第四章 线性定常系统的可控性和可测性.ppt

现代控制系统 线性定常系统的可控性和可测性或能控性和能观性 一 概念能控性和能观性是现代控制理论的两个重要的基础性概念 状态空间表达式包括 1 状态方程 描述了控制量及初始状态对系统内部状态的影响 表明了系统内部结构特性 2 输出方程 描述了内部状态及控制量对输出的影响 所以状态空间法能描述全部系统内部的结构与特征 由于内部状态的引入 从而理论上产生了新的概念 状态的能控性 而输出是状态的线性组合 产生了能观性概念 1 能控性简单来说 能控性问题就是系统的控制输入是否具有影响系统中每一个状态的能力 例如 结构图 就该系统而言 控制u只能影响而不能影响换言之无论加入何种控制量 u都无法改变的运动特性 显然是不可控的 当然如果改变系统的结构 例如改变u的加入点 即改变B阵为时 则可控 而是控制u通过而达到间接控制的目的 显然 由于状态之间的关联性以及状态对系统特性的不同影响作用 所以能控性是十分重要的 2 能观性能观性指的是 从系统的输出中能否观测到系统的内部信息 或者说能否量测到状态信息的一种特性 这无论对于了解系统的运行情形还是取得状态信息用作控制都是完全必要的 在上例中而并不包含的信息 因而通过对输出y的测量 无法得到任何的信息 从而是不可观的 二 线性定常系统的可控性根据能控性概念 一个系统是否可控 仅与状态方程有关 即只对进行讨论 其中u若为内的分段连续函数 称u为容许控制 1 可控性定义若对状态空间的任一状态存在一个有限时刻和一个容许控制能在时刻使状态转移到零 则称状态方程在时刻是可控的 反之称为在时刻是不可控的 第二种定义见书 注意到这两种定义是等价的因为在状态空间中的任意一点总可以通过坐标变换把它变换为零点 即坐标原点 因此 转移到0或对控制来讲是一样的情形 对定义的说明 1 时刻的状态应是任意的 也即x t 的各分量在时的值无论如何给定 都存在容许控制 在时刻将初始状态转移到零 系统方为可控 否则系统不可控 2 应为有限的时间 的选取与有关 若趋于无穷则可控失去意义 3 只说明容许控制 与u的具体形式无关 4 转移到零 对转移过程中的轨迹没有规定对时变系统来说 是否可控与时间坐标有关 故应说明在时刻可控 2 可控性判据能控性判据定理一 秩判据 线性定常系统 A B 其状态完全可控的充要条件是由A B组成的可控性判别矩阵必须满秩 即 可控性判据定理二 对角形 线性定常系统 A B 具有互不相同的特征值 则其状态完全可控的充分必要条件是 系统经非奇异变换后的对角线规范形方程中阵不包含元素全为零的行 可控性判据定理三 Jordan标准形判据 三 线性定常系统的可观性1 定义 线性定常连续系统的状态方程为 系统在给定控制输入u t 作用下 对任意初始时刻若能在有限时间间隔之内 根据从到对系统输出y t 的观测值和输入u t 唯一地确定系统在时刻的状态 则称系统是状态完全能观测的 简称可观测 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始时刻时的值不能由系统输出唯一地确定 则称系统状态不完全可观 2 可观性判据判据定理1 线性定常系统或简称为 A B C D 状态可观的充要条件是可观性矩阵必须满秩 即 判据定理2 线性定常系统 A B C D 具有不相等的特征根 则其状态可观测的充要条件是 系统经非奇异变换后的对角规范形的矩阵中不包含元素全为零的列 四 可控性和可观性的不变性结论 系统经线性非奇异变换后 其可控性和可观性保持不变 这种性质称为可控性和可观性的不变性 证明略 见书 五 传函中零极对消与可控性和可观性的关系 自学 要点 1 通过非奇异变换转化成对角形 Jordan 2 根据Jordan形求出G s 3 根据G s 找到零极点对消的特征4 由上述特征 并据Jordan可控可观性判据 建立特征值和可控可观性的关系 六 线性系统可控性和可观性的对偶关系1 对偶关系设为系统 A B C D 设为系统称和对偶 2 性质 1 对偶系统和的传函阵互为转置 即 2 对偶系统的特征值是相同的 3 对偶原理 1 若可控则有可观 2 若可观则有可控 七 系统动态方程的可观和可观规范形通过对动态方程进行非奇异变换 系统的可控性和可观性不变 因而寻找适当的p使得 从而得到可控和可观标准形 一种简化的矩阵表达形式 本节主要介绍单变量系统的可控 可观标准形 1 单变量可控标准形设线性定常系统A的特征多项式为 定理1 设系统 A b c d 可控 则通过等价变换将其变换为如下所示的可控标准形 其中由于 A b 对可控 故p一定是非奇异的 2 单变量系统的可观标准形定理2 设系统 A b c d 可观 则可通过等价变换将其化成如下可观标准形式 其中p同前 八 有理传递函数 阵 的实现问题 1 实现问题的定义 构造一个动态方程 使其传递函数 阵 与事先给定的某个传递函递 阵 相等 称为实现问题 其目的 主要用于对系统进行仿真 了解系统的内部外部特性 2 正则有理传递函数 阵 若传函 阵 的分子多项式次数为m 分母多项式的次数为n 若m n称传函 阵 为严格正则有理传函 阵 若称传函 阵 为正则有理传函 阵 3 实现 主要讨论严格正则有理传函的实现 并构造下述标准形 即用下述标准形来完成实现 1 对角形2 约当规范形3 可控标准形4 可观标准形 4 最小实现问题对单变量系统而言 只有当 A b c 的维数等于既得传函分母的阶