渗流力学课件第三章(复势).ppt

第八节复势理论在平面渗流问题中的应用 复变函数在某区域内解析时 其实部和虚部为共轭的调和函数 表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质 因此可用复变函数来表征渗流场 通过对复变函数的研究来求解较复杂的渗流问题 通过复变函数的保角变换 可把一个复杂的渗流场变为一个简单的渗流场进行处理 一 势函数 流函数及复势 1 势函数和流函数 单相液体平面径向稳定渗流时 渗流速度为 有 在无源区域内 因 即 1 2 将 1 代入有 渗流场中渗流速度为矢量 渗流场为有势场 则 称势函数或速度势 3 由 3 式知 势函数满足Laplace方程 C1为一常数 表示一条等势线 vx v vy ds dy dx x y S 设在渗流场中有流线S 其中一点M处的切线方向 为该点流体质点运动方向 设M点渗流速度为v 则在x y方向的分速度为vx vy 在M点沿流线S取一微小增量dS 则在x y方向的增量为dx dy 由相似关系有 M 即 4 4 为流线方程 因无源渗流场中 即 5 5 式表示 4 式是某一函数的全微分 并用d 表示 6 a a 为全微分的充要条件是 全微分函数 6 式积分有 则 称为流函数 为常数时表示流线方程 给定不同的常数可得不同的流线 由 6 式知渗流速度与流函数关系 7 因渗流场为有势场 其旋度 即 有 将 7 式代入有 即流函数也满足Laplace方程 由复变函数理论知 满足Laplace方程的函数称调和函数 因此在平面渗流场中 势函数 x y 和流函数 x y 都为调和函数 且与渗流速度的关系为 9 8 9 式为柯西 黎曼 Chuchy Rieman 条件 证明势函数与流函数正交 沿等势线 势函数的全微分为零 即 则等势线上任一点处的切线斜率为 10 沿流线 流函数的全微分也为零 则流线上任一点处的切线斜率为 11 所以等势线与流线正交 势函数与流函数为共轭调和函数 因势函数和流函数满足C R条件 则任知其中一个可求出另一个 从而确定渗流场 12 例1 求线性渗流时势函数及流函数 由达西定律知 则 所以 由C R条件 单向流势 则 为单向流流函数 例2 设已知生产井的势 求流函数 解 则 因 又 即 则 13 2 平面渗流场的复势 如复变函数w z 在某一区域内解析 其实部和虚部存在二阶偏导数 并满足Laplace方程 即实部和虚部为共轭调和函数 又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数 则用势函数为实部 流函数为虚部构成的复数为解析函数 且称该复数为渗流场的复势 表示为 14 由 14 式 即 15 例 复势w z az C 求势函数 流函数及渗流速度的绝对值 解 习题 54 55 56 57 二 复势叠加原理 1 平面上点源和点汇的复势 生产井在坐标原点时 其势函数和流函数为 点源的复势为 即 1 1 式中 w z 距汇点任意处的复势 z 复平面上任意点 r 复变量z的模 复变量z的幅角 井点为点源时 复势为 如井点在任意点A a ib 其复势为 2 势函数流函数为 z rA A y x 3 2 复势叠加原理 若在渗流场中同时存在两个势流 其复势分别为 因势函数和流函数是共轭调和函数 是齐次线性方程 满足叠加原理条件 即两个复势可合成一个新复势 新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程 4 且 则同一渗流场中存在多个点源汇时 只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加 即可得多井同时存在时的复势 称平面渗流场的复势叠加原理 如平面上有n个点源汇 分别位于A1 A2 An 则任意点复势为 则势函数为 流函数为 7 6 5 三 复势理论在解决多井工作问题中的应用 一 无限地层中的等产量一源一汇 r2 r1 2 由复势叠加原理 1 则势函数为 流函数为 3 2 由 2 式可得等势线方程 由 3 式 为流线方程 则 令 化简为 配方得 4 5 流线为圆 地层中任意点的渗流速度 由 则 二 一对等产量的汇 2 r1 r2 M 由复势叠加原理 M点的复势为 1 则势函数为 2 流函数为 3 当 时为流线 令 上式化简为 4 流线方程为双曲线方程 C0为无穷时 有x 0或y 0 即x轴和y轴都是流线 其中y轴为分流线 地层中任意点的渗流速度为 r为任意点M到原点的距离 M点取在原点时 r为0 渗流速度为零 为死油点 补充习题 已知平面渗流场的复势 求势函数和流函数 第九节平面渗流问题的保角变换求解法 一 保角变换的概念 1 z平面到 平面上的变换 在复平面上复变数z x iy 引入新的复变数 i 与z之间有关系z z 或 z 则 or 即 1 1 式确定了平面z上的点与 上的点的对应关系 z 是单值或多值 则z平面上对应 平面上一点或几点 如 则 即在z平面上给定一点 在 平面上可得到对应的一点 同样z平面上一条线在 面上有对应的一条或几条线 对于z平面上的一个渗流场 同样可在 面上有对应的渗流场 2 解析函数的导数和幅角 设解析函数 z 把z平面一点z x iy变换到 平面内 i 的一点 用M和 分别代表函数 在z点的导数的摸和幅角 即 或 2 由 2 式知 在d dz 0时 变换 z 使z点处很短的线伸长或缩短了M倍 并旋转了一个 角 这样在z点附近很小的图形变换到 平面内具有与原来相同的形状 在z平面两条相交的曲线间的夹角变换到 平面内保持不变 称这种变换为保角变换 3 变换前后井半径的关系 复平面z上有一口半径为Rw的井 通过变换到 平面上将有一口半径为 w的井与之对应 x z y Rw l dn w dv 由 2 式知 或 3 4 井产量变换前后不变 4 由 2 式 5 代入 4 有 6 表示对应井产量相等 二 例设z平面上的单向流动复势为 则 作变换 则 即 三 保角变换的应用 1 直线供给边沿附近一口井 x y z a Pw Rw x x e Pw 作变换 1 令z ia 得 0 令z x 由 1 式有 即 说明z平面上的x轴变为 平面上半径为 e的圆周 3 即在 平面为圆形地层中心井问题 产量公式为 把 3 代入 4 保角变换的求解方法 寻找一个适当的变换 将复杂的物平面变为较易求解的像平面 求出像平面的产量公式后 再利用变换式把参数代回物平面 从而得到实际问题的解 2 圆形地层一口偏心井 x y Z0 Rw d w Re pw 作变换 5 为Z0的共轭复数 则Z平面Z0点变到 平面 0点 在Z平面圆周上任取一点Z 代入 5 式 即Z平面半径为Re圆周上的点对应 平面为单位圆周上的点 又 因 则 7 为偏心井产量公式 第十节等值渗流阻力法 利用水电相似原理 以电路图来描述渗流场 然后按电路定律来求解复杂的多井排渗流问题的方法 叫等值渗流阻力法 一 水电相似原理 2a pw q x pe 直线供给边沿附近一排生产井 单井产量公式为 L 井排产量为 1 式中 相当于液流渗过Bh断面面积 流经L距离的阻力 相当于从各井周围一个假想的供给边沿 供给半径为a 流经各井的渗流阻力的并联 用渗流内外阻表示为 2 3 则 1 为 4 5 在电学中 两电阻串联时的电流为 4 5 具有物理相似 称水电相似 上述问题的实际渗流场与假想渗流场及等值渗流阻力图为 在圆形供给边沿内半径为R的圆上有一环形井排 井相距2a 单井产量公式为 环形井排产量 6 又2 R n2a 即R n a 则 6 式可写为 7 渗流内外阻为 二 等值渗流阻力法在多井排上的应用 L1 L2 L3 PE 2a