选修2-2第二章证明方法.ppt

选修2 2第二章证明方法 基础梳理 1 直接证明 1 综合法定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出 的证明方法 所要证明的结论 成立 2 分析法定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定理 定义 公理等 为止的证明方法 判定一个 明显成立的条件 质疑探究1 综合法和分析法有什么区别与联系 提示 1 分析法的特点是 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻求它成立的充分条件 2 综合法的特点是 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它成立的必要条件 3 分析法易于探索解题思路 综合法易于过程表述 在应用中视具体情况择优选之 2 间接证明 反证法一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 不成立 假设错误 原命题成立 3 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 n k 1 质疑探究2 数学归纳法两个步骤有什么关系 提示 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 1 第一步中 验算n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 2 第二步中 证明n k 1时命题成立的过程中 一定要用到归纳假设 掌握 一凑假设 二凑结论 的技巧 答案 C 解析 因为a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 故选D 答案 D 3 2014东营模拟 用反证法证明命题 若a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 A a b都能被5整除B a b都不能被5整除C a b不都能被5整除D a能被5整除解析 至少有一个 的反面应是 一个都没有 故应选B 答案 B 4 2014吉林长春一模 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时左边表达式是 从k k 1需增添的项是 解析 因为用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时2n 1 3 所以左边表达式是1 2 3 从k k 1需增添的项的是4k 5或 2k 2 2k 3 答案 1 2 34k 5 或 2k 2 2k 3 考点突破 例1 2014南昌模拟 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 试判断g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予证明 如果不是 请说明理由 思维导引 对三个条件逐一验证 若都满足 则g x 是理想函数 否则不是理想函数 综合法 解 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 证明如下 因为x 0 1 所以2x 1 2x 1 0 即对任意x 0 1 总有g x 0 满足条件 g 1 21 1 2 1 1 满足条件 当x1 0 x2 0 x1 x2 1时 g x1 x2 2x1 x2 1 g x1 g x2 2x1 1 2x2 1 于是g x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 2x2 2x1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 由于x1 0 x2 0 所以2x1 1 0 2x2 1 0 于是g x1 x2 g x1 g x2 0 因此g x1 x2 g x1 g x2 满足条件 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 1 用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 2 在用综合法证明时 注意逻辑表达清晰 因果关系明确 分析法 1 分析法的证明思路 先从结论入手 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论P 再说明所要证明的数学问题成立 反证法 数学归纳法 1 利用数学归纳法可以证明与n有关的命题 也可以解决与正整数n有关的探索性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 证明的关键是 假设n k k N k n0 时命题成立 由归纳假设推证n k 1时命题成立 2 证明n k 1