概率论 随机变量函数的分布.ppt

1 3 3随机变量的函数及其分布 单个随机变量函数的分布 随机向量函数的分布 2 1 设随机变量X的分布已知 随机变量Y g X 如何由X的分布求出Y的分布 2 设二维随机变量X Y的联合分布已知 Z g X Y 如何由X Y的联合分布求Z的分布 这类问题无论在实践中还是在理论上都是非常重要的 单个随机变量函数的分布 随机向量函数的分布 3 一 单个随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 5 一 离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的概率分布为 X取某值与Y取其对应值是等价的 6 注 7 解 1 由已知有 例1 设随机变量X的概率分布为 2 1 0 1 2 3 0 10 0 20 0 25 0 20 0 15 0 10 求 随机变量Y1 2X以及Y2 X2的概率分布 X P xi 8 2 显然有 2 1 0 1 2 3 0 10 0 20 0 25 0 20 0 15 0 10 X P xi 9 解 由于 所以 随机变量函数只有三个取值 1 0 1 10 11 二 连续型随机变量函数的分布 问题 分布函数法 1 按定义写出Y的分布函数 2 将Y g X 代入上式中的Y 得 4 利用X的密度函数 表达 5 上式两端对y求导即得Y的概率密度函数 如何由X的密度函数确定Y的密度函数 3 解不等式得 12 解 综上得Y的概率密度 13 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用定理求出随机变量函数的概率密度 14 15 解 于是由定理的第一种情况有 16 故 注意到0 x 4时 此时 Y 2X 8 17 18 解法一 例 设随机变量X在区间服从均匀分布 即概率密度为 19 上式两边对y求导数 即得Y的概率密度 由此得 20 三 小结 利用分布函数法 1 离散型随机变量函数的分布 2 连续型随机变量函数的分布 利用定理的结论 21 22 23 二 随机向量函数的分布 和的分布商的分布积的分布最大值与最小值的分布小结 24 当二维随机变量X Y的联合分布已知时 如何求出它们的函数Z g X Y 的分布 25 已知X和Y为离散型随机变量 注1 求和范围是一切使的i及j的值 一 和的分布 求Z X Y 并且有 1 离散型随机变量和的分布 联合分布律已知 26 则规定 由于 所以 这里求和范围是一切i的值 如果对于i的某一个值 注2 27 若取 则有 同理 则规定 这里求和范围是一切j的值 如果对于j的某一个值 注3 28 解 0 1 2 3 4 由于X与Y独立 所以 具有可能值 显然 29 所以 的概率分布如下 30 2 连续型随机变量和的分布 设X和Y为连续型随机变量 X与Y的联合密度为f x y 求Z X Y的概率密度 解 这里积分区域D x y x y z Z X Y的分布函数是 它是直线x y z及其左下方的半平面 31 化成累次积分 得 固定z和y 对方括号内的积分作变量代换 令x u y 得 变量代换 交换积分次序 32 由概率密度与分布函数的关系 即得Z X Y的概率密度为 由X和Y的对称性 fZ z 又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式 特别地 当X和Y独立 设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x fY y 则上述两式化为 卷积公式 34 解 由题意知 35 36 37 例 设随机变量与独立 并且都在区间上服从均 匀分布 求它们的和的分布 解 及的概率密度分别是 和 令 38 1 当z 2a时 2 当时 39 3 当时 4 当z 2a时 40 辛普森分布 所以Z的概率密度为 41 二 商的分布 42 43 1 最大值的分布 三 最大值与最小值的分布 问题 设随机变量X与Y独立 分布函数分别为 44 2 最小值的分布 45 以上结论可推广到多个独立随机变量的情形 特别地 若 设随机变量 相互独立 则 独立且同分布 则