线性代数5-2.ppt

第五章相似矩阵及二次型 1向量的内积 长度及正交性 2方阵的特征值与特征向量 3相似矩阵 4对称矩阵的对角化 5二次型及其标准形 6用配方法化二次型为标准形 7正定二次型 相似变换与初等变换是什么关系 若 则称A与B是相似矩阵 对A进行运算 P 1AP 称为对A进行相似变换 P称为相似变换矩阵 性质却很容易把握 两同阶方阵具有何种关系时 能有许多相同的性质 其中P Q均可逆 初等变换 再有P Q互逆时即相似变换 则有 一 相似矩阵 问题 1 方阵A的阶数较高时 分析其性质会带来较繁琐的计算 但对角阵的 3相似矩阵 定义对n阶方阵A B 若存在n阶可逆阵P使得 怎样的方阵A具有上述前提的形式 如何由A构造出可逆阵P和对角阵 2 第二章中曾有结论 1 A与B有相同的行列式 5 A与B有相同的特征值 定理3若n阶方阵A与B相似 即存在可逆阵P使得 2 A与B有相同的可逆性 且当它们可逆时 A 1与B 1也相似 3 A与B有相同的秩 则 4 A与B有相同的特征多项式 4 的证明 证毕 注意 性质 1 5 的逆命题均不成立 请自行验证如下反例 A的特征多项式的一个有趣性质 定理3的推论若n阶方阵A与对角阵 相似 则 A的n个特征值就是 设 证毕 是A的特征多项式 则必有 证明 仅就A与对角阵相似时的情形给出证明 事实上 若 则由上述推论知 A的n个特征值即 故 例5 2 2中的方阵A不能对角化 例5 2 3中的A能对角化 定理4n阶方阵A可以对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 证明 1 设A可以对角化 即存在可逆阵P使 1 方阵的对角化 对于n阶方阵A 寻求可逆变换矩阵P 使得P 1AP 2 方阵A可以对角化的条件 故 于是 即 二 方阵A的对角化 令 因为P可逆 故A的n个特征向量 线性无关 则 即A可以对角化 证毕 2 若A有n个线性无关的特征向量 因为 线性无关 故P可逆 从而 可以对角化 方程 的基础解系中含有3 2 1个向量 1个线性无关的特征向量 对于特征值1 例5 3 1问x取何值时 矩阵 解 由 对于特征值 1 得特征值 A可以对角化的充要条件是 的基础解系中含2个向量 即 定理4的推论 若n阶方阵A的n个特征值互不相等 则A可以对角化 充分条件 否 是 否 是 一般方阵A相似对角化的判定和求解程序 求A的特征值 即求解特征方程 特征值各不相同吗 A的每个s重特征值是否都有s个线性无关的特征向量 A不可以相似对角化 A可以相似对角化 求出A的n个线性无关的特征向量 令 例5 3 2常染色体的隐性病遗传控制模型 个基因而形成自己的基因对 故父体 母体的基因对和子代的可能基因对 如果基因 控制某种遗传疾病 其中 之间的转移概率如下表 和 则根据这种疾病对应的基因型可将人口分为三类 正常人 为显性基因 为隐性基因 隐性患者 在常染色体遗传中 由于后代是分别从父体和母体中等可能的得到一 和显性患者 设这三类人在第n代人口中所占的比例分别为 合的情况下 当前社会的正常人 隐性患者和显性患者分别占总人口的85 在控制结 显性患者不允许生育 隐性患者必须与正常人结合 解 设当前这三类人所占人口比例的初始分布为 第n代的分 布为 令 和15 0 考虑以下控制结合方式对后代该遗传病基因型分布的影响 则有 先求出B的3个特征值 再求得对应的3个线性无关的特征向量 特征值均互异 故A可以对角化 令 则 故 从而 这说明 该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者 隐性患者均被淘汰 事实上 本题要求 特征值和特征向量后 也可以不将B对角化 这说明 该控制结合方式最终将使该疾病的显性患者 隐性患者均被淘汰 而非方阵B的n 1次幂本身 故求出B的 进一步 还可利用数学软件算出 经过多少代 可使该病基因基本消失 求A的特征值 化时 会给与该方阵相关的运算带来很大方便 本节研究实对称矩阵 一 实对称矩阵一定可以相似对角化 定理5实对称矩阵的特征值必为实数 从而可以取到实特征向量 例5 4 1设 证略 事实上 一般实矩阵A的可能有复特征值 如下例 通过上节例题看到 不是所有方阵都可以对角化 当一个方阵可以对角 解 令 4对称矩阵的对角化 得A的特征值 是实对称矩阵A的两个特征值 定理6设 是对应的特征向量 若 证明 为证 注意到 于是 于是有 证毕 则必有 正交 移项得 又因为 即实对称矩阵A的相异特征值对应的特征向量 正交 注 一般方阵A的相异特征值对应的特征向量一定线性无关 定理2 实对称矩阵A的相异特征值对应的特征向量不但线性无关而且正交 定理6 定理7设A是n阶实对称矩阵 则必有正交阵P 使 其 中 以是A的n个特征值为对角元的对角阵 证略 该定理说明 实对称矩阵不但一定可以对角化 而且可以通过一个 正交的相似变换矩阵实现对角化 推论设A是n阶实对称矩阵 是A的k重特征值 则有 相似 即有可逆阵P使 证毕 从而对应于特征值 恰有k个线性无关的特征向量 证明 由定理7知 A与对角阵 于是 即A E与 E相似 故 而 的对角元中恰有n k个不为零 的解集的秩 对应的线性无关特征向量的个数 为 注意 分组正交化和单位化 1 求出A的全部互不相等的特征值 它们正交化 单位化 得到 2 对每个 二 实对称矩阵相似对角化的步骤 设它们的重数依次为 重特征值 对 以A的n个特征值为对角元构造对角阵 依照与方阵A的n个特征值相对应的次序 将n个两两正交的单位特征向 求出对应的 个线性无关的特征向量 再把 个两两正交的单位特征向量 共得到n个两两正交的单位特征向量 3 构造对角阵 和正交阵P 量排成一个矩阵的各列 即得到正交矩阵P 于是 可以根据此式是否成立验证题解的正确与否 例5 4 2设 求一个正交阵P 使 解 1 令 2 当 得特征值 时 解方程 同解方程组为 基础解系可取为 单位化得对应的单位特征向量 为对角阵 若由此凑出正交的基础解系 则只需再单位化 解 2 续当 时 解方程 同解方程组为 基础解系取为 将它们正交化 令 再单位化 得 3 令 则 先取x2 x3为相等的非零值 得x1 0 于是可构造出与前述解法中不同的正交阵 再将它们单位化得 注 观察同解方程组 再取x2 x3为相反的非零值 由同解方程组确定x1 即得正交的基础解系 如 则 所求的正交阵不唯一 只需验证是否成立 本次课基本