连分数 wsh.doc

浅谈连分数的应用 于海杰(赤峰学院初等教育学院 内蒙古 赤峰 024000) 摘 要：实数通常用十进制数表示，可写成整数部分与小数部分。实数也可用连分数表示。本文简要介绍连分数的几点应用。连分数的理论在今天的数学中起着重要作用。在数论及线性方程的关键词：连分数 应用 1.连分数的定义 所谓连分数就是一种特殊类型的繁分数。如 . . 定义：设是一个无穷实数列，.对于给定的，我们把表示式 （1）称为有限连分数，通常简写为. 在（1）式中当时，我们把相应的表达式 （2）称为无限连分数，通常简写为。 2.连分数与实数的关系 定理：（1）有限连分数是一个有理数。 （2）任意一个有理数都可以表示为有限连分数。 （3）任意一个无限连分数是一个无理数。 （4）每一无理数只有唯一一种方法表示成无限简单连分数。 证明略，详见参考文献1。3.连分数的截断值 利用分数的连分数表达式的逐次截断值可求以出该分数的近似值。例如： 其截断值依次是：可以发现以下不等式：。 这说明上述连分数的逐次截断值从左、右两个方向交叉地逐次逼近真值。可以证明，任意一个数的连分数的逐次截断值都有这个渐进逼近性1，每一个截断值称为渐进分数。4.简单应用 （1）无理数化为无限连分数例1：将表示成无限连分数。解：把看成是一个分式，将“分子”有理化，得 这个等式的左边为，右边分母也出现了，则右边的便可以用整个右边的式子代替，于是有所以简写为（表示循环出现）。例2：已知斐波那契数列的前项与后项之比的极限是，将其表示为无限连分数。 解：如此反复，最后可得到简写为.这里只列举了两个比较简单将无理数转化为无限连分数的例子，对于将无理数转化为无限连分数更普遍的方法相关结论可参考有关文献，如2.（2）有理数化为有限连分数将有理数化为有限连分数，用辗转相除法即可得到。如.（3）连分数在求解一元二次方程方面的应用例3：求的解。 解：易知次方程有解，其精确解为， 其连分数解为，依次得到方程的近似解，而且越往后越精确：，（4）利用连分数求最大公约数3例4：求与的最大公约数。 解：，所以与的最大公约数为或.（5）连分数在历法方面的应用4闰年，是阴历中的一种现象，固定在二月，比平年加一天即29天。我们通常所说的一年365天，其实是个约数，比较准确的应该是365.2422天。那么一年365天就与实际一年少0.2422日，这样四年后就比实际的四年少了近一天，为了弥补这个差值，历法中规定了四年一润，百年少一润。地球绕太阳一周的时间为365天5小时48分46秒，即把写成连分数为简记为.它的逐次渐进分数为由知道，每隔四年应增加一天，这就是“四年一润”，但有点粗糙。由知道，每隔二十九年加七天稍好一些。由知道，每隔三十三年加八，即九十九年加二十四天更接近于实际。这就说明一百年（近乎于九十九年）应该增加二十四天而不是二十五天。这就应该说是“四年一润，百年少一润”。连分数在历法方面的应用可参考文献4。本文只是简单介绍了实数如何转化为连分数，及连分数的简单应用。其实连分数的应用很广泛，而且连分数的知识起点比较低，趣味性也比较强，与数学的基础知识关系密切。本文旨在通过对连分数的简单介绍，希望能唤起读者对数学的兴趣。参考文献：1 王进明，初等数论，人民教育出版社，2007年。2 杨中和，二次无理数的连分数，西安文理学院学报：自然科学版，2