素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0007.doc

2000年第 7期数学通报 数学问题解答 如图 ,在BC上截取 BG = CD ,过B作BH BC交AG延长线于 H , AH交BF于 K.由BD = AC ,得CG = AC ,又AB是直径 ,故 A CG为等腰直角三角形 .故 CA G = 1= 45又因 BH BC ,故 1 2= 3,于是 BG .= = BH = CD.因 1= 4+ 5= 45, B ED = 6+ 7= 45, 4= 6,故 5= 7.易证 RtA CD RtDBH ,得 AD = DH ,从而 7= 8.故 5= 8,于是 B、K、D、H四点共圆 ,连结DK ,则 D KH = DBH =.90易证 ADK HDK ,得AK = HK.又证 AKF H KB ,得AF = BH .故AF = CD. 1259已知 : ABC边 a, b上的旁切圆半径为 ra、 rb, c边上的高、角平分线分别为 hc、wc.求证 :ra + rb +2hc 4wc 证明设 ABC的面积为 ,半周边为 s,由熟知公式 ra = , rb = , hc =2, 4 (s s -as -bc -a)(s -b)= c 2-(a -b)2有: 4 ra + rb +2hc =+ s -as -bc 2000年第 7期数学通报 c (s -a + s -b)+ 4(s -a)(s -b)= c (s -a)(s -b) 2 b)22c -(a = c (s -a)(s -b) abs (s -c)由角平分线公式 wc =2 a + b有 8 abs (s -a)(s -b)(s -c)4wc = (a + b) (s -a)(s -b) 8 = ab (a + b) (s -a)(s -b) 由 、两式欲证 式 ,只需证 : 2 b)22c -(a c (s -a)(s -b) 8 ab (s -a)(s -b)(a + b) b)24(a + 4c -4c 2 b)2+ 16abc2(a -b)2 0 4c 4 (a + b)2-4ab + (a -b)2 -4c 2(a + b)2+ (a + b) 2(a -b)2 + 16abc2 0 (a -b) 24c 4-4c 2(a -b)2+ 16abc2 +(a + b) 2(a -b) 2 0 (a -b) 24c 4-4c 2(a -b)2 +(a + b) 2(a -b) 2 0 (a -b) 22c 2-(a -b)22+ (a + b)2 (a -b)2-(a -b) 4 0 (a -b) 22c 2-(a -b) 22 +4ab (a -b) 2 0上式显然成立 .从而 式得证 . 1260设二次曲线 #的内接六边形的三组对边都不平行 ,则三组对边所在直线的交点共线 .证明设 #的方程为 F (x , y )= 0, #的内接六边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 6两边 A iA i+1所在直线的方程为 fi (x , y )= 0 (i = 1, 2, , 6),对角线 A 1A 4的方程为 g (x , y )= 0,则过 A 1、A 2、A 3、A 4四点的二次曲线系方程为 : g (x , y ) f 2(x , y )+ f 1(x , 2000年 7月号问题 (来稿请注明出处 编者 ) 1261 O是单位圆 ,正方形 A B CD的一边 AB是 O的弦 ,试确定 OD的最大值和最小值 (安徽省怀宁江镇中学黄全福供邮编246142) 1262 ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、 c,若A + C =2B ,试求最大的自然数 n,使得 an + cn 2bn对任何一个这样的三角形都成立 . (湖南湘潭电机厂中学杨晓晖供邮编411101) 1263已知 A、B、C , A 、B 、C 分别为 ABC和 A C -)+B 的内角 ,求证 : cos (A sinA co s (B 3 -sinB ) + cos (c -sinC ) 3co s ( -)32 (江苏省江都市大桥高级中学党庆寿供邮编225211) 1264设 N是全体正整数的集合 ,试求出所有函f 数 (ff (: nN ) = Nn 2,. 使得对每个 n N ,都有 f (n) (广东省广州师范学院数学系吴伟朝供邮编 510405) 1265p为素