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二阶常系数线性微分方程 的方程 称为二阶线性微分方程 当时 方程 1 成为 形如 一 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构二 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 定理1设y1 x y2 x 是二阶常系数线性齐次微分方程 3 的两个解 则也是方程 3 的解 其中C1 C2是任意常数 一 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 证 定义设y1 x 与y2 x 是定义在某区间内的两个函数 如果存在不为零的常数k 或存在不全为零的常数k1 k2 使得对于该区间内的一切x 有 成立 则称函数y1 x 与y2 x 在该区间内线性相关 否则称y1 x 与y2 x 线性无关 定理2如果函数y1 x 与y2 x 是二阶常系数线性齐次微分方程 3 的两个线性无关的特解 则 就是方程 3 的通解 二 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 把代入方程 3 整理后得 称一元二次方程 5 为二阶常系数线性齐次微分方程 3 的特征方程 是方程 3 的解 特征方程 5 的根为 即线性无关 因此方程 3 的通解为 于是得到方程 3 的一个特解 须找出方程 3 的另一个特解y2 且 取u x 于是得方程 3 的另一个特解 线性无关 方程 3 的通解为 是方程 3 的复数形式特解 利用欧拉公式 再由定理1可知 函数 也是方程 3 的解 且 即线性无关 故得微分方程 3 的通解为 求二阶常系数齐次线性微分方程 3 的通解步骤 1 写出特征方程 并求出特征方程的两个根 2 根据两个特征根的不同情况 按照公式 6 7 或 8 写出微分方程的通解 可使用下表 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 为二阶常系数线性非齐次 定理3 若 则对应齐次方程 是二阶线性非齐次方程 微分方程 如果 的一个特解 而 是相应线形齐次方程的通解 则 为线形非齐次微分方程的通解 Y如何求解 一 一 二 设非齐方程特解为 代入原方程 m代表x的最高次幂 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 k是重根次数 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程 得 原方程通解为 例1 例2 求微分方程 的一个特解 解 所对应的齐次方程 的特征方程 解得根为 由于 不是特征方程的根 设特解为 带入所给方程 得 比较同次幂的系数 得 求得的特解为 利用欧拉公式 二 型 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 取虚部 例3 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例4 所求非齐方程特解为 原方程通解为 取实部 注意 对于 三角函数的基本公式 一 两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 三角函数的降幂公式 三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 三角函数的积化和差公式 sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos 极大值与极小值求解 一 泰勒 Taylor 级数