杨辉三角与二项式定理.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 一 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 1 杨辉三角 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数 当时 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 第5行1551 第0行1 杨辉三角 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行141 第6行161561 第n 1行1 1 第n行1 1 15 15 5 10 20 20 10 10 10 6 4 10 10 6 4 10 6 6 3 3 4 1 3 4 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 类似上面的表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 在书中 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 1623 1662 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 二项式系数的性质 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当时 4 当时 例题分析 例1 证明 1 a b n的展开式中 各二项式系数的和 启示 在二项式定理中a b可以取任意实数 因此我们可以通过对a b赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 令a b 1 则 1答案 2答案 继续思考1 2 试证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 小结 赋值法在二项式定理中 常对a b赋予一些特定的值1 1等来整体得到所求 赋值法 例2 小结 求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值 然后解方程组整体求解 思考 1 当n 10时常用杨辉三角处理二项式系数问题 2 利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性 增减性和最大值 3 常用赋值法解决二项式系数问题 课外思考 1 求证 2 1 x 13的展开式中系数最小的项是 A 第六项 B 第七项 C 第八项 D 第九项 C 思考3 2答案 思考2求证 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 思考 求证 证明 倒序相加法 思考3 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 3 因为系数为正的项为奇数项 故可设第2r 1项系数最大 以下同2 r 5 即3 r 1 2 20 r 得2 21 r 3r所以当r 8时 系数绝对值最大的项为 课堂练习 1 已知 那么 2 的展开式中 二项式系数的最大值是 3 若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大 则n 例1证明在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 例3 的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 变式引申 1 的展开式中 系数绝对值最大的项是 A 第4项B 第4 5项C 第5项D 第3 4项2 若展开式中的第6项的系数最大 则不含x的项等于 A 210B 120C 461D 416 例4 若展开式中前三项系数成等差数列 求 1 展开式中含x的一次幂的项 2 展开式中所有x的有理项 3 展开式中系数最大的项 1 已知的展开式中x3的系数为 则常数a的值是 2 在 1 x3 1 x 10的展开式中x5的系数是 A 297B 252C 297D 207 3 x y z 9中含x4y2z3的项的系数是 课堂练习 4 已知 1 n展开式中含x 2的项的系数为12 求n 5 已知 10 xlgx 5的展开式中第4项为106 求x的值 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的