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第20卷 第2期 陇东学院学报Vol 20 No 2 2009年3月 Journal ofLongdongUniversityMar 2009 塞曼效应的量子理论处理 李高清 雷广鹏 3 陇东学院 物理与电子工程学院 甘肃 庆阳745000 摘 要 在塞曼效应实验结果的基础上 从电子自旋的角度出发 用量子力学的观点对塞曼效应中 能级及谱线的分裂情况进行解释 指出朗德g因子中用L L 1 S S 1 J J 1 分别替代L 2 S 2 J 2的正确性 并从朗德g因子的取值对正常塞曼效应和反常塞曼效应进行比较 对它们的区别 与联系加以揭示 关键词 量子力学 塞曼效应 薛定谔方程 能级分裂 朗德g因子 中图分类号 O562 32 文献标识码 A 文章编号 167421730 2009 0220049206 Quantum theory Treat ment of Zeeman Effect L I Gao2qing LEI Guang2peng College of Physics and Electronic Engineering LongDong University Q ingyang745000 Gansu China Abstract This paper takes the viewpoint of Quantum Mechanics to explain the splitting of energy level and spectral line On the basis of the result of Zeeman Effect experimental and from the angle of electron spin it presents the rightness by using L L 1 S S 1 J J 1 to replace L 2 S 2 J 2 respectively in Lande g factor and compares with the nor mal and abnormal Zeeman effect according to Lande g factor value to reveal their differences and relations Key words Quantum Mechanics Zeeman Effect Schr dinger equation Energy level splitting Lande g factor 0 引言 塞曼效应是原子在磁场中能级和光谱发生分裂的现象 1896年P 塞曼 P Zeeman 发现 1 原子 在足够强的磁场中光谱线发生分裂 在垂直磁场方向观察到分裂为3条 裂距与磁场大小成正比且等 间距 其间距为一个洛伦兹单位L e B 4 mc H A 洛伦兹 H A Lorentz 用经典电磁理论对此作 了解释 但在1897年12月 普雷斯顿 T Preston 发现 在很多实验中情况与之前塞曼发现的不同 分 裂要比其复杂的多 人们便把塞曼原来发现的现象称为正常塞曼效应或简单塞曼效应 更为复杂的称 为反常塞曼效应或复杂塞曼效应 全面解释塞曼效应须用量子力学 并须考虑电子自旋 电子自旋磁矩与轨道磁矩耦合为总磁矩 它们 是空间量子化的 在外磁场作用下引起的附加能量不同 造成能级分裂 从而导致光谱线的分裂 塞曼效应 是探索原子内部精细结构和各组成部分性质的工具 2 利用它可以算出电子的磁矩 可以算出原子的角 动量 从而确定原子的能级 它为研究电子顺磁共振现象和原子核性质提供了一种有效手段 塞曼效应还 可以用来测量等离子体的磁场 在天体物理中 塞曼效应被用来测量天体磁场及星际磁场 3 现行的教材 3收稿日期 2008205227 作者简介 李高清 1962 男 甘肃环县人 教授 主要从事理论物理和实验物理研究 对塞曼效应的讲解中 对反常塞曼效应的讲解及其与正常塞曼效应的区别与联系涉及甚少 下面我们应 用量子力学的观点对塞曼效应的结果做出解释 对教材中的欠缺作一定的补充 1 塞曼效应的量子力学解释 1 1 外磁场强 简单塞曼效应 一般情况下 原子中电子近似处于一个平均的有心力场运动 其定态薛定谔方程的解类似于氢原 子 能级由主量子数决定 且能级是简并的 4 考虑氢原子或类氢原子在均匀外场中的情况 由于电子 的轨道磁矩和自旋磁矩受到磁场的作用 电子除了在原子中所具有的动能和势能外 还有磁场引起的 附加能 另外 电子的自旋和轨道运动之间也有相互作用能 我们假设外磁场足够强 以至于自旋 轨 道相互作用能和外磁场引起的附加能比较起来可以略去 轨道角动量与轨道磁矩满足关系 M l e 2 L 1 自旋角动量与自旋磁矩满足关系 M s e S 2 原子在外磁场中的附加能量为 U M l B M s B e 2 c L 2S B s 3 取磁场方向沿Z轴正方向 3 式可写为 U e 2 c L z 2S z B s 4 此时 体系的哈密顿为 H 2 2 2 U r e 2 c L z 2S z B s 5 于是 体系的定态薛定谔方程为 2 2 2 U r e 2 c L z 2S z B s E 6 由于H L z L S z相互对易 则必有组成完全系的共同本征函数 设该本征函数为 nlm ms 其本 征值为Enlmms 当有外磁场时 由于 nlm是L z的本征函数 即 L z nlm m nlm 7 则体系的本征值方程可写为 当ms 1 2 时 2 2 2 nlm U r nlm e 2 c m 1 B s nlm Enlmms nlm 8 当ms 1 2 时 2 2 2 nlm U r nlm e 2 c m 1 B s nlm Enlmms nlm 9 在氢原子的情况下 U r 是库仑势 nlm所属的能级仅与主量子数n有关 在碱金属原子的情况 下 核外电子对核的库仑场有屏蔽作用 这时 nlm所属的能级不仅与主量子数n有关 而且与角量子数 l也有关 即 2 2 2 nlm U r nlm Enl nlm 10 则结合 7 8 9 和 10 式可得 Enlmms Enl e Bs 2 c m 1 ms 1 2 Enl e Bs 2 c m 1 ms 1 2 11 由此可见 在外磁场中能级与m有关 原来m不同而能量相同的简并现象被外磁场消除 其次 由 05陇东学院学报 第20卷 于外磁场的存在 能量与自旋有关 图1为1 s和2p在外磁场中的能级及谱线分裂情况 当原子处在s态时 l m 0 因而原来的能级分裂成两个能级 当原子处在p态时 l 1 m 1 0 1 在外磁场B的作用下分裂为三个能级 则在外磁场中电子由能级Enlm跃迁到En l m 时 谱线频率 为 Enlm En l m 0 e Bs 2 c m 12 其中 0 Enl En l 是没有外磁场时的跃迁频率 m m m0是跃迁中磁量子数的改变 由选择 定则 m 0 1可知 可以取三个值 0 0 e Bs 2 c 13 即在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条 其中一条的频率与原来的频率相等 另外两条 频率差相等 一大一小 频率差与场强有关 这就是简单塞曼效应 1 2 外磁场弱 复杂塞曼效应 如果外磁场较弱 电子自旋 轨道相互作用不能略去 则能级分裂要比简单塞曼效应复杂的多 这种情况称为复杂塞曼效应 为简便起见 我们只考虑氢原子和类氢原子在外磁场中的情况 1 2 1 自旋 轨道相互作用能的相对论修正 核 Ze 在价电子 e 处产生的磁场根据毕奥 萨伐尔定律可求得 5 B 0 4 Ze v r r 3 14 根据角动量的定义有 L r v v r 15 结合 14 15 两式 该磁场可写为 B 0 4 Ze v r r 3 Ze 0 4 r 3L 16 由于自旋 轨道相互作用能满足 Uls M s B l 17 将 2 16 代入 17 得自旋 轨道相互作用能为 Uls Ze 2 0 4 r 3S L 18 事实上 在质心系中原子核基本上是静止的 而电子围绕着原子核运动 当上面的讨论变换到原 子的质心系时 会出现因子1 2 称为托马斯因子 代入该因子对自旋 轨道相互作用能进行修正 能 量变为 Uls Ze 2 0 8 r 3S L 19 1 2 2 具有自旋 轨道耦合的反常塞曼效应的量子力学处理 当原子置于场强不是很强的外磁场中时 先用轨道角动量与自旋角动量耦合成总角动量 J L S 更确切的说 这一部分我们用LS耦合来讨论 6 通过1 1中的讨论我们知道 不考虑自旋与轨道耦合时 体系的薛定谔方程为 6 式 当考虑到自 旋与轨道耦合时 要在薛定谔方程中引进自旋 轨道相互作用能项 此时 体系的薛定谔方程与时间 无关的形式为 2 2 2 U r e 2 c L 2S B s Ze 2 0 8 r 3S L E 20 为求解方程 20 我们先考虑有磁场时的薛定谔方程 2 2 2 U r Ze 2 0 8 r 3S L E 21 自旋 轨道耦合混淆了轨道态和自旋态 因而有必要引入一个新的量子数 如果没有自旋 轨道耦 合 波函数就具有如下形式 nlmlms Rnl r Ylml ms S z 22 15 第2期 李高清 雷广鹏 塞曼效应的量子理论处理 此式由主量子数 轨道量子数 磁量子数以及自旋量子数表示 为了求出适用于自旋 轨道耦合 的量子数 必须借助对易关系去考虑轨道角动量的展开 求出参数 以便选定可同时进行观测的参数 为此引入总自旋算符J 以及它Z方向的分量J z 那么 轨道角动量的平方L 2 自旋角动量的平方 S 2 总角 动量的平方J 2 总角动量的Z分量J Z S L 和L S 就可以以任意所需的精度同时进行观测 由于在上面 的式子中出现L S 所以可以通过选择算符L 2 S 2 J 2 和J z的本征值的量子数来表示波函数 可以得到以 下算符和量子数之间的关系 J 2 量子数J J Z量子数M S 2 量子数S L 2 量子数L 由于自旋 轨道耦合要比能级间距小得多 所以主量子数n仍然是一个好量子数 也就是说它仍 然表示一种很好的近似本征函数 现在来求出外磁场对电子的影响 并考虑到自旋 轨道耦合 取磁场方向沿Z轴正方向 则体系 的定态薛定谔方程 20 式可以写为 2 2 2 U r e 2 c L z 2S z B s Ze 2 0 8 r 3S z L z E 23 在弱磁场中 自旋 轨道耦合要比外磁场的作用强得多 则体系的近似波函数可以表示为 nLJM RnL r YLJM 24 按照简并微扰理论 23 式中的 e 2 c L z 2S z B s可以看作微扰 记作H 而且H 与J z对易 则能量的一 级修正等于H 对 nLJM的平均值 即 E 1 nLJM 3 nLJMH nLJMd e 2 c J z S z B s e 2 c M 2 z B s 25 z是 的Z分量平均值 由于 1 2及 1 2为 的本征函数 对任意态 nLJM有 7 z nLJM C1YLM 1 2 C2YLM 1 1 2 C1YLM C2YLM 1 26 由此可得 z 3 LJM z LJMd C 3 1Y 3 LM C 3 2Y 3 LM 1 C1Ylm C2Ylm 1 d C 3 1C1 C 3 2C2 27 将 C1Y LM 1 2 C2YLM 1 1 2代入的 L 本征方程 对两种本征值分别做出计算 就可以求出 C1 C2 再利用归一化条件可得 当J L 1 2 时 C1 L m 1 2L 1 1 2 C2 L m 2L 1 1 2 当J L 1 2 时 C1 L m 2L 1 1 2 C2 L m 1 2L 1 1 2 则对于J L 1 2 的情形 z 2m 1 2L 1 M J 28 对于J L 1 2 的情形 z 2m 1 2L 2 M J 1 29 于是 能量的一级修正为 E 1 nLJM e Bs 2 c 1 1 2J M J L 1 2 e Bs 2 c 1 1 2J 2 M J L 1 2 30 体系定态薛定谔方程的能量本征值为 EnLJM E 0 nLJM E 1 nLJM EnL e Bs 2 c 1 1 2J M J L 1 2 EnL e Bs 2 c 1 1 2J 2 M J L 1 2 31 对于每一个J的值 M有2J 1个取值 M J J 1 J 1 J 即在弱磁场情况下 每一个 能级分裂为2J 1个能级 25陇东学院学报 第20卷 引入朗德 Lande g因子 g 1 z 2M 1 S z J z 1 1 2J J L 1 2 1 1 2J 2 J L 1 2 32 则 31 式可以写为 EnLJM EnL e Bs 2 cM g 33 因此 对光谱进行实验分析测定 可以推断出能级的g值和J值 由此可以推出L值 这样就获得 了原子结构的重要信息 1 2 3 朗德g因子的计算 根据泡利算符的重要性质 8 A A 2A 34 其中A 为任意一个与 算符对易的矢量算符 若取A L 则有 L L 2L 35 在 LJM态下求 35 式的平均值 则式中的 L 变为其本征值 则有 L 的本征值 L 36 由于J L 2 则 36 式可以写为 2 L 的本征值 J 37 在J z的本征态下 J x J y 0 则 x y 0 因此 z 则 37 式可以写为 z 2 L 的本征值 J 38 将 38 式代入S z 2 z可得 S z J 2 L 的本征值 M 2 2 L 的本征值 39 为简便起见 我们以 L 代替其本征值 并略去 则 39 式即 9 S z M 1 2 L 40 由于 J 2 L S L S L 2 S 2 L 41 对 41 式取本征值 有 J J 1 L L 1 3 4 L 42 由于 L 的本征值满足方程 L 2 2 L L L 1 0 43 结合 42 43 消去L L 1 得 J J 1 L 1 2 L 3 2 44 则根据 40 有 S z M 1 1 2 L J J 1 S S 1 L L 1 2J J 1 45 结合 32 45 可得 g 1 S z J z 1 J J 1 S S 1 L L 1 2J J 1 46 在用直观的矢量模型方法导出朗德g因子时 用L L 1 S S 1 J J 1 分别替代L 2 S 2 J 2 就必须以特定的余弦定理 在这里用量子力学的方法计算出了朗德g因子 不仅克服了这一缺陷 而且 还指出了这种替代的正确性 现在再看反常塞曼效应 能级跃迁的选择定则为 35 第2期 李高清 雷广鹏 塞曼效应的量子理论处理 L 1 J 0 1 M 0 1 图2为Na的D1和D2线分裂示意图 在反常塞曼效应中 由于g1 g2 因此 能级分裂和谱线列距都由 于g因子的差异而不等并出现复杂的磁致分裂谱线成分 能级和谱线分裂都比简单塞曼效应复杂 因 而称为复杂塞曼效应 2 从朗德g因子的取值比较正常塞曼效应和反常塞曼效应 由上面的讨论可知 若一条光谱线是由能级E1和E2 E 2 E1 之间跃迁产生的 无磁场时 这条谱 线的频率为 E2 E1 在外磁场中 因能级分裂而观测到的新光谱线与原光谱线的频率差为 M2g2 M1g1 L 下面针对两能级的g因子的取值 10 讨论正常塞曼效应和反常塞曼效 应 1 g 1 g2 1时 即始末二态的g都等于1 这种情况将发生正常塞曼效应 因为此时 ML而由选择定则 M 0 1知 所以分裂的谱线只有三条 且相邻谱线的间距相等 是正常塞曼 效应 从原子能级结构可以这样来理解 g 1 必是S 0 则L J 对应的原子外层必有偶数个电子 而且自旋成对相反 S 0 2S 1 1 对应谱项是单项 所以谱线属于单线系