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2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_一、 填空题，每题8分1.设，则 2.设为虚数单位，化简 3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则 4. 集合共有 个元素，其中表示不超过x的最大整数。5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于 7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于 二、 简答题8.已知数列满足，。用数学归纳法证明：9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、 填空题，每题8分1.设，则 解答：由，可得，故，从而2.设为虚数单位，化简 解答：由，可得，同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则 解答：设等差数列的公差为d，则有，解得4. 集合共有 个元素，其中表示不超过x的最大整数。解答：设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 解答：设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时因此，有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于 解答：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于 解答：不妨设椭圆的方程为，经过的两个焦点，与恰有三个交点，所以，则得离心率等于四、 简答题8.已知数列满足，。用数学归纳法证明：证明：从而对成立。当时假设，由递推公式可得由此，对一切成立。9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。证明方法一：两边平方移项合并两边平方展开可得移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于，当时不等式等号成立。综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是且或者证明方法二：设向量则根据三角不等式即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件是平行且方向相同。当时，以下同证明方法一。10.求满足的所有正整数对解答：引理1: 在上单调递增，在上单调递减。 引理2：当时，由引理1可得有以下情形，情形一：，均满足题设情形二：设则由，可得满足题设条件的只有情形三：易知满足要求。
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