平衡位置附近的小振动.pdf

8 4 多自由度系统多自由度系统 在稳定平衡位置附近的小振动在稳定平衡位置附近的小振动 介绍多自由度系统线性振动问题的处理方法 各自由度的振动相互耦合 比较复杂 但由 于方程是线性的 最终能找到解耦的方法 数学中 求本征值和本征矢量的方法 实际振动系统不一定是线性的 但如果振动 是微小的 可化为线性方程 下面 我们通过一个实例 学习解法及一些 重要概念和结论 设质量均为m的两个质点 只沿水平方向运 动 被 3 个轻弹簧连接 两侧弹簧的一端均被固定 中间弹簧的劲度系数为 1 k 两旁弹簧的劲度系数 为 2 k 两质点静止时各弹簧无伸长 试求两质点 在平衡位置附近的小振动 自由度为 2 选取 1 x 和 2 x 为系统的广义坐标 它们分别表示两质点相对自身平衡位置的位移 系统的动能为 2 2 2 1 2 1 2 1 xmxmT 广义速度常系数二次齐次式 可有一常数项 系统的势能为 2 22 2 121 2 12 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkV 广义坐标常系数二次齐次式 可有一常数项 系统的拉格朗日函数为 2 22 2 121 2 12 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkxmxmVTL 将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动方程 0 0 112212 211211 xkxkkxm xkxkkxm 常系数 二阶 线性 齐次微分方程组 1 x 的变化与 2 x 的变化相互耦合 设方程组解的形 式为 cos cos 22 11 tAx tAx 代入得 0 0 221 2 11 21121 2 AkkmAk AkAkkm 要使 21 A A 有非零解 方程组系数行列式必为零 0 21 2 1 121 2 kkmk kkkm 此方程称为特征方程 展开得 0 2 1 2 21 2 kkkm 这是关于 2 的二次方程 说明振动频率不能取任 意值 它们只能取以下数值 本征值 m k2 1 m kk 21 2 2 两个频率是系统固有的 称为系统的简正频率 从下面我们将看到 对应一种简正频率 系 统存在一种简单的 基本的振动方式 对应不同 的简正频率 系统有不同的振动方式 这种与简 正频率相对应的基本振动方式称为简正模式 将 mk 21 代入方程 0 0 221 2 11 21121 2 AkkmAk AkAkkm 将 21 A A 写成 2111 A A 表示这组振幅与 1 相应 0 0 211111 211111 AkAk AkAk 两个方程有一个是不独立的 不能完全确定 2111 A A 只能确定它们的比值 2111 AA 或 1 21 11 A A 所以与 1 对应的振动方程为 cos cos cos 111111112121 111111 tAxtAx tAx 其中1 是与 1 相应的振动的初相 二质点振动位 相相等 运动步调完全一致 称为对称模式 它 的简正模式如图 a 所示 2111 AA 组成一个二维矢量1 A 称为与本征值 1 对应的本征矢量 它确定简正模式 将 mkk 2 212 代入方程 0 0 221 2 11 21121 2 AkkmAk AkAkkm 相应的振幅用 2212 A A 表示 得 0 0 221121 221121 AkAk AkAk 2212 AA 或 2211 AA 组成与 2 对应的本征矢量 2 A 相应的振 动方程为 a 对称模式 b 反对称模式 1 22 12 A A cos cos 221222 221212 tAx tAx 可见二质点的振动位相相反 振幅相同 称为反 对称模式 它的简正模式如图 b 所示 方程组的通解是它们的特解的线性组合 即 cos cos cos cos 221211112 221211111 tAtAx tAtAx 式中4个待定常数 211211 AA 由初始条件确定 设0 t时 0 0 0 21201 xxxxx 可求得 2 0 1211 x AA 0 21 代入得到方程的解为 ttxtt x x ttxtt x x 2 sin 2 sin cos cos 2 2 cos 2 cos cos cos 2 2112 021 0 2 2121 021 0 1 本问题除了选择 21 x x 为广义坐标外 还可选 择其他变量为广义坐标 其中 有这样的特殊变 量 它可以使方程的解成为仅包含一个简振频率 的简谐振动 这样的广义坐标称为简正坐标 如何寻找简正坐标呢 我们从解 cos cos 2 cos cos 2 21 0 2 21 0 1 tt x x tt x x 中得到启发 2 cos 10 tx 和 2 cos 20 tx 就是两个 简正坐标 设 212 211 x x 这是一种坐标变换关系 通过反解就可求得简正 坐标 2 2 21 2 21 1 xx xx 代入 2 2 2 1 2 1 2 1 xmxmT 2 22 2 121 2 12 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkV 得 2 2 2 1 mT 2 221 2 12 2 kkkV 可见采用简正坐标后 动能 势能的表达式分别 成为广义速度和广义坐标的平方和形式 系统的拉格朗日函数为 2 221 2 12 2 2 2 1 2 kkkmVTL 代入拉格朗日方程 得运动方程为 0 2 0 221 2 2 12 2 1 kkm km 可见每个方程只包含一个变量 方程组已解耦 其解分别为简谐振动 cos cos 2222 1111 tB tB 其中 mkkmk 2 2121 它们就是系统 的简正频率 在上述初始条件下 可求出积分常 数 2121 BB 得 t x t x 2 0 2 1 0 1 cos 2 cos 2 小振动的一般理论 周衍柏 理论力学教程 第二版