a 2 1 2 2 1 2 1 axfxfax 2 1 fxfax 其中 其中 xa 又单调增加 因而 令 又单调增加 因而 令 xf0 xFbx 则不等式 1 成立 则不等式 1 成立 方法 2 考虑 1 式中的积分合并后得到 方法 2 考虑 1 式中的积分合并后得到 dxxf ba xI b a 2 dxxf ba x ba a 2 2 dxxf ba x b ba 2 2 将上述等号右端第一个积分记为 单调增加 则 将上述等号右端第一个积分记为 单调增加 则 1 I xf 2 0 ba fxf 0 2 ba x 由保序性又有 由保序性又有 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 dx ba f ba xI a ba 22 2 2 3 将同向不等式 2 和 3 相加 则有 3 将同向不等式 2 和 3 相加 则有 0 22 21 dx ba x ba fIII b a 4 于是不等式 1 得证 方法 3 对 方法 2 中的与 注意到 4 于是不等式 1 得证 方法 3 对 方法 2 中的与 注意到 1 I 2 I 2 ba x 在两个积分号内分别保持定号 而连续 由积分中值定理则有 在两个积分号内分别保持定号 而连续 由积分中值定理则有 xf 8 1 2 1 2 2 11 fabdx ba xfI ba a 8 1 2 2 2 2 2 fabdx ba xf b ba 2 I 其中 其中 2 1 ba a b ba 2 2 即有 即有 12 由的单调性 则有 由的单调性 则有 xf 12 ff 于是 于是 0 8 1 12 2 21 ffabIII 例 7 21 设连续 例 7 21 设连续 xS x dttxS 0 cos 1 当为正整数时 且 1 当为正整数时 且n 1 nxn时 证明时 证明 1 2 2 nxSn 2 求 2 求 x xS x lim 解 1 解 1 0cos x 当 当 1 nxn时 为增函数 所以 时 为增函数 所以 xS 赛尔教育 水木艾迪考试培训网 n dtt 0 cos x f 试证明 在内存在 一点 试证明 在内存在 一点 ba 使曲线 使曲线 xfy 与与 fy ax 所围成的图形面积是由曲线与所围成的图形面积是由曲线与 1 S xfy fy 所围成平面图形的 3 倍 所围成平面图形的 3 倍 bx 2 S 解 在内取一点 则 解 在内取一点 则 bat t a dxxftftSS 11 b t dxtfxftSS 22 t a dxxftftStStF 3 21 b t dxtfxf 3 则只须证明在有且仅有一个零点则只须证明在有且仅有一个零点 tF ba ba 使得使得0 F 注意到由 于是在内单调增加 由积分估值定理可得 注意到由 于是在内单调增加 由积分估值定理