第5讲 抽样与参数估计.ppt

第5讲抽样与参数估计 5 1抽样与抽样分布5 2参数估计的基本原理5 3总体均值的区间估计5 4总体比例的区间估计5 5样本量的确定 学习目标 理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本量的确定方法 参数估计在统计方法中的地位 统计方法 5 1抽样与抽样分布 概率抽样方法抽样分布 统计推断的过程 概率抽样方法 概率抽样方法分类 概率抽样 也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本 与人的主观意愿无关每个样本被抽中的概率是已知或是可计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时 要考虑到每个样本被抽中的概率 简单随机抽样 从总体N个单位中随机抽取n个单位作为样本 每个单位抽入样本的概率是相等的最基本的抽样方法 是其它抽样方法的基础特点简单 直观 在抽样框完整时可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时 不易构造抽样框抽出的单位很分散 给组织实施增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率 分层抽样 将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层 然后从不同的层中独立 随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近 从而提高估计的精度组织实施方便既可以对总体参数进行估计 也可以对各层的目标量进行估计 系统抽样 将总体中的所有单位按一定顺序排列 在规定的范围内随机抽取一个单位作为初始单位 然后按事先规定好的规则确定其它样本单位例 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位 以后依次取r k r 2k 等单位优点 操作简便 可提高估计的精度缺点 对方差的估计比较困难 整群抽样 将总体中若干个单位合并为群 抽样时直接抽取群 然后对抽中的群中所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框 可简化工作量调查地点相对集中 节省费用 方便实施缺点是估计的精度较差 抽样分布 在总体中重复选取容量为n的样本 每个样本计算出来的样本统计量是一个随机变量例如 样本均值 样本比例 样本方差等样本统计量 随机变量 的全部形成一个概率分布 就是抽样分布 它是一种理论分布概率分布结果来自容量n相同的所有可能样本样本统计量的概率分布提供了样本统计量长期稳定的信息 是进行统计推断的理论基础 也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 抽样分布的过程 抽样分布 样本统计量 样本均值的抽样分布 容量n相同的所有可能样本的样本均值的概率分布样本均值的抽样分布是一种理论概率分布是对总体均值 进行统计推断的理论基础 样本均值的抽样分布 样本均值的抽样分布案例 例 设一个总体 含有4个元素 即总体单位数N 44个个体分别为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4总体的均值 方差及概率分布如下 总体的均值和方差 P X X 样本均值的抽样分布案例 现在从总体中抽取n 2的随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果为 样本均值的抽样分布案例 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 总体均值与样本均值概率分布的比较 2 5 2 1 25 总体均值的概率分布 P X X 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N 2 时 来自总体的所有容量为n的样本均值 X也服从正态分布 X的数学期望为 方差为 2 n 即样本均值 X N 2 n 中心极限定理 设从均值为 方差为 2的一个任意分布的总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 抽样分布与总体分布的关系 样本均值 X的数学期望为样本均值 X的方差为 样本均值的抽样分布 样本均值的抽样分布案例 结论 1 样本均值的均值 数学期望 等于总体均值2 样本均值的方差等于总体方差的1 n 样本比例的抽样分布 总体 或样本 中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品 或不合格品 与全部产品总数之比总体比例 可表示为样本比例P可表示为 比例 样本比例的抽样分布 样本比例P的数学期望为样本比例P的方差为 样本比例的抽样分布 5 2参数估计的基本方法 估计量与估计值点估计与区间估计 估计量与估计值 估计量 用于估计总体参数的随机变量如样本均值 样本比例 样本方差等等例如 样本均值就是总体均值 的一个估计量总体参数用 表示 估计量用表示估计值 估计总体参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x 80 则80就是总体均值 的估计值 估计量与估计值 点估计与区间估计 参数估计的方法 点估计 用样本估计量直接作为总体参数的估计值例如 用样本均值直接作为总体均值的估计2 缺点 没有给出估计值与总体参数接近程度的一个度量信息点估计的方法 矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法等 X的抽样分布示意图 区间估计 在点估计的基础上 给出总体参数估计的一个区间范围 该区间由样本统计量加减抽样误差而得到优点 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如 某班级平均分数在75 85之间 置信水平是95 将构造置信区间的步骤重复很多次 置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平置信水平用 1 表示 为总体参数未在置信区间内的比例 常用的置信水平值有99 95 90 相应的 为0 01 0 05 0 10相应的z 2为1 65 1 96 2 58 置信水平 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家确信在某种程度上这个区间包含总体参数的真值 所以取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间 我们无法知道这个样本所产生的特定区间是否包含总体参数的真值我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个 但它也可能是少数几个不包含总体参数真值的区间中的一个 置信区间 2 2 1 的值 m不在区间内 m在区间内 不同样本构造不同的区间估计 的抽样分布 置信区间与置信水平 均值的抽样分布 1 区间包含真值 的可能性占 1 区间包含真值 的可能性占 影响区间宽度的因素 1 总体数据的离散程度 用 来测度样本容量 3 置信水平 1 影响z 2的大小 5 3总体均值的区间估计 大样本的区间估计小样本的区间估计 总体参数的区间估计 大样本总体均值的区间估计 大样本总体均值的区间估计 1 假定条件总体服从正态分布 方差 已知或未知总体不是正态分布 当n 30时可由正态分布来近似总体均值 在1 置信水平下的置信区间 总体均值的区间估计案例 例 一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本 得到每个投保人的年龄 周岁 数据如下表 试建立投保人年龄90 的置信区间 总体均值的区间估计案例 解 已知n 36 1 90 z 2 1 645 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 投保人平均年龄的置信区间为37 37岁 41 63岁 小样本总体均值的区间估计 小样本总体均值的区间估计 1 假定条件总体服从正态分布 且方差未知小样本 n 30 使用t分布统计量 总体均值 在1 置信水平下的置信区间 t分布 t分布是类似正态分布的一种对称分布 它通常要比正态分布平坦和分散 一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数 随着自由度的增大 t分布也逐渐趋于正态分布 总体均值的区间估计案例 例 一家食品生产企业生产袋装食品 按规定每袋食品的标准重量为100克 一天企业质检部门随机抽取25袋进行检查 测得平均每袋的重量为105 36克 已知袋装食品的重量服从正态分布 且总体标准差为10克 估计袋装食品平均重量的置信区间 置信水平为95 总体均值的区间估计案例 解 已知 N 102 n 25 1 95 z 2 1 96 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该食品平均重量的置信区间为101 44克 109 28克之间 总体均值的区间估计案例 例 已知某种灯泡的寿命服从正态分布 现从一批灯泡中随机抽取16只 测得使用寿命如下表 试建立该批灯泡平均使用寿命95 的置信区间 总体均值的区间估计案例 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476 8小时 1503 2小时 5 4总体比例的区间估计 大样本重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法 总体比例的区间估计 总体比例的区间估计 1 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量 3 总体比例 在1 置信水平下的置信区间为 总体比例的区间估计案例 例 某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例 随机抽取了100个下岗职工 其中65人为女性职工 试以95 的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间 解 已知n 100 p 65 1 95 z 2 1 96 该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55 65 74 35 5 5样本量的确定 估计总体均值时样本量的确定估计总体比例时样本量的确定 估计总体均值时样本量的确定 估计总体均值时样本量n为样本量n与总体方差 2 边际误差E 可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比 估计总体均值时样本量的确定 其中 估计总体均值时样本量的确定案例 例 拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元 假定想要估计年薪95 的置信区间 希望边际误差为400元 应抽取多大的样本量 估计总体均值时样本量的确定案例 解 已知 2000 E 400 1 95 z 2 1 96置信度为90 的置信区间为 即应抽取97人作为样本 估计总体比例时样本量的确定 根据比例区间估计公式可得样本量n为 估计总体比例时样本量的确定 E的取值一般小于0 1 未知时 可取最大值0 5 其中 估计总体比例时样本量的确定案例 例 根据以往的生产统计 某种产品的合格率约为90 现要求边际误差为5 在求95 的置信区间时 应抽取多少个产品作为样本 解 已知 90 0 05 Z 2 1 96 E 5