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第一篇第一篇 牛顿力学 牛顿力学 第一章 运动问题第一章 运动问题 题一题一 地面上高HA和HB除各有一小球A B 两球在同一竖直线上自由下落 试分析系统形 成周期性运动的条件 设小球之间碰撞为弹性 且m B A mB B 不考虑三体碰撞的情况 题二题二 磁带问题 磁带问题 假设录音机的空盘以恒定的角速度 转动 绕上磁带 绕好后的末半径是初半径的 三倍 绕带的时间为t1 要在相同的盘上绕厚度为原磁带一半的磁带 需时为多少 配套训练题 配套训练题 1 1 听磁带时 带轴上的带卷的半径经过t1 20min减少一半 问此后半径又减少一半所 1 需时间t2 提示 听磁带时磁带线速度不变 t2 5min 题三题三 抛体运动抛体运动 A 地面上有高h的墙 离墙d处有一炮 发射炮弹速度为v0 问v0至少多大 才能使炮 弹越过墙 题四题四 抛体运动抛体运动 B 轰炸机在h高处以v0沿水平方向飞行 水平距离为L处有一目标 1 飞机投弹要击中 目标 L应为多大 2 在目标左侧有一高射炮 以初速v1发射炮弹 若炮离目标距离 D 为要击中炸弹 v1的最小值为多少 投弹和开炮是同一时间 题五题五 抛体运动抛体运动 C 一盏灯挂在离地板高h 天花板下H h处 灯泡爆破 所有碎片以同样大小的初速度 v0朝各个方向飞去 求碎片落到地面上的半径R 可认为碎片与天花板的碰撞是弹 性的 与地面是完全非弹性的 若H 5m v0 10m s g 10m s2 求h为多少时 R有 最大值并求出该最大值 2 配套训练题 配套训练题 1 2 倾角为 的斜面底端有一小球以v0抛出 问何种情况下小球能回到出发点 设v0与斜 面夹角为 cotcotn 1 3 炮从掩蔽所下向外射击 掩蔽所与水平面夹角 炮离地基O距离为L 炮弹初速v0 求炮弹的最大射程 1 4 下雨天是 车轮上沾有的水滴会被抛出 设抛出是他的速度与车轮上同一点相同 求所有水滴中上升的高度h的最大值 设车轮半径为R 轮心线速度为v0 题六题六 一根长为l的薄板靠在竖直的墙上 某时刻受一扰动而倒下 试确 定一平面曲线f x y 0 要求该曲线每时每刻与板相切 地面光滑 题七题七 一三角板两直角边分别长a b 开始时斜面靠在墙上 然后A B分别 沿y轴和x轴运动 求斜边完全与x轴重合时 C点所经的路程 3 题八题八 两个半径为R的圆环 一个静止 另一个以 速度v0自左向右穿过 求如图的 角时 交 点A的速度和加速度 题九题九 三个舞蹈演员互相对准另一人追逐 开始时位于正三角形的 三个顶点 求她们相遇所需时间和开始时三者的加速度 设速 度为v 边长为a 题十题十 一滑块p放在粗糙的水平面上 伸直的水平绳与轨道的夹角为 手拉绳的另一端以均匀速度v0沿轨道运动 求这时p的速度 和加速度 配套训练题 配套训练题 1 5 半径为R的圆柱体以v0向右运动 加速度为a0 一直棒顶在 其表面并被限制在竖直方向运动 求棒的速度和加速度 已知 2 0 00 2 cot cot sin v vvaa R 1 6 两杆被铰链固定在 B C 两点 其交点为 A 两杆皆绕轴以 匀角速同向旋转 求这时 A 的速度和加速度 2 24 33 33 AA vlal 4 1 7 一直狼沿半径为R的圆轨道以匀速v0奔跑 猎犬从圆心出发 以v0追狼 求猎犬在何处追上狼 并求犬的轨迹 任意时 刻犬 狼和圆心三点共线 2 处追上 轨迹为sinrRt 题十一题十一 河岸边有人A 它可以在岸边以速度v奔跑 也可以在水 中以速度u相对水游泳 水流速为w 如图 离岸d处有 浮标B 开始AB l 问此人应在何处下水 才能使它到达 B的时间最短 题十二题十二 某种游乐机由大小两个圆盘组成 小圆盘绕其固定在大圆盘上 的O 以角速度 相对大圆盘 旋转 大圆盘又绕中心O以 相对 地面 旋转 求两盘转到如图位置时P点相对地面的速度和加速 度 设 0 OOO PR 题十三题十三 如图 圆筒A B共轴放置 半径分别为R和 2R 另一半径为 1 2 R的圆筒C加在A B 之间 A以 1 B以 2绕O旋转 1 2方向相反 且C与A B紧 密接触 无相对滑动 1 求 C 相对地面与相对 B 绕一圈所需时间 2 小圆筒与B的接触点P相对地面与相对A的加速度各为 多少 题十四题十四 半径为R的半圆柱在水平面上以v0和a0顺时运动 其上放有一绳 子 绳一端系在墙上 另一端系一小球P 已知这时PO与竖直 方向夹 角 求此时小球的速度和加速度 5 题十五题十五 长度为l 10cm的棒在光滑水平面上转动 同时以速度v 10cm s滑动 离棒中心距离l 50cm处有一堵墙 要是棒平着与墙相撞 问棒的角速 度 应为多少 题十六题十六 表观速度表观速度 A 已知木星轨道半径约为地球的 7 倍 某时刻地球上的观察者测量木 卫一的周期 发现最大测量值比真值多 t 已知木星公转速度为V 地球公转速度为v 木卫一周期为T 试求光速c的近似值 题十七题十七 表观速度表观速度 B 考虑一个双星系统 彼此以相同的速度u分离 现观测到分离的速 度为v1 v2 如图 理论认为 u与地球到双星的连线有一夹角 造成v1 v2不同 设u c 1 试用v1 v2表示u和 2 导出使v1 c的条件 题十八题十八 曲率半径的物理解法曲率半径的物理解法 A 球滚轮线顶点处和端点处的曲率半径 题十九题十九 曲率半径的物理方法曲率半径的物理方法 B 球阿基米德螺线ra 的曲率半径分布 6 配套训练题 配套训练题 1 8 半径为R的大铁环以角速 绕其边上一点P旋转 在其内有半 径为 3 R 的小铁环相对大环无滑滚动 且当大环转过一圈 小 环相对大环转过两圈 试求在图示位置时 小环上A B两点 的加速度 2 82 A aR 2 10 B aR 1 9 岸边有一小串突然起风 小船被风以成 15 角的速度u吹离 人原来站在停船处 它可在岸边以V跑 也可在水中以 2 V 游 泳 问V至少多大 人可以追上船 2V u 1 10 a 求的顶点的曲率半径 b 求心脏线cosyAx cosrA 1 在 处的曲率半 径 a 1 A b 4 3 A 1 11 在高为h的平台上以速度v0平抛一小球 若一苍蝇一均匀速度v沿着小球的轨迹飞行 求其加速度 2 4 0 3 422 2 0 v v ag vg x 题二十题二十 飞行以均匀速度V 相对空气飞行 无风的天气 需时间T 完成一水平圆周运动 若在水平方向由恒定风速kV 求完成同样的圆周运动的时间增量 两级近似 1k 7 第二章 质点和质点系力学第二章 质点和质点系力学 题一题一 如图所示的系统中 滑轮和绳的质量忽略不计 绳不能伸 长 三物体质量分别为m1 m2 m3 其加速度方向如图 求a1 a2 a3 题二题二 如图 已知A重为 3 3 2 P B重 2P 分别放在光 滑斜面上 两滑块和C D用绳连接 C D各 重 2 P 求 1 平衡时的 2 现将吊D的绳剪 断 求剪断后的瞬间A B的加速度 题三题三 三个质量相等的木块初始位置b如图 用手拿住C 现放手 求释放后C的最大速度和届时A B的加速度 题四题四 质量同为m的小球和小环用长为L的刚性轻绳连接 小环套在 光滑水平杆上 开始时两者在同一水平面 绳子拉直 由静 止释放小球 求 为何值时小球速度最大以及小球的轨迹 题五题五 m1空间中有 m2 m3三个质点以万有引力相互作用 若 三质点绕其质心匀角速转动 求相互之间距离和角速度 满足 的关系 8 配套训练题 配套训练题 1 2 1 如图 绳与滑轮间光滑接触 质量不计 质量为m的小环套在左侧绳 上 两者间的最大静摩擦力和滑动摩擦力同为常量 f0 mg 绳的两 端所挂物体质量分别为M1和M2 将小环加速度记为am M1的加速度 为aM 求am和aM的大小和方向 1 2 2 如图 匀质圆环质量为M 左右两小珠质量为m 处处为 0 两 小珠从环顶下滑 为使圆环会上升 M和m比值 的范围是什么 2 3 m2 物体与带之间摩擦系数为 带与斜面无摩擦 求两 物体的加速度 2 在水平面上放一质量为m1的木块 在m1上放有 质量为m2的木块 滑轮组的连接情况如图 并在下 端挂质量为m1 m2的重物 m1与水平面之间 0 木 块之间 0 求当m1和m2比值为多少时 他们之间可 保持相对静止 9 与水平面成 倾角的固定杆不动钢丝上套一质量为m1的 小环 借助一轻绳AB与质量为m2的小球相联 不计摩擦 八八 m1和m2的物体挂在绳两端 绳跨于双斜面顶 部 1 2已知 斜面质量为m 不计摩擦 求释放 九九 样的 轻弹簧和两个一样的小球连接后 穿在一根细长的光滑水平棒上 将其中一根弹簧 第二章续 牛顿第二定律增补题 第二章续 牛顿第二定律增补题 题一题一 属丝绕成的螺旋线竖直放置在桌上 一粒珠子穿在金属丝上 沿螺旋线从上向下滑 试求珠子的稳定速度v 螺旋线的半径为R 与 求 1 当AB在竖直方向由静止释放时 AB上的张力 2 AB与铅垂方向成多大角度时 绳运动时不发生摆动 题题 质量为 后 双斜面的加速度和斜面静止的条件 题题 两根一 的一个端点与棒一端固定在竖直转轴Z上 现使 系统饶Z转动 且在不加外力情况下系统能稳定 现已知m k 求 的可取值 有细金 水平方向倾角为 珠子与金属丝之间的摩擦系数为 10 题二题二 将半径为R的薄壁圆筒迅速旋转到具有角速度为 0 然后将其轻 轻放在两倾斜平面之间 4 滑动摩擦系数为 圆筒减速过 程中其轴保持静止 求到转动停止时圆筒转过多少转 题三题三 水平放置的静止薄壁管B质量为m 现在在它旁边放一同 样的管A A管以初角速度 0转动 放法如图 设所有接 触面之间摩擦系数均为 2 问B管向什么方向 以多大 加速度开始运动 题四题四 如图 小球A B与C D分别用轻质杆AB CD相连 AC BD OE 均为细绳 AB CD 2l mA mB m B C mD m 求 1 BD被剪断瞬 时 OE绳内的张力 2 若将AC和BD改为弹簧重解第 1 问 题五题五 一根不可伸长的轻绳 穿上一粒质量为m的小珠子 绳的一端 固定在A点 另一端系在轻环上 环可以沿水平杆自由滑动 开始时珠子被维持在环旁边 绳子拉直 绳长为L A点到杆 的距离为h 绳能承受的最大张力为T0 求当绳子被拉断时珠 子的速度 设各处都很光滑 题六题六 学者研究新发现的星星 它是半径为R 6400km的球 体 表面上被水深 10km的海洋覆盖 现测出在海洋中 不同深度的地方 自由落体加速度在很大程度上仍然 不变 试根据这些数据确定星星上的自由落体加速度 11 题七题七 罗契极限罗契极限 小质量天体在接近大质量天体时 会由于大质量天体的引力作用而被分裂 试确定 半径为r 104km 质量为 6 1 10 mM 木的小行星在木星附近的罗契极限 极限距离 题八题八 星球自转 星球自转 考虑一个完全由水组成的星球 它以恒定角速 绕其 直径自转 由于自转 其表面形状会发生变化 假设 它变为极半径为rp 赤道半径为re的椭圆 定义 ep p rr r 为扁平因子 设r0为星球的平均半径 且万 有引力 表面 可近似表示为 2 0 Mm FG r r 试计算其扁平因子 题九题九 一个橡皮圈挂在钉子上 这时它的长度为 2h 现将它从钉 子上取下 然后设法使其在光滑水平面上旋转起来 绕过中 心的轴 它的长度也为 2h 求这时橡皮圈的角速度 12 题十题十 完全相同的无穷多个直角楔形木块如图堆放 已知 45 m 2kg 开始时他们被约束住不能移动 现解除约束 求刚 释放时桌面对 1 号楔的弹力 所有接触面均光滑 配套训练题 配套训练题 1 2 1 有两个相同的摆 把一个拴在另一个下面 使他们各在一个平面内做匀速圆周运动 设两条摆线与竖直方向所成的角都很小 已知运动过程中两摆线一直保持在同一竖 直平面内 求此平面转动的角速度 以及两质点轨道半径之比 112 2 222 2121 gg rr LL 2 1 2 2 两个物体A B质量分别为mA mB 用一根不可伸长的轻绳圈挂在 一滑轮两边 滑轮被固定不可转动 其半径为R 设它与细绳之间 无摩擦 求细绳与滑轮接触处单位长度所受法向支持力n的大小 B AB AB 2m m g n R mm 1 2 3 一根质量为m1的弹簧水平置于光滑地面上 一端以F力牵引 此时弹簧伸长量为 l 现将它竖直悬挂 末端系一质量为m2的重物 求当m2取何值时 弹簧伸长量也为 l 1 2 2 Fm g m g 1 2 4 据天文观测 木星外围有一环 使用力学方法判定其外围存在的究竟是连续物质 还是许多小卫星的集合 小卫星的集合 13 第三章 动量和能量第三章 动量和能量 题十题十 质量为m的两个重球A B由长为l的轻质杆连接 竖 直于光滑水平面上 若在下端B球上作用一水平恒力 F 使B端沿水平面移动距离S 求此时B端所受支承 力与 角的关系 配套训练题 配套训练题 1 2 5 倾角为 的斜面放在光滑水平面上 其质量为M 一质量为m的模块放在其上 求M的加速度 2 sincos sin mg a Mm 1 2 6 长为 2l的轻绳两端各系一质量为m的小球后伸直 中央系一质量为M的小球 三球均置于光滑水平面上 给M一冲击 使其获得水平垂直于绳的水平初速v 求两 端小球相碰前瞬间绳上的张力 2 2 2 2 mM v T Mml 1 2 7 质点沿 1 4 圆弧槽 B 静止下滑 已知 M m R 0 求 质点下落到任意位置 处时 B 对它的支持力 2 2 2 sin32cos cos MmgMmm N Mm 题十一题十一 质量为M 开始时静止放在光滑水平面上的滑块内 有长度均为l且互通的三段光滑轨道 60 转弯 处由光滑小圆弧连 设在左侧轨道上端有一质量 为m的光滑小球 于t 0 时刻自静止开始沿轨道自 由下滑 求 小球从开始下滑直到最后重新返回左 侧出发点的总时间 14 题十二题十二 半径为R的匀质圆环形光滑细管道放在光滑水平面上 其中有 两个相同的小球A1 A2 位于一直径的两端 管道质量是两 小球质量的 倍 开始时管道静止 A1 A2朝切线方向具有相 同的初速 而后将通过管道的两个对称缺口P1 P2穿出 已 知 然后在平面上某处相撞 求 1 相碰时两球与管道中心 O 之间的距离 l 2 从小球穿出缺口直到小球相碰的过程中 管道在桌面上经过路程S 题十三题十三 火车司机为容易启动重载的列车 总是先倒一下 然后重新启动 现有机车 牵引 力为F 后面有n 1 节车厢 机车和车厢质量都为m 每节车受的阻力为kmg 各节 车挂钩锁留间距为d 当列车沿平直轨道启动时 求第n 1 节车厢被机车带动时的速 度 设F nkmg 题十四题十四 光滑的水平面上有两质量分别为m1 m2的小球A B 放在一与右 侧竖直墙垂直的直线上 B球开始时静止 A球以速度v朝B运动 设系统处处无摩擦 若两球仅能发生两次碰撞 确定它们的质量 比 1 2 m m 的取值范围 题十五题十五 有长为l的木块A 放在足够长的水平地面上 取一无 盖的长方形木盒B将A罩住 B的左右内壁间的距离为 L L l B的质量与A相同 A与地面的摩擦系数为 A B为 B B B B A 开始时A在B的左端 两者以相同 的初速v0向右运动 已知所有碰撞均为弹性 1 要使 最后A B同时停止 而且A B之间轻轻接触 即无作用力 初速v0应取何值 2 要 使B首先停下 而且最后全部停下时 A B轻轻接触 v0 应取何值 3 有无v0使B 停下后又由于碰撞再次运动 最后A B停在一起 为何 题十六题十六 小球从水平地面上以初速v0斜抛出去 落地时在竖直方向与地面发生恢复系数为e的 15 碰撞 小球与地面的摩擦系数为 限制小球抛出后只能与地面发生一次斜碰事件 求小球的最大水平射程 题十七题十七 雪撬从盖着冰的高度为 h 的斜坡上端滑下 后又 在盖着冰的水平地面上前进 设雪橇与冰之间的 摩擦系数为 问 1 雪橇在水平地面上能前进的距离 S 为多少 2 若 很小 则上述结果的近似值如何 题十八题十八 碰撞中的 N f 作用时间不配问题 质量足够大的长平板在水平方向上以v0速率朝右匀速运 动 板的上方h高处有一小球从静止自由下落并与平板发 生碰撞 小球与平板间的 0 1 小球反跳高度仍为H 试 确定小球反弹角 的正切tan 与H的关系 题十九题十九 冲量关联冲量关联 质量为m的小球A B用不可伸长的细软绳连结 置于光滑水 平桌面上 且B正好位于桌子的边缘 另一质量也为m的小 球C以速率 0 vA B的连线方向运动 与A发生完全 弹性对心碰撞 求 1 从A受碰开始 经多长时间A离开桌面 2 A离开瞬时 绳力对A的冲量大小 3 离桌后 A B第一 次运动到水平时 与桌面的距离 4 3 gl 沿 题二十题二十 在一个带有活塞的柱形气缸内有一单原子分子沿气缸的长度方向往返运动 它与气 缸左壁及活塞均作弹性正碰 1 设气缸初始长度为l0 活塞推进速度为常量u 分子从活塞近旁以v0 u初始速率 朝左运动 忽略重力 试确定分子多次碰撞后 其速率v与气缸长度l的关系 2 设气缸截面积为S 则气缸初始体积为v0 Sl0 气缸长度为l时它的体积为Sl 再为 分子引入 温度 量T 使其正比于分子动能 试求T与V的关系 16 题二十一题二十一 质量为M的光滑斜面倾角为 放在光滑水平面上 一质量 为m的小球自上方以竖直速度v0降落于其上 恢复系数为e 求小球反跳的高度及斜面体获得的速度 题二十二题二十二 质量为M的炮车停在光滑水平轨道上 它在与轨道成 角的竖直平面内以仰角 发射 质量为m M 1 的炮弹 炮弹相对炮膛的速度为v 求 1 炮弹射出时相对地面的 速度 2 炮弹的射程 配套训练题 配套训练题 1 2 8 有一半径为R 质量为M的刚性均匀细圆环 开始时静止在光滑水平桌面上 环上有 小孔p0 一质量为m的小球 以初速v从小孔射入 与环内壁发生n次弹性碰撞后又自 小孔穿出 设圆环内壁光滑 从小球射入小孔到它又从小孔穿出 环中心到小球的 连 线 恰 转 过 360 求 小 球 穿 出 小 孔 后 环 中 心 相 对 于 桌 面 的 速 度 0 2 sin 1 m uvP O Mmn 方向 方向 1 2 9 光滑水平面上有一长为L 1 0m的小车A 在A上有一小木块B A与B质量相等 两者 间摩擦系数为 0 05 开始时 A静止 B位于A的正中 央以初速v0 5 0m s向右运动 假设所有碰撞皆为弹性 问 1 A B共能发生多少次碰撞 2 从开始到B相对 A停止的全部时间内 A相对水平地面走了多少路程 12 次 12 25m 1 2 10 17 有一质量及线速度足够大的水平板 绕铅垂轴以匀角速度 转动 在板上方h处有一 群相同的小球 它们以板的转轴为中心 R为半径均匀排成一圆周 现让这些小球 同时从静止状态开始自由下落 每个球与板碰撞时间很短 且e 1 板与球之间摩 擦系数为 1 求这群小球第二次和第一次与板碰撞时 小球数线密度之比 1 2 若 2 g R 1 1 2 r 求这些小球第三次和第一次与板相撞时数量线密度之比 2 2 2 12 2 1 32 8 1 1 2 22 8 1 ghR h R l ghR h g 1 2 11 水平放置的不动的圆柱形容器中有质量为M 可无摩擦移动的活塞 假设在容器中 活塞两边有两个具相同质量m m 2 R 问列车应具有多大初速度 才能不让任何一节车厢脱轨 题二十七题二十七 质量为m 长度l的均匀柔软粗绳 穿过半径为R的滑轮 绳两端吊在天花板上 滑轮轴上挂一重物 重物和滑 轮总质量为M 各处均无摩擦 求绳上最小的张力 19 题二十八题二十八 质量为m 半径为r的轮子 其轴上系有不可伸长的绳 子 在轮子所在的平面内沿水平方向拉绳 轮子沿栅 栏无跳动地滚动 栅栏由彼此间距为l的平行的水平细 杆构成 l r为使轮子以恒定的平均速度v运动 绳子 的平均拉力T多大 配套训练题 配套训练题 1 2 14 桌上放有质量为m的重物 倔强系数为k的弹簧系于其上 弹簧自由端以竖 直向上的恒定速度v上升 求弹簧的最大伸长 mgm x v kk 1 2 15 用初动能为E的质子去轰击Be核 形成另两个不同的核 其质量为km0 m0为质子质 量 该反应耗能E0 问E至少多大 才能使反应发生 2 0 2 1 1 k EE k 1 2 16 一长直光滑板AB放在平台上 OB伸出台面 在左侧的D点 放一质量为M1的小铁块 它以初速v向右运动 设直板相对 桌面不发生活动 经T0时间后直板翻倒 现让直板复原 并 在O点放另一质量为m2的小物体 同样让m1从D点开始以v 向右运动 并与m2发生正碰 那从m1开始滑后多少时间直板翻倒 T T0 1 2 17 如图的铰架由四根长为l的均匀杆和四根长2l的均匀杆铰接而成 每两 个铰链之间的质量为m 求O3 O4之间绳上的张力 T 18mg 20 第三章续 动量和能量增补题 第三章续 动量和能量增补题 题一题一 运动学许可区域运动学许可区域 一静止的物块爆炸成质量相等的1 2 3三个碎片 设爆炸中所放出的总动能为一 定值EQ 但每一碎片的动能有多种可能 设它们分别为EK1 EK2 EK3 现可以用高 为EQ的正三角形中一点P对三条边引垂线的长度来表示 EK1 EK2 EK3的一种取值 但并非三角形中每一点在物理上都被许可 试确定物理上许可的P点位置的集合 题二题二 一艘长为L的小船静止在湖面上 其质量为M 有一质量为m的人站在船头A点处 现他慢慢地走到船尾B处 1 若不计水对船的阻力 试求此过程中船的位移 2 若水 的阻力与船相对水的速度u成正比 即f ku 试重解第 1 问 题三题三 A 质量分别为m1 m2 m3的三个质点A B C位于光 滑水平面上 用已拉直的不可伸长的轻绳AB和BC连 接 ABC 一冲量I沿BC作用于质点C上 求 质点A开始运动时的速度 60 B 在上题基础之上 加入第四个球如下图 现试 求第四个球的速度 1234 60mmmmm 题四题四 潮汐问题 潮汐问题 考虑地球绕太阳的转动 太阳引力对地球上海水的 变化 满足表面等势条件 现假设地球引力表达 式不因海水分布变化而改变 日地距离为L 地 球平均半径为R 试确定地球上潮汐高度分布 用极坐标表示r R h 太阳质量为M 影响是造成地球上海水分布形状 地球质量为Me h R L s 21 配套训练题 配套训练题 1 3 1 质量均为m的四个质点 用同样长度 且不可伸长的 轻绳连接成菱形ABCD DAB 2 4 0 E 0 Er0的圆轨道上运行 若让发动机再次引爆 问要达到这个 轨道至少要多大的比冲量 c 假如我们要让飞船撞上恒星 若 0 时引爆一次 再在 180 引爆一次 为使 总的比冲量最小 确定第二次引爆时间的选择和每一次引爆的强度 0 1 0111 r 2 02 13 22 1 rGMGMGM avbvcv rrr 2 0v 无限长时间后在无限远处引爆 以后飞船落向恒星 23 专 一 2 发射一枚探测太阳的飞船 其轨道的近日点距太阳0 01Au 1Au 1 495 1011m 并与 地球具同样的绕日周期 这样 飞船在发射一年后又与地球会合 求发射速度的大 小和方向 与日地线夹角 u 40 8km s 40 88 题四题四 登月飞船以速度v0绕月球作圆周运动 已知飞船质量为 m 1 2 104kg 离月球表面的高度为h 1 0 104m s 喷气后飞 船在A点的速度减为vA 于是飞船将沿新的椭圆轨道运动 为 使飞船能在图中B点着陆 A B过圆心 问喷气时需消耗多 少燃料 月球半径R 1700km 月球表面重力加速度 g 1 7m s2 题五题五 以第一宇宙速度发射 垂直向上发射 的导弹经一段时间后 在离发射点不远处返回地面 计算导弹在空中飞行的时 间 地球半径R 6400km 题六题六 太阳系中小星体A作半径为R1的圆周运动 小星 体B作抛物线运动 B在近日点与太阳相距 R2 2R1 两者轨道在同一平面上 运动方向相同 设B运动到近日点时 A恰好到图示位置 A B 即发生某相互作用而迅速合为一体 其间无质量 损失 试证新星体的轨道为椭圆 24 题七题七 星际子弹 被认为是稠密气体团 它们像弹道式粒子一样穿过低密度的星际气体 云 考虑一球状均匀气体云 半径为R 质量为M 一个 子弹 半径 R 质量 为m m M 忽略所有非引力作用 a 用子弹与云中心的距离r表示子弹受到的力F r 和势能V r 0 r b 子弹对中心的角动量 1 2 32 GMR Lm 子弹的能量为 5 4 GMm E R 问子弹在哪 个区域运动 题八题八 质量为m的粒子 受到引力 5 k Fr r 的作用 k为常数 在无限远处 假定粒子的瞄准距离为 b 试求出使得粒子能被力心捕获的b的取值范 围 设粒子初速度为v 题九题九 长为l的宇航站在离地心r处的圆轨道上运动 l r 其速度v已知 现宇航站上的人 站在A点以速度u kv k 是一种有心力场 试证明散势犹如光线在半径为a 折射率为 0 Ev n E 的介质球中的折射 E为入 射粒子的动能 C 哈勃定律 哈勃定律 下题涉及牛顿宇宙学的一些性质 1 中心对称 宇宙相对任何一个观察者皆为中心对称 2 开宇宙 目前宇宙在膨胀 但宇宙的平均密度 总是均匀的 3 退行速度 v rH tr H t仅与时间有关 设宇宙大爆炸的时间记为t 0 但对任意质元而言 其能量E 0 27 题十四题十四 a 根据哈勃定律和宇宙的性质 确定H t 的表达式 b 若目前时间观察到r处的星体退行速度为v 试确定宇宙的年龄 设现在的哈勃常 数为H0 第四章 平衡问题第四章 平衡问题 题一题一 半径为R的半球形碗固定在水平面上 一根均匀的长为 2L的细杆斜靠在碗边 如图 求当杆处于平衡状态时杆 与水平面之间的夹角为 试讨论要使杆处于平衡 杆 长与碗的半径之间应有怎样的关系 不计摩擦 题二题二 如图所示 圆柱A B各重50N和150N 放置在V型 槽中 不计各处摩擦 平衡时 求两圆柱连心AB与 水平轴x的夹角 题三题三 如图 A B C D处皆为光滑铰链 E处为光滑接触 杆 长AB 3l BC 4l B 90 DE AC 现在DE杆上作用一 力偶 其力偶矩为m 作用面在杆平面内 方向如图 若各 杆都为轻杆 试求A C处的反力 D为AB中点 题四题四 如图所示 n层支架由相同的等腰直角三角形板铰接而成 其顶 部受两个力作用 其大小都为P 方向如图 现不计架子本身 的自重 试求底部固定铰支座A B处的约束反力 28 配套训练题 配套训练题 1 4 2 如图 由轻杆铰接而成的支架上 受两个竖直方向的力P 作用 问AB杆 对 铰 链A的 作 用 力 为 多 少 D为AB中 点 A 7 NP 4 题五题五 如图 已知匀质杆长为l 搁置于半径为R的圆柱上 各处的摩 擦系数均为 求系统平衡时 杆与地面倾角 应满足的条件 题六题六 质量为M的圆柱位于可动的水平平板车与固定的倾 角为 的斜面之间 圆柱与小车之间的摩擦系数为 1 与斜面之间的摩擦系数为 2 现要使小车向左匀速运 动 为此至少对它施加多大的外力F 题七题七 如图 两物块用细绳相连 置于斜面上 已知其质量分 别为mA mB m B A mB B 斜面对它们的摩擦系数为 A B 斜面倾角为 B tan ABAB 求绳与斜面中 线夹角 满足什么限制 mA mB B 才能在斜面上保持静止 29 题八题八 立体问题立体问题 A 如图 杆AB放在圆筒内 A点处摩擦足够大 杆的C点 靠在筒的边缘 A C两点位于通过圆筒轴的竖直平面 内 杆与水平方向夹角为 现使杆沿筒边移到C 点 C OC 试问摩擦系数至少为多少 才能使杆在C 位置保持平衡 题九题九 立体问题立体问题 B 半径为r 质量都为m的三个相同的球放在水平桌面上 两两相互 接触 用一高为1 5r的无底圆筒将三球恰好套住 各处保持相互 接触但无形变 现取质量也为m的第四个球置于三球正上方 其 半径为R 设各处摩擦系数 3 15 试问R取何值时 用手竖直 轻轻将筒上提 能将4个球一同提起 题十题十 平衡判断 平衡判断 如图 物块A B的重量分别为GA 100N GB 400N 用轻质杆铰接 置于两斜面上 AB方向水平 物 C重G B C 60N置于水平面上 用细绳绕过定滑轮与 B相连 已知各处的摩擦系数均为 0 6 不计杆 绳重量 试判断系统能否在图示位置保持平衡 题十一题十一 摩擦角法 摩擦角法 如图 均质杆AB置于相互垂直的两斜面上 摩擦系数为 平 衡时 杆与斜面AC的夹角 的范围是多少 已知 题十二题十二 无法平衡的问题 无法平衡的问题 两条均匀杆质量都为m 它们在B点用铰链相连 杆AB上 端A点铰接在天花板上 BC的下端C与地面接触 地面粗 30 糙 A点到地面的距离为杆长的2倍 整个系统可在竖直平面内自由运动 1和 2分 别为两杆与竖直线的夹角 1 试讨论在什么条件下 无论杆与地面的摩擦系数 为多大 这两杆组成的系统都 不可能达到平衡 要求用计算器找出处于这种情况时 1的取值范围 2 讨论该系统处在各种平衡位置时的摩擦力f的大小 用 1和 2表示 和方向 配套训练题 配套训练题 1 4 3 直径分别为 和D的两个圆柱置于同一粗糙水平面上 现在大圆柱 上绕一绳子 设所有接触面的摩擦系数均为 在水平拉力作用下 大圆柱能翻过小圆柱的条件是什么 d D 1 4 4 有两根不可伸长的柔软的轻绳 长度分别为l1 l2 它们的下端在C 点相连结 并悬挂一质量为m的重物 上端分别与质量可忽略的小 圆环A B相连 圆环套在水平横杆上 A B可在横杆上滑动 它 们与横杆之间的摩擦系数分别为 1 2 已知l1 2 时 22 22 1 121 21 2 1 1 1 ABllll iii 1 0 2 22 2 2 1 1 且 l l 22 22 22 11 1 1 l l 时 22 22 2 212 12 2 2 1 1 ABllll 1 4 6 两个相同的长方体处于图示位置 问当角 为多少 它们才能平衡 设长方体与台面之间摩擦系数为 长方体长为b 宽为a 它们之间摩擦不计 1 11 tanmin 2tan tan2 aaa bbb b 求证 尖端可以在半径为r的碗里稳定平衡 并求r的范围 接触面 上皆为纯滚动 题十七题十七 墙上挂着一幅画 画框的长为a 宽为b 宽边的两端系绳子 一 条绳 绳挂于墙上的钉子上 现略去所有摩擦 试确定绳长l 的范围 使得画能稳定平衡 题十八题十八 动平衡问题动平衡问题 A 半径为R 0 5m的空心球绕其自身的竖直对称轴以角速度 5rad s 旋转 在球内高R 2处有一木块同球一起旋转 g 10m s2 摩擦系数至少为多少才能实现这一情况 8rad s时 再 求实现上述情况的条件 在以下两种情况下研究平衡的稳定 性 i 木块位置有微小变动 ii 有微小变动 题十九题十九 动平衡问题动平衡问题 B 在一竖直平面内固定一个半径为R的刚性圆环 在其最高点A处系一原长为R的弹性 软绳 绳的另一端与一个套在圆环上的小珠相连 弹性绳的倔强系数为k 其质量可 以忽略不计 小珠质量为m 且它与圆环之间完全光滑 但它在滑动过程中受空气 阻力作用 开始时令小珠从A处向右自由下滑 试分析小珠可能的运动过程以及其 最终的状态 题二十题二十 有效势能法有效势能法 一质量为m的质点在有心力f r 作用下运动 若 33 0 n K f rn r 1 证明在适当初条件下质点的轨道是一圆 2 若要保持圆轨道的稳定 试求n的最大值 配套训练题 配套训练题 1 4 7 如图 正方形匀质杆重为G 用4根轻杆铰接在四个顶点 4杆的另 一端铰接在对应顶点正上方的天花板上 外形构成边长为a的立方 体 现将方板绕竖直对称轴旋转 角 再用一细绳围绕四杆中点捆住 使板平衡于 角位置 试求绳中的张力 cos 2 2 cos G T 1 4 8 如图 半径为R2的均质圆柱体 横放在半径为R1的圆柱上 母线相互垂直 设两圆柱间摩擦系数足够大 试求稳定平 衡时 R1 R2应满足的关系 R1 R2 1 4 9 如图 均质材料制成的浮子 其质量为m1 由两个半 径为R的球冠构成 其厚度hh 试求要 问浮子在水面上稳定时各量所必须满足的关系 12 12 2 m hm l R mm 1 4 10 一质点受有心力作用 其势能可写成 24 ab V r rr 现已知该质点的圆运动轨道有两条其半径分别为R r 且R r 试问哪一条是稳定 的轨道 R是稳定轨道 34 第五章 振动与波动 第五章 振动与波动 题一题一 如图 放在水平地面上方高1m的三角支架上有一固定的 水平横杆 横杆下用细线悬挂一个小球A A通过一根轻弹 簧与另一个相同的小球B相连 B静止时 弹簧的伸长量为 3 0cm 今将悬挂球A的细线烧断 A B便与弹簧一起往 下运动 假设B触及地面时 发生完全非弹性碰撞 且该 瞬时弹簧伸长量也为3 0cm 而后A将继续向下运动 求 以后弹簧相对其自由长度的最大压缩量 g 9 8m s2 题二题二 质量各为m和M的两物块用轻软的橡皮绳相连放在水平台面上 橡皮绳原长为a 伸 长时犹如一倔强系数为k的弹簧 物体与台面的摩 擦系数为 今将两物体拉开至相距b b a 释放 求两物体从开始运动到相遇所经过的时间 设 很 小 以及相遇时两者的相对速度 题三题三 广阔的海水中浮着一座金字塔形 正四棱锥 的冰山 平衡时塔顶离水面的高度为h 若冰的密度为 1 海水密度为 2 试求冰山在其平衡位置附近小幅振动的周期 题四题四 在自然界 有些湖泊会产生一种叫做 湖震 的奇异现象 发生这种现象的湖泊通 常是长而浅的 为建立此模型 选取一个长为L 宽为d 水深为h的容器 当它受 到扰动后 水将整体在L方向上发生震荡 现假设水面始终为平面 求振动的周期 题五题五 在光滑水平面上有三个小球 质量依次为A m1 B m2 C m3 B和C之间用一倔 强系数为k 自由长度足够长的轻弹簧连接 开始时弹簧 成自由状态 B C均静止 现使A以速度v0朝B运动 A B C同在一条直线上 设所有碰撞都为弹性 1 请分析地给出A与B碰撞后再相遇但不相碰的最多可能次数 2 若m2 m3 m 试问 m1 m取何值时 A B能再相遇但不相碰 35 题六题六 已 知 摆 线 下 滚 轮 线 的 参 数 方 程 为 sin 1cosxaya 有一质点穿在同 样形状的光滑钢丝上 试求解其振动情况 题七题七 一般而言 我们讨论弹簧振子时 都不计弹簧本身的质量 现在 假设弹簧质量均匀 其值为m 振子的质量为M 试求该系统的固有频率 题八题八 假设在地球和太阳之间的星际空间中充满了密度为 的 暗物质 已知地球轨道半 径为R 太阳质量为M 试求当地球在其轨道的径向有小扰动时 径向振动的角频率 题九题九 光滑的细杆组成夹角为 的人字形架 一根长度为l的轻 线套在架子上 绳两端共系一个重球 架子竖直放置 求重球在架平面内作小振动的周期 题十题十 一个等腰三角形衣架连同钩子 能在图示的几个平衡位置进行小幅振动 在 a b 中 长边水平 并且 a b c 三种情况下振动周期相等 问该衣架的质心在 何处 周期为多少 36 题十一题十一 平均深度是6m的某海峡的潮汐涨落可看成由太阳引起的潮汐和由月亮引起的潮汐 两个成分组成 设太阳能潮的振幅为1 5m T 12h 月亮潮的幅度为2 5m T 12 5h 求该海峡的潮汐涨落与时间的关系 题十二题十二 简正模式简正模式 A 设想CO2分子中仅碳原子和氧原子间有弹性力作用 设 碳原子质量为mc 氧原子质量为m0 试求CO2分子中 原子简正运动的振动角频率 弹性系数为k 题十三题十三 简正模式简正模式 B 双摆 在摆长为l 摆球质量为m的单摆下端再挂一摆长 为l 摆球质量为m2的单摆 求系统小振动的简正频率 题十四题十四 边长为a的正四面体 中心为O OA OB OC OD 为四根倔强系数为k的轻弹簧 现位于中心的小球连接 着四根弹簧 其质量为m 不计重力作用 1 若四根弹簧原长皆为O 试求m在平衡位置附近 小振动的角频率 2 若四根弹簧原长都等于 6 4 a 重解 1 题十五题十五 小球和弹簧模型中的波速小球和弹簧模型中的波速 在如图的模型中 设小球的质量为m 弹簧为轻质弹簧 原长为d 劲度系数为k 试确定在该模型中传播的纵波的波速 37 题十六题十六 考虑上题中的模型 但其中某一个小球的质量变成m0 m0 d 题十七题十七 一平面简谐波沿x轴正方向向一反射面入射 它表示为 y Acos t kx 已知t 0时 在x 0处的质点由平衡位 置向上振动 并且波在反射面上发生射全反射 求 1 反射波的函数 2 合成波的函数以及波节的位置 题十八题十八 我们往往有这样的经验 即沿着风向会传来远处的一阵阵清彻响亮的声音 1 证 明这不能用 风携带声 来解释 即均匀的风速不能解释这一效应 2 靠近地表 的风速具有一垂直的速度分布 v ky2计算在下风方向声强极大值距声源的距离 设 声波发射角为0 题十九题十九 多普勒效应多普勒效应 在一宽广的水流中静止着一声源 声源沿水流方向发射波长为 的平面波 设水流速 度为v 在静止的水中 波速为u 求 1 在下游方向静止的观察者听到的声音频率 为f1 2 在下游方向随水一起运动的观察者听到的频率f2 3 在波源与 2 中 观察者之间的第三个静止观察者听到的拍的拍频fs 认为波在 2 中观察者身上 发生反射 配套训练题 配套训练题 1 5 1 如图 质量为M 宽为d的木块置于光滑水平面上 与一端固 定于竖直墙上的轻弹簧相连 弹簧的劲度系数为k 处于原长 一质量为m的子弹以v0初速度水平射向木块 在穿入到穿出的 过程中 受到木块的阻力为常量F 求木块第一次向右运动过 程中可达到的速度最大值 5 2 4 m kdF M 2 max0 2 88 2 4 FFFMmFmkdMF vv m k kMkMm kM 38 1 5 2 五根自由长度下的弹簧组成如图的两个正三角形 弹簧劲度系数为 k 放在光滑源水平面上 现将A点固定 B点连接一质量为m的小 球 试求小球在平衡位置附近沿AB方向作小振幅振动的周期 5 2 3 m T k 1 5 3 在水平桌面上 质量分别是M和m的两物块由一倔强系数为k的弹簧相连 物块与 桌面间的摩擦系数均为 开始时 弹簧处于原长 m静止 M以 22 0 6Mmg v k Mm 的 速度拉伸弹簧 求 当弹簧达最大拉伸时的伸长量 M m 5 mg lMM k Mm m 1 5 4 如图 光滑水平面上有一木板A 一端用轻弹簧与墙壁 相连 桌面上有固定挡板B 当A与B接触时 弹簧恰 为原长 现将A向右拉一段距离l0 用手握住 然后 在A上面放一小木块C 可视为质点 已知A的长度 L 0 7000m A的质量为M 10 00kg l0 1 000m C的 质量mC 0 01000kg C与A之间动摩擦系数为 0 4000 静摩擦系数 0 0 4010 弹簧 k 45 00N m 问将C放在A上什么地方 用距A左端的距离D表示 放手后C能始终 留在A上 已知A与B的碰撞为完全弹性的 g 9 800m s2 忽略C对A的影响 0 548m D 0 674m 1 5 5 固定在水平面上的圆环内 均匀分布着n根原长等于圆环半径r 劲 度系数为k的弹簧 它们的公共点在圆心 并固定一个质量为m的 小球 现将小球拉离平衡位置后放开 求其小振动的周期 2 2 m T nk 1 5 6 39 秋千的一根绳子的固定点比另一根绳的固定点高b 秋千的两根支架相距为a 两绳 长度为l1 l2 求该秋千的周期 222 12 llab 21 2 2 l l T ag 1 5 7 线密度为 的长弦张力为T 一点质量m附在弦上 现自左向右入射一频率为 的 波 设弦上波速可表示为 T v 试求反射能量与入射能量之比 24 2422 4 m mT k 1 5 8 在单行道上 交通川流不息 有一支乐队沿同一方向前进 乐队后面有一坐在车上 的旅行者向他们靠近 这时 乐队正奏出440Hz的音调 在乐队前方的街面上有一 固定的话筒作现场转播 旅行者从车上的收音机听广播演奏 他同时听到由乐队直 接传来的音乐 并发现了3秒内听到4拍拍音 他测得车速为18km h 试计算乐队 行进的速度 声速为330m s v 2 97m s v 1 98m s 1 5 9 一入射波在固定端发生反射 某一时刻的 波形如图 试画出该时刻反射波的波形 画法 将原波关于x 0进行对称 再将y 值变负即可 40 第二篇第二篇 热学 热学 第一章 热力学第一 二定律和相变第一章 热力学第一 二定律和相变 题一题一 循环计算循环计算 A 1mol单原子分子理想气体经p V图上可以表示为圆的 循环过程 如图 试求 1 过程中的最高温度 2 在 一次循环后对外界做的功 3 气体在ABC过程中吸收的 热量 题二题二 循环计算循环计算 B 如 图 0 1mol单 原 子 分 子 理 想 气 体 从 初 态 经p V图上的直线过程到达终态 3 00 32 0Pa 8 00mpV 3 11 1 0Pa 64 0mpV 再经过绝热过程回到初态 构 成循环 求1 循环效率 2上述循环的最高及最低温度 题三题三 试计算狄塞尔循环的效率 1 由V2 TA绝热压缩到TB V B 1 2 由V2 TB等压吸热到V B 3 TC 3 由V3 TC绝热膨胀到V2 TD 4 由V1 TD经等容放热到V2 TA 41 题四题四 循环比较循环比较 等容摩尔热容为CV的某理想气体 经历如图所示的两个循环 过程A1B B 1C1A1和A2B2 B C2A2 相应的效率为 1和 2 试比较 1与 2的大小 配套训练题 配套训练题 2 1 1 某单原子理想气体经历如图的准静态过程AB 在p V图上AB 线向左平移v0后恰为T0等温线 讨论该过程中吸放热的范围 00 5 2 VVV 放热 0 5 2 V V转换 2 1 2 计算出卡诺循环的效率 1 2是T1等温线 3 4是T2等温线 2 3和4 1是绝热线 2 1 1 T T 题五题五 如 图 的 圆 柱 形 容 器 l0 1 00 10 1m 截 面 积 S 1 70 10 2m2 容器壁 两个活塞均绝热 劲度系数 K 1 50 104N m的弹簧与两活塞相连 筒中有带孔的 固定隔板 筒壁有开口与大气相通 大气压强 p 1 00 105Pa 两室分别盛有同种理想气体 温度均 为T0 300K 压强均匀p0 现对左室徐徐加热 弹簧长度最大改变量lm 7 40 10 2m 气体绝热过程为pVa C 内能 1 nRT u a 求当吸热Q 1000J时左右两室的气体温度和 42 压强 题六题六 如图的直立气缸 绝热活塞质量M 7 00kg 截面积S 25 0cm2 倔强系数K 300N m的轻弹簧与活塞和气缸底部相连 缸内装 有理想气体 单原子分子 气温T1 300K p1 1 40 105Pa L1 50 0cm 大气压p0 1 00 105Pa 现有m 3 00kg的铅柱自活 塞上方H 80 0cm处自由落下 与活塞发生完全非弹性碰撞 已 知碰后铅柱在运动过程中某时刻又与活塞分开 此时气温