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巧求平面法向量沈兴灿 作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: Tel西安曲江第一中学 西安 710061)Email: Tel要: 利用平面的一般方程，给出了一种求法向量的新方法。关键词:立体几何、空间向量、法向量文献标识码：B 中图分类号：G633.5在空间直角坐标系中，平面的一般方程是（其中系数a,b,c不同时为零），则向量为平面的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。定理1：若平面不经过原点,，取平面内不共线的三点A、B、C，将其分别坐标代入关于的方程（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面的法向量定理2：若平面经过原点,取平面内与原点不共线的两点A、B，将其坐标代入关于的方程，求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面的法向量。定理的证明比较简单，读者可以自行证明。但要注意的是定理1中方程右边的1也可以是其它任意非零常数；定理中平面是否经过原点这个条件很关键，不过忽视。例1：已知如图正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长AA1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。解（1）因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0，1，2)代入得：所以。不妨设c=1,可得b=2, a=2。所以是平面BDC1的法向量（2）因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入得：A1B1C1D1ABCDExyz所以所以为平面BDC1的法向量(3) 因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，0，2)代入1代入得所以是平面ABC1D1的法向量。例2（2010天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是. 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知 ,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：平面不过原点，将D、E、F的坐标分别代入
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