大学物理 真空中的稳恒磁场 课件.ppt

代红权 真空中的稳恒磁场 1毕奥 萨伐尔定律 一 磁现象及其本质 1 一般磁现象 1 磁铁 两极 N极 S极 不可分 同极斥 异极吸 2 地磁 小磁针 N指北 S指南 地磁N极在南 地磁S极在北 3 电流与磁铁的相互作用 电流对磁铁有作用力 磁铁对电流有作用力 4 电流与电流的相互作用 两平行电流间 两圆电流间 两螺旋管间 2 结论 1 作用力方向 随磁极的不同 及电流方向的不同而不同 2 作用力大小 的强弱 位置 方向有关 与磁极和电流 3 磁现象的本质 1 螺线管电流等效条形磁铁 2 分子电流的假说 3 磁现象的本质 运动电荷既激发电场 库仑场 又激发磁场 4 磁场的物质性 对运动电荷 电流 作用力 磁场使其中的物资磁化 磁场有能量 动量 质量 二 磁感应强度B 描述磁场强弱的物理量 3 磁现象的本质 2 分子电流的假说 3 磁现象的本质 运动电荷既激发电场 库仑场 又激发磁场 4 磁场的物质性 对运动电荷 电流 作用力 磁场使其中的物资磁化 磁场有能量 动量 质量 二 磁感应强度B 描述磁场强弱的物理量 1 三种定义方式 小磁针在磁场中受力 载流线圈在磁场中受力矩 运动点电荷在磁场中受力 2 运动点电荷在磁场中受力 实验表明 运动点电荷q在磁场中 1 当v与某特定方向平行时 运动点电荷q不受力 其它情况均受力 2 运动点电荷q所受磁力F 方向 垂直于速度v与该特定方向组成的平面 改变q符号 F反向 大小 与q和v的积成正比 与v同该特定方向夹角 正旋值成正比 3 当 90 时 F取最大值Fmax 1 三种定义方式 小磁针在磁场中受力 载流线圈在磁场中受力矩 运动点电荷在磁场中受力 2 运动点电荷在磁场中受力 实验表明 运动点电荷q在磁场中 1 当v与某特定方向平行时 运动点电荷q不受力 其它情况均受力 2 运动点电荷q所受磁力F 方向 垂直于速度v与该特定方向组成的平面 改变q符号 F反向 大小 与q和v的积成正比 与v同该特定方向夹角 正旋值成正比 3 当 90 时 F取最大值Fmax 以运动的正试验电荷q0在磁场中受力定义B 3 磁感应强度B的定义 1 大小 B Fmax q0v 2 方向 F v B成右手螺旋 零磁力时的速度方向 3 运动电荷受力的数学表达 F qv B 4 单位 国际单位 SI T 特斯拉 1T N C m s 1N A m 1 电流元Idl激发的磁场dB 三 毕奥 萨伐尔定律 真空中电流与其产生磁场的关系 dB的大小 dB 0Idlsin 4 r2 dB的方向 满足Idl r dB成右手螺旋关系 dB 以运动的正试验电荷q0在磁场中受力定义B 3 磁感应强度B的定义 1 大小 B Fmax q0v 2 方向 F v B成右手螺旋 零磁力时的速度方向 3 运动电荷受力的数学表达 F qv B 4 单位 国际单位 SI T 特斯拉 1T N C m s 1N A m 1 电流元Idl激发的磁场dB 三 毕奥 萨伐尔定律 真空中电流与其产生磁场的关系 dB的大小 dB 0Idlsin 4 r2 dB的方向 满足Idl r dB成右手螺旋关系 dB B dB 0 4 是当B用国际单位制时而引进的常数 0为真空中磁导率 0 4 10 7N A 2 2 磁场叠加原理 独立性 叠加性 3 运动电荷激发的磁场 Idl激发磁场是导线dl中所有载流子 载流子数dN nSdl 激发磁场B的矢量和 dB BdN 当q 0 Idl与v同向 qnvdtS dt I dQ dt qnvS B dB 0 4 是当B用国际单位制时而引进的常数 0为真空中磁导率 0 4 10 7N A 2 2 磁场叠加原理 独立性 叠加性 3 运动电荷激发的磁场 Idl激发磁场是导线dl中所有载流子 载流子数dN nSdl 激发磁场B的矢量和 dB BdN 当q 0 Idl与v同向 qnvdtS dt I dQ dt qnvS 当q 0 Idl与v反向 I qnvS vdl dlv B 运动电荷激发磁场B为 B的大小 B 0qvsin 4 r2 B的方向 q 0 B与v r同向 q 0 B与v r反向 B 注意 电场E是纵向场 电荷元dq激发的电场dE与源点对场点引的矢径r平行 磁场B是横向场 电荷元dq或电流元Idl激发的磁场dB与源点对场点引的矢径r垂直 这点在计算时务必高度注意 当q 0 Idl与v反向 I qnvS vdl dlv B 运动电荷激发磁场B为 B的大小 B 0qvsin 4 r2 B的方向 q 0 B与v r同向 q 0 B与v r反向 B 注意 电场E是纵向场 电荷元dq激发的电场dE与源点对场点引的矢径r平行 磁场B是横向场 电荷元dq或电流元Idl激发的磁场dB与源点对场点引的矢径r垂直 这点在计算时务必高度注意 dB 用矢量叉乘解 例1 长直载流导线激发的磁场 解 取坐标系如图 取电流元Idl Idy dl dyj r ai yj ijk0dy0a y0 由图知 r a sin a sin y acot acot dy a sin2 d 所以 0Isin d 4 a 方向沿z轴负向 直线电流各 dB 用矢量叉乘解 例1 长直载流导线激发的磁场 解 取坐标系如图 取电流元Idl Idy dl dyj r ai yj ijk0dy0a y0 由图知 有 r a sin a sin y acot acot dy a sin2 d 所以 0Isin d 4 a 方向沿z轴负向 直线电流各 各电流元产生dB方向均同 B 0Isin d 4 a B 0I cos 1 cos 2 4 a 方向沿z轴负向 用分析法解 dB的大小 dB 0Idlsin 4 r2 0Isin d 4 a 方向沿z轴负向 以后步骤略 得出与叉乘法相同的结果 讨论 导线无线长 1 0 2 B 0I 2 a 方向与电流成右手螺旋 大拇指电流方向 四指磁场方向 有 各电流元产生dB方向均同 B 0Isin d 4 a B 0I cos 1 cos 2 4 a 方向沿z轴负向 用分析法解 dB的大小 dB 0Idlsin 4 r2 0Isin d 4 a 方向沿z轴负向 以后步骤略 得出与叉乘法相同的结果 讨论 导线无线长 1 0 2 B 0I 2 a 方向与电流成右手螺旋 大拇指电流方向 四指磁场方向 P在延长线 dl r dl r 0 B 0 a 0 此时电流不是线电流 公式不适用 例2 圆电流在轴线上产生的磁场 解 取电流元Idl 由于Idl r 有 0Idl 4 r2 各电流元Idl的 dB构成一圆锥面 故要把dB矢量进行分解 才能积分 dB dBcos 考虑对称性 有 dB 0 dB dBsin 0Idl 4 r2 sin 0Idl 4 r2 sin B dB 0I2 R 4 r2 R r 0IR2 2r3 0IR2 2 x2 R2 3 2 P在延长线 dl r dl r 0 B 0 a 0 此时电流不是线电流 公式不适用 例2 圆电流在轴线上产生的磁场 解 取电流元Idl 由于Idl r 有 0Idl 4 r2 各电流元Idl的 dB构成一圆锥面 故要把dB矢量进行分解 才能积分 dB dBcos 考虑对称性 有 dB 0 dB dBsin 0Idl 4 r2 sin 0Idl 4 r2 sin B dB 0I2 R 4 r2 R r 0IR2 2r3 0IR2 2 x2 R2 3 2 方向沿轴线 与I成右手螺旋 四 载流线圈的磁矩 当载流线圈极小时 就称磁偶极子 故磁矩也称磁偶极矩 与电偶极子的电矩对应 定义 或 的电流 面积和法向单位量 n与I满足右手螺旋关系 m ISn pm ISn 式中I S n分别为线圈 写成矢量式 B n 0I R2 2 x2 R2 3 2 0pm 2 x2 R2 3 2 x 0 圆心 B 0I 2R 讨论 x R B 0 4 2pm x3 对应于电偶极子在延长线上 E 2p 4 0 x3 激发的电场 说明微小载流线圈等效磁偶极子 方向沿轴线 与I成右手螺旋 四 载流线圈的磁矩 当载流线圈极小时 就称磁偶极子 故磁矩也称磁偶极矩 与电偶极子的电矩对应 定义 或 的电流 面积和法向单位量 n与I满足右手螺旋关系 m ISn pm ISn 式中I S n分别为线圈 写成矢量式 B n 0I R2 2 x2 R2 3 2 0pm 2 x2 R2 3 2 x 0 圆心 B 0I 2R 讨论 x R B 0 4 2pm x3 对应于电偶极子在延长线上 E 2p 4 0 x3 激发的电场 说明微小载流线圈等效磁偶极子 例3 求半径为R圆心角为 的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强度 解 取电流元Idl 由于Idl r 有 dB 0Idl 4 R2 方向垂直纸面向外 dB 各电流元产生dB方向均同 所以 B dB l 0Idl 4 R2 0Il 4 R2 0IR 4 R2 0I 4 R 0I 2R 2 圆弧电流在圆心激发磁场等于圆电流在圆心激发磁场的 2 倍 例4 如图 宽为2a的无限长导体薄片 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布 求中心轴线OO 上方距导体薄片为a处的磁感强度 例3 求半径为R圆心角为 的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强度 解 取电流元Idl 由于Idl r 有 dB 0Idl 4 R2 方向垂直纸面向外 dB 各电流元产生dB方向均同 所以 B dB l 0Idl 4 R2 0Il 4 R2 0IR 4 R2 0I 4 R 0I 2R 2 圆弧电流在圆心激发磁场等于圆电流在圆心激发磁场的 2 倍 例4 如图 宽为2a的无限长导体薄片 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布 求中心轴线OO 上方距导体薄片为a处的磁感强度 解 取宽为dx的无限长电流元 dI Idx 2a dB 0dI 2 r 0Idx 4 ar dBx dBcos dBy dBsin dBx 0Idx 4 ar a r 0Idx 4 r2 0Idx 4 x2 a2 dBy 0Ixdx 4 a x2 a2 Bx 0Idx 4 x2 a2 0I 4 1 a arctan x a 0I 8a By 0Ixdx 4 a x2 a2 0I 8 a ln x2 a2 0 B Bx 0I 8a dI Idx 2a dB 0dI 2 r 0Idx 4 ar dBx dBcos dBy dBsin dBx 0Idx 4 ar a r 0Idx 4 r2 0Idx 4 x2 a2 dBy 0Ixdx 4 a x2 a2 Bx 0Idx 4 x2 a2 0I 4 1 a arctan x a 0I 8a By 0Ixdx 4 a x2 a2 0I 8 a ln x2 a2 0 B Bx 0I 8a 解 取轴线为x轴 与电流成右手螺旋 场点P为原点 它在P点的磁感强度dB为 例5 载流密绕直螺线管轴线上的磁场 管长为l 半径为R 单位长度的匝数为n 电流为I 圈在P产生磁场方向沿x轴 大 每匝线 取微元螺线管dx 匝数为ndx 大小为B 0IR2 2 x2 R2 3 2 dB 0IR2 2 x2 R2 3 2 ndx 由图知 x Rcot dx Rd sin2 R2 x2 R2 sin2 cos 1 x1 x12 R2 1 2 解 取轴线为x轴 与电流成右手螺旋 场点P为原点 它在P点的磁感强度dB为 例5 载流密绕直螺线管轴线上的磁场 管长为l 半径为R 单位长度的匝数为n 电流为I 圈在P产生磁场方向沿x轴 大 每匝线 取微元螺线管dx 匝数为ndx 大小为B 0IR2 2 x2 R2 3 2 dB 0IR2 2 x2 R2 3 2 ndx 由图知 cos 2 x2 x22 R2 1 2 x Rcot dx Rd sin2 R2 x2 R2 sin2 cos 1 x1 x12 R2 1 2 所以 1 2 0nIsin d dB方向都沿x轴 故P点磁场 B dB 0nIsin d 2 0nI cos 2 cos 1 2 方向沿x轴 即与I成右手螺旋 P点在中部 B 0nI 讨论 P点在端点 当l R 有 2 0 1 2 或 2 1 B 0nI 2 有 2 0 1 B中部 2B端点 B dB 例6 半径为R的电荷面密度为 的均匀带电薄圆盘 以角速率 绕通过盘心垂直盘面的O轴转动 求盘中心处的磁感强度 解 用运动电荷激发磁场计算 取电荷元 dq rd drdB 0dqv 4 r2 dB均向外 故中心的磁场为 B dB d dr 方向向外 即B与 同向 用圆电流中心磁场公式计算 取微元细环带dq 2 rdr 圆盘每转时间T 2 等效圆电流dI dq T rdr 它在中心产生的磁场为dB 0dI 2r 0 rdr 2r 0 dr 2 中心和磁场为 方向垂直纸面向外 即B与旋转方向成右手螺旋 例7 如图 半径R的木球上绕有密集细导线 线圈平面彼此平行 且以单层覆盖半球面 设线圈总匝数 为N 通过线圈电流I 求球心O的磁感强度 解 取宽为dl细圆环电流 dI Jdl NI R 2 Rd 2IN d dB 0dIr2 2 r2 x2 3 2 r Rsin x Rcos dB 0NIsin2 d R 0NI 4R 0NIsin2 d R B dB 方向沿x轴 即I与成右手螺旋 2磁场的高斯定理 一 磁感线 1 定义 其上每点切线都与该点磁场方向重合的一条有指向的曲线 形象直观的描述磁场 2 磁场的图示法 方向 沿切线正向 大小 用疏密表示 密 E大 磁感线数密度d dS 疏 E小 E d dS dS B 即dS B 3 几种特殊磁场的磁感线 直线电流的磁感线 圆电流的磁感线 通电螺线管的磁力线 4 磁感线的性质 1 与电流套合的无头无尾的闭合曲线 2 连续 不相交 二 磁通量 1 定义 通过磁场中一给定曲 面的磁感线的总条数 2 表达式 3 讨论 1 磁通量 是标量 不是矢量 2 计算磁通量时要对面选取法线方向 闭合曲面的法线指向面外 求磁通量大小时一般让n与B的夹角小于 2 三 高斯定理 4 单位 1Wb 1T m2 韦伯 Wb 1 表达式 过闭合曲面的磁通量 由于磁感线是闭合曲线 因此 进入闭合曲面的磁感线必然穿出该闭合曲面 即通过任意闭合曲面的磁通量为零 E dS 0 2 磁场的一个性质 磁场是无源场 例1 在均匀磁场B 3i 2j SI 中 过yz平面内面积为S的磁通量 解 3i 2j Si 3S SI 例3 无限长载流导线放在真空中 电流为I 旁有一矩形平面 如图 求过该平面的磁通量 以下是几种错误解法 取面积微元dS bdr dB 0I 2 r dr d SdB ab 0I 2 r dr 解 取面积微元dS bdr 取面积微元dS bdr dB 0I 2 r dr BS 取面积微元dS bdr B 0I 2 d r d B dS 0I 2 d r bdr 以下是正确解法 B 0I 2 r d B dS 0I 2 r bdr 例3 相距d 40cm的两根平行长直 载流导线1 2放在真空中 电流为 I1 I2 I 20A 如图所示 求过图中所示面积的磁通量 r1 r3 r 10cm r2 20cm l 25cm 解 取如图的r坐标 取面积微元dS bdr B 0I 2 r 0I 2 d r d B dS 0I 2 r 0I 2 d r ldr 2 2 10 6Wb 34安培环路定理 讨论对磁场的环路积分 环流 以无限长直载流导线的磁场为例 一 安培环路定理的表述 B 0I 2 r 方向与电流成右手螺旋 磁感线为以电流为轴一组同心圆 1 闭合回路包围电流 1 回路是以电流为轴的圆 即与一磁感线重合 与电流成右手螺旋 环路上B大小等方向与环路同 B dl 0I 2 r dl 0I 2 r dl 0I 与电流成反右手螺旋 l上B大小等 方向与环路反 B dl 0I 2 r dlcos 0I 2 r dl 0I 2 回路在与垂直电流的平面内 形状任意 与电流成右手螺旋 B dl 0I 2 r dl 0I 2 r dlcos 0I 2 d B dl 0I 与电流成反右手螺旋 B dl 0I 2 r dl 0I 2 r dlcos 0I 2 d B dl 0I 2 闭合回路不包围电流 B dl B dl B dl 0 3 闭合回路包围多条直电流 B dl B1 B2 B3 dl B1 dl B2 dl B3 dl 当电流Ii被环路l所包围 且与l成右手螺旋时 我们称Ii 0 则积分 Bi dl 0Ii 当电流Ii被环路l所包围 且与l成反右手螺旋时 我们称Ii 0 则积分 Bi dl 0 Ii 故 0Ii 当电流Ii不被环路l所包围时 我们称Ii 0 则积分 Bi dl 0 0Ii B dl 0 Iint 4 推广 安培环路定理的表述 无限长直电流在无限远闭合 对其磁场的环路积分实际上对闭合电流磁场的环路积分 可以证明 对任意闭合电流I的磁场沿任意环路l的积分为 I与l套合 成右手螺旋 I 0 I与l套合 成左手螺旋 I 0 I与l不套合 即I在l外或进入l后又穿出l时 I 0 B dl 0I 所以 B dl 0 Iint 对磁场B的环路积分等于环路内所包围电流的代数和 5 讨论 I与l套合 成右手螺旋 I 0 I与l套合 成左手螺旋 I 0 I在l外 或进出l时 I 0 2 环路l上的B是环路内外所有电流激发的 3 对B沿环路l的积分只与环路内电流有关 4 如环路积分为零 只能说 Iint 0 不能说B 0 I 0 1 环路l中的电流必须闭合 6 磁场的又一性质 磁场B是非保守场 是涡旋场 二 安培环路定理的应用 安培环路定理揭示磁场是涡旋场的物理实质 适用于任何情况 这里是用其计算特殊情况下的磁场 例1 求半径为R电流为I的无限长均匀载流圆柱体激发的磁场 解 电流柱对称 故B柱对称 距轴r等处B大小等 方向沿切向 与电流成右手螺旋 过场点作与柱电流同轴圆环路 如图 有 B dl 0 Iint 2 rB 0 Iint 当r R Iint I R2 r2 当r R Ir2 R2 B 0Ir 2 R2 Iint I B 0I 2 r 方向垂直轴线 沿切向 并与电流成右手螺旋 用安培环路定理求磁场的步骤 1 分析电流与磁场的对称性 2 选取合适安培环路 其目 的能将写成Bl 3 用安培环路定理列方程 解方程 指出场的方向 对称性与对应安培环路 柱对称 无限长柱电流 载流密绕螺绕环 安培环路上的B 大小处处等 选dl B 大小处处不等 选dl B 面对称 无限大面电流 无限长密绕螺旋管 解 已知轴线上磁场 例2 求单位长度匝数为n 载流为I的密绕长直螺线管管内外的磁场 B0 0nI 一点可认为在管的中部 故距轴线等距处磁场相等 管内外的磁感线平行轴线 设B方向与轴线B方向相同 分别在管内及管内外作一边在轴上的矩形安培环路L1 L2 如图 有 1 管内B1 lB0 lB1 0 B dl 0 Iint B1 B0 0nI 2 管外B2 B dl 0 Iint lB0 lB2 0nI l B2 B0 0nI 0 即载流密绕长直螺线管管外B 0 管内为B 0nI均匀磁场 方向与I成右手螺旋 因是载流密绕长直螺线管 任 例3 求如图所示总匝数为N 电流为I的密绕圆螺绕环的磁场分布 解 因是载流密绕螺绕环 磁场轴对称 距轴线等r处磁场大小等 方向沿切线 作同轴圆形环路L 如图 B dl 0 Iint 2 rB 0 Iint 1 L环在管内 Iint NI 环管内磁场 B 0NI 2 r 2 L环在管内 Iint 0 环管外磁场 B 0 载流密绕螺绕环环管外B 0 环管内磁场为B 0NI 2 r 方向与I成右手螺旋 磁感线在环管内为一组同轴的圆 当环管截面尺寸远小于环管轴线圆半径R时 r R 有 B 0NI 2 R 0nI 例3 如图 一根半径为R的无限长载流直导体 其电流I沿轴向流过 并均匀分布在横截面上 导体内有一半径为R 的圆柱形空腔 其轴与直导体轴平行 两轴相距为d 试求空腔中任意一点的磁感强度 解 此电流可认为由半径R的无限长圆柱电流I1和同密度反方向半径为R 的无限长圆柱电流I2组成 J I R2 R 2 I1 J R2 I2 J R 2 它们在空腔内产生的磁感强度分别为 B1 0I1r1 2 R12 0r1J 2 B2 0I2r2 2 R22 0r2J 2 方向如图 Bx B2sin 2 B1sin 1 0J 2 r2sin 2 r1sin 1 0 By B2cos 2 B1cos 1 0J 2 r2cos 2 r1cos 1 0J 2 d 所以 B By 0Id 2 R2 R 2 方向沿y轴正向 二 带电粒子在均匀磁场中的运动 磁力 带电粒子在磁场中的运功 一 运动电荷受力 1 电场力 与速度无关的力 Fe qE 只与带电粒子的电荷有关 纵使v 0也存在 2 磁场力 与速度有关的力 Fm qv B 不仅与带电粒子的电荷有关 还与速度有关 3洛伦兹力 广义 F qE qv B 狭义洛伦兹力 Fm qv B 大小 F qvBsin 方向 先定v B方向 再定F方向 q 0 F与v B同向 q 0 F与v B反向 F 因F v 故洛伦兹力只改变v的方向 不改变v的大小 带电粒子不受力 作匀速直线运动 1 速度v与磁场B平行 0或 F qvBsin 0 2 速度v与磁场B垂直 2 F qvBsin 2 qvB 带电粒子作匀速率圆周运动 T 2 R v 2 m qB 1 回转半径 F qvB mv2 R R mv qB 2 回旋周期 回旋周期与粒子的运动速度无关 3 v与B不平行不垂直 0 2 将速度v分解为与磁场B垂直 的分量v v vsin 和平行分量v v vcos 因v 粒子作匀速率圆周运动 因v 粒子作匀速直线运动 故带电粒子匀速螺旋运动 1 回转半径 3 螺距 h v T R mv qB mvsin qB 2 回旋周期 T 2 m qB 2 mvcos qB 3 磁聚焦 叠加上热运动 纵向速度基本相同 横向速度不同 粒子束平行进入磁场后 散开 经一螺距后汇聚 一粒子束经加速后 纵向速度 三 带电粒子在非均匀磁场中的运动 粒子约束其间 3 磁约束 磁瓶 纺锤状磁场 两端B强 B弱 B大 h小 说明向B强方向分速度变小 粒子受力指向B弱处 1 粒子受力指向B弱处 带电粒子受磁场力只改变v方向 不改变v大小 故带电粒子一般作变螺距的螺旋运动 2 作变螺距的螺旋运动 中间 四 带电粒子在电磁场空间中的运动 1 速度选择器 1 装置 B E v E v B 使得v B与E反向 2 原理 F q E v B 0 因v B与E反向 如 Fe qE Fm qv B 则通过极板空间粒子速率为 v E B 当v E B时粒子偏转 打到电极板上 不能通过极板空间 2 回旋加速器 1 装置 引出加速器 使粒子旋转加速 电磁铁 产生强 大磁场 D形真空盒 接 高频交变电压 带电粒子源 产生 带电粒子 偏转电极 把粒子 2 原理 磁场使粒子拐弯 R mv qB v q m B q m 带电粒子比荷 半周期 T 2 m qB 电场给粒子加速 电场变化的频率 1 T qB 2 m 引出加速器粒子的速率和动能 v RB q m Ek mv2 2 R2B2q2 2m R 偏转电极处对应粒子旋转半径 随着粒子运动速度的变大 粒子质量变大 周期变大 使粒子旋转周期与电场变化频率不匹配 达不到加速的效果 采用变频频率 3 相对论效应的影响 因粒子旋转周期与质量有关 m m0 1 v2 c2 1 2 1 T qB 2 m qB 1 v2 c2 1 2 2 m0 的同步回旋加速器可使粒子的动能达到几千亿电子伏特 例1 P2227 9 一台用来加速氘核的回旋加速器的D形盒直径为75cm两磁极可产生1 5T的均匀磁场 氘核的质量为3 34 10 27kg 电量是质子电量 求 1 交流电源的频率 2 出射氘核动能为多少MeV qB 2 m 解 1 eB 2 m 1 144 107Hz 2 Ek R2B2e2 2m 7 58MeV 五 霍耳效应 1 霍耳现象 薄片通有电流时 在两边出现电势差的现象称霍耳效应 垂直磁场的导体 2 原理 载流子受洛伦兹力横向漂移 以金属为例 Fm ev B v B方向向内 Fm evB 方向向外 霍耳电场EH 方向向外 电场力Fe 方向向内 电场力Fe与磁场力Fm平衡 Fe Fm eEH evB EH vB UH hEH hvB 而I nevS nevhb 有v I nehb UH hIB nehb IB neb 写成一般形式 UH IB nqb 3 霍耳系数 2 霍耳元件的霍耳灵敏度 UH 1 nq IB b 1 霍耳系数 R 1 nq 取决于导电材料的固有性质 R IB b UH 1 nqb IB KH 1 nqb 取决于霍耳元件本身的导电性质nq与几何尺寸b KHIB UH I B nqb 具有电阻量纲 3 霍耳电阻 RH B nqb UH RHI 4 讨论载流子受磁力的方向 在电流方向 磁场方向不变的条件下 正负载流子受磁场力的方向相同 这才使得霍耳电 势差的极性不同 这是用于判断载流子正负的理论依据 判断载流子正负 测电流 测磁场 测载流子浓度等 5 用途 例2 P2237 11 一铜片厚d 1 0mm 放在B 1 5T的磁场中 磁场方向垂直铜片 已知铜片每cm3有8 4 1022自由电子 每个电子电荷 e 1 6 10 19C 当铜片有I 200A的电流时 1 求铜片两侧电势差U 2 铜片宽度b对U有无影响 为什么 解 1 UH IB nqd 8 4 1028 1 6 10 19 1 10 3 200 1 5 2 23 10 5V 2 铜片宽度b对U无影响 因UH bEH bvB虽与b成正比 然而v I nehb 却与b成反比 从而相互抵消的缘故 载流导线在磁场中受力 一 安培定律 1 电流元在磁场中受力 dF dN nSdl 当q 0 I nqSv v与Idl同向 dF nSdlqv B nqSvdl B dF Idl B 当q 0 I nqSv v与Idl反向 dF nSdlqv B nqSvdl B dF Idl B 是载流子受洛仑兹力的集体体现 二 均匀磁场中的安培力 1 直线电流受力 大小 dF Bdlsin 方向 dF Idl B满 足右手螺旋 2 载流导线在磁场中受力 F Idl B Il B 大小 F Blsin 方向 F Il B满足 右手螺旋 2 曲线电流受力 F Idl B F I dl B 根据矢量加法多边形法则 有 dl l F I dl B Il B 曲线电流在均匀磁场中受力等于对应于端点间直线电流的受力 3 闭合电流受力 F Idl B F I dl B 根据矢量加法多 dl 0 边形法则 有 F I dl B 0 闭合电流在均匀磁场受合力为零 4 闭合电流受磁力矩 1 圆电流受磁力矩 取坐标使圆电流在zx平面内 磁矩Pm沿y轴 B在xy平面内 与y轴 即与Pm 的夹角为 将B分解为B 垂直于Pm B 平行 于Pm B Bsin B Bcos 讨论B B 对圆电流的力矩 B 对电流元Idl的力沿径向 对圆电流的力在同一面内 抵消 不产生力矩 B 对任意两对称电流的力dF dF 不在一平面内 产生力偶矩 dF对z轴力矩 dM r dF dF Idl B dF IB Rd sin dM Rsin dF IB R2sin2 d M IB R2sin2 d IB R2 磁力矩使得左半圆电流向里运动 右半圆电流向外运动 即磁力矩的方向向下 M Pm B成右手螺旋 所以 M I R2Bsin PmBsin M Pm B 2 矩形电流受磁力矩 B对bc da的力 对ab 分别为F2 F4在 一直线上 不产 生力矩 cd的力分别为 F1 F3不在一 直线上 产生力矩 F1 F3 Il1B M M1 M3 Il1l2Bsin M1 M3 Il1B l2 2 sin Il1l2Bsin 2 M1 M3的方向垂直纸面向外 PmBsin M的方向垂直纸面向外 M Pm B成右手螺旋 所以 M Pm B 3 任意闭合电流受磁力矩 任意闭合电流在均匀磁场B中所受磁力矩M等于线圈的磁矩Pm与磁感应强度B的矢量积 即 M Pm B 二 安培力的功 1 载流导线在均匀磁场中的平行导轨上运动安培力的功 F Idl B Il B F IBl A F dl IBl x IBl x 取导轨回路与电流方向相同 则回路所围面的法线向下 过回路的磁通为 BS Blx 2 1 Bl x2 x1 Bl x 故 A IBl x I I 2 1 2 载流线圈在均匀磁场中转动安培力的功 M 载流线圈的安培力矩使 Pm与B夹角 变小 即M与d 反向 A M d Md cos PmBsin d BISsin d Id BScos Id 安培力的的功等于回路中的电流乘以通过回路磁通量的增量 I I 2 1 3 推广 安培力的功 Am I I 2 1 此结论适用于任何磁场及任何电流 稳恒 非稳恒 三 平行电流间的安培力 电流单位 安培 的定义 1 平行电流间的安培力 I1在I2处产生的磁场B方向向里 大小为 B 0I1 2 a I2dl受的磁场力dF方向向左 即I1 I2同向为引力 I1 I2反向为斥力 大小为 dF BI2dl 0I1I2dl 2 a 单位长度导线受的安培力 dF dl 0I1I2 2 a 2 电流单位 安培 的定义 真空中两无限长直等电流的平行导线相距1m 其电流使得每导线单位长度受的安培力为2 10 7N时 导线中的电流为1A 安培 dF dl 0I1I2 2 a 0I2 2 a 0 2 a dF dl I2 2 1 2 10 7 12 4 10 7N A 2 例1 如图 无限长直电流I1与半径为R的圆电流I2在同一平面内 直电流与圆电流圆心相距d 且R d 求作用在圆电流上的磁场力 解 取如图所示的坐标和电流元 dF I2dlBsin90 dFx dFcos dFy dFsin Fx dFx d 0I1I2 1 d d2 R2 1 2 Fy dFy 0I1I2 2 ln d Rcos 0 故F i 0I1I2 1 d d2 R2 1 2 例2 如图 金属杆OA可绕端点O在半径为R圆形轨道上转动 均匀磁场B垂直轨道平面 今使金属杆的电流为I 求作用在金属杆上的磁力矩 解 取如图所示电流元 dF Idl B dF IBdlsin 2 IBdr dM r dF dM rdFsin 2 IBrdr 方向向外 其合磁力矩大小为 M IBrdr IBR2 2 方向向外 即磁力矩能使金属杆作逆时针转动 例3 边长a 10cm的正方形铜线圈 导线截面积S 2 00mm2 铜密度 8 90g cm3 放在竖直向上的均匀磁场B中 B 9 40 10 3T 线圈电流I 10A 线圈在重力场中 求 1 今使线圈平面保持竖直 则线圈所受的磁力矩 2 设线圈能以一水平边为轴自由摆动 当线圈平衡时 2 平衡时磁力矩 线圈平面与竖直面的夹角 解 1 Pm IS Ia2 方向垂直线圈平面 若线圈平面铅直 即Pm B 有 Mm Pm BMm PmBsin 2 Ia2B 9 4 10 4m N 2 Sa gasin 2 Sa2gsin Ia2Bcos 2 Sa2gsin Mm PmBsin 2 Ia2Bcos 重力矩MG mg a 2 sin mgasin mg a 2 sin tan IB 2 Sg 0 2694 15 磁场中的磁介质 一 磁场与物质的三种作用 1 抗磁效应 介质磁化使原磁场减弱 对应介质抗磁质 2 顺磁效应 介质磁化使原磁场加强 对应介质顺磁质 3 铁磁效应 介质磁化使原磁场大大加强 对应介质铁磁质 弱磁效应 强磁效应 二 弱磁质的磁化 1 分子磁矩 电子轨道运动 占主导成分 与自旋运动产生磁矩的矢量和 核运动产生磁矩忽略 没磁化时为分子固有磁矩pm 固有磁矩pm 0 抗磁质分子 固有磁矩pm 0 顺磁质分子 2 抗磁质的磁化 抗磁效应 无磁场时 因pm 0 不呈磁性 加磁场时 电子 轨道磁矩 受磁 力矩 M pm B 引起进动 产生 产生附加磁矩 减弱原磁场 3 顺磁质的磁化 顺磁效应 无磁场时 热运动使分子固有磁矩pm排列杂乱 不呈磁性 加磁场时 力 有磁矩pm沿磁场有 分子固有磁矩pm 图沿磁场取向 使固 正投影 加强原磁场 抗磁效应存在于所有介质中 而顺磁效应只存在于顺磁介质中 4 结论 产生磁化电流 介质磁化后 分 子磁矩或排列 整齐 或产生附加磁矩 但效果都是分子圆 于是宏观上出现 电流产生的 磁化电流 也称束缚电流 对于各向同性均匀介质 磁化电流只出出现在表面 影响原磁场 磁化现象在外磁场作用下 介质中出现磁化电流 从而影响外磁场的现象 三 磁化强度矢量M 描述磁化强弱的物理量 顺磁质分子磁矩pm排列的有序 程度 抗磁质分子附加磁矩 pm 的大小反映介质磁化程度 1 定义 M 式中pmi是分子磁矩或附加磁矩 子磁矩的矢量和为 pmi 取微小体积元 V 宏观上无限 小微观上无限大 V所中有分 单位 A m 1 与面电流的线密度同单位 2 磁化电流 磁化强度的关系 1 逐点关系 M取长dl 底面积 S微小正圆柱体 可认为介质均匀磁化 在磁化介质内顺 侧面磁化电流j dl是圆电流 有 pmi dI S j dl S j V M pmi V j 考虑方向 设有磁化电流的侧面法向为n 有 j M n pmi V 某处磁化面电流线密度j 等于该处磁化强度M与面法线单位矢量n的矢量积 2 整体关系 某闭合回路所包 围的磁化电流 便于理解 以无 线长螺旋管内充满各向同性 均匀介质为例 螺旋管通电流 后 介质磁化 取矩形闭合回 回路 它包围的磁化电流为 I int j l 当j 与回路成右手螺旋时 为正 反之为负 四 介质中安培环路定理 1 介质中的磁场 外场B0 磁化电流的场B 合磁场B B0 B 2 介质中安培环路定理 B dl 0 I int 0 I0 I 0 I0 M d