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绝对值应用一. 绝对值的实质：正数与零的绝对值是其自身，负数与零的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。总之，任何数的绝对值是一个非负数，即|x|0 二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。的几何意义：在数轴上，表示数a的点离开原点的距离的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离.当时，此时是的零点值零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值例1 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； （，）； 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则 ； 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 当时，则 例1已知是实数，求的最小值 例2. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A2a+3b-c B3b-c Cb+c Dc-b解：由图形可知a 0，c b 0，且|c| |b| |a|，则a+b 0，b-c 0原式 三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个 数，即|x| 0，绝对值最小的数是 。2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都 它的绝对值，即x|x|。3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为 的数。4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等。即|x|y|,则x y或 x y四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。例2. 已知：|x-2|+x-20，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解：|x-2|+x-20，|x-2| 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为 或 x-2 0，即x 2，这表示x的 值为2(1)当x2时，x+2得最大值2+24；(2)当x2时，6-x得最小值6-242. 整体参与运算过程即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。例4. 若|a-2|2-a，求a的取值范围。解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|-(a-2)，又由绝对值概念知a-20，故a的取值范围是a24. 运用绝对值的几何意义即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|4的x的取值范围解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。所以原式的解为x-1五. 有关绝对值知识的应用1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.例6. 设x，y，a是实数，并且|x|1-a，|y|(1-a)(a-1-a2)，试求|x|+y+a2+1的值等于_解：显然|x|0，|y|0，由|x|0得1-a0，由|y|0得1-a0，1-a0，从而x0，y0，a1原式|0|+0+12+122. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨论。例7. 已知|a|3，|b|2，求a+b的值。解：|a|3，|b|2， a3或-3，b2或-2 因此a，b的取值应分四种情况：a3，b2或a3，b-2或a-3，b2或a-3，b-2，从而易求a+b的值分别为5，1，-1，-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。 (2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。例8. 化简：|1-3x|+|1+2x| 解：由和得两个零点：和，这两个点把数轴分成三部分： （1）当时，原式（2）当时， 原式；（3）当时，原式-(1-3x)+(1+2x)5x3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。因为|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x到点 a的距离由此可知，方程 |x-a|k的解是xa+k或 xa-k(k0) 例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A1 B2 C3 D4解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P，使AP+BP+PC为最小，显然，当P与B重合，即x2时，其和有最小值2，故应选(B)4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。在运用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”联用。例10. 若|m+1|+|2n+1|0，那么m2003-n4_六. 绝对值化简与求值的基本方法例11. 若a、b互为相反数，cd互为负倒数则|a+b+cd|_解：由题设知a+b0，cd-1，则|a+b+cd|0-1|1 例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy的负倒数是_解：由题设知|x-y+2|0，|x+y-1|0，但二者互为相反数，故只能x-y+20，x+y-10解得， 其负倒数是例13. 已知a、b是互为相反数，c、d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则x3+abcdx+a-bcd的值是_解：由题设知a+b0，cd-1又x的绝对值等于它的相反数的2倍，x0，原式03+0+a-b(-1)a+b0例14. 化简|x+1|+|x-2|令x +10，x-20，得x-1与x2，故可分段定正负再去符号(1)当x-1时，原式-(x+1)-(x-2)-2x+1；(2)当-1x2时，原式(x+1)-(x-2)3；(3)当x2时，原式x+1+(x-2)2x-1说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。例15. 设x是实数，y|x-1|+|x+1|。下列四个结论：.y没有最小值；.只有一个x使y取到最小值；.有有限多个x(不只一个)使y取到最小值；.有无穷多个x使y取到最小值。其中正确的是( )A B C D解：原问题可转化为求x取哪些值时，数轴上点x到点1与点-1的距离之和为最小。从数轴上可知，区间-1，1上的任一点x到点1与点-1的距离之和均为2；区间-1，1 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y|x-1|+|x+1|当-1x1时，取得最小值2，故选(D) 七. 绝对值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。当我们说x是一个非负数时，用数学符号表示就是x0.值得注意的是，有的同学们往往用x0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。即对任意有理数x 有|x|0，这一点至关重要。只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。例16. 若a为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )A|a|0 B|a|a C. D. 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。如此就很容易淘汰掉A、B，而C需从a的取值范围来讨论，如，则C不对，至于D有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。例17. 已知a0c，ab0，|b|c|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|解：分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：容易确定a+c0，b+c0，a-b0，由绝对值的概念，原式(a+c)-(b+c)-(a-b)a+c-b-c-a+b0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。七、实战模拟1. 已知m0，则化简m+|m-|m|_2. 已知实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|a|-|b|+|a-b|-|b-a|_3. 已知|m|1，|n|2求m+n 4. x为何值时，-4|1-x|-5有最大值，最大值是多少？5. 已知a-20b2，去掉下列三式的绝对值符号：6. 化简|3x+1|-|x|+|1-x| 7. 化简|x+3|+|x-2|+|x-5|9. 五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|-abcde，试求的最大值。绝对值提高篇1. 若与互为相反数，求的值。2. ab0，化简a+b-1-3-a-b3. 若+=0 ，求2x+y的值.4. 当b为何值时，5-有最大值，最大值是多少？5. 已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.求式子的值.6. 若a，b，c为整数，且a-b19+c-a99=1，试计算c-a+a-b+b-c的值7. 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值8. 化简：3x+1+2x-19. 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值10. 设abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值11. 若2+4-5x+1-3x+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值12. ，求+ 13. 已知与互为相反数，设法求代数式14. 若为整数，且，计算的值15. 若，且，那么= 16. 已知，且，求的值。17. 化简18. 已知a、b、c是非零有理数，且abc=0，求的值。19. 有理数a、b、c均不为0，且abc=0，试求的值。20. 三个有理数，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式21. a与b互为相反数，且，求的值.22. 已知、都不等于零，且，根据、的不同取值，x有_种不同的值。23. 设是非零有理数（1）求的值； （2）求的值24. （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？25. （整体的思想）方程 的解的个数是_。26. 若,且,则 27. 大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离类似地，式子在数轴上的意义是 28. （非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值29. （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为_（3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 _.（4） 满足的的取值范围为_。 【绝对值】练习题姓名_ 分数_一，填空题（32分）1、（绝对值的意义）(1).绝对值的几何定义：在数轴上表示数a的点与_的距离叫做数a的绝对值，记作_.（2）绝对绝对值的性质值的代数定义：一个正数的绝对值是_；一个负数的绝对值是_；0的绝对值是_.2、（绝对值的性质）（1）任何数都有绝对值，且只有_个.（2）由绝对值的几何意义可知：距离不可能为负数，因此，任何一个数的绝对值都是_数，绝对值最小的数是_.（3）绝对值是正数的数有_个，它们互为_.（4）两个互为相反数的绝对值_；反之，绝对值相等的两个数_或_.3一个数的绝对值是，那么这个数为_4.如果，则，5绝对值等于4的数是_6当时，；当时，7.（有理数的大小比较）正数_0，负数_0，正数_负数；两个负数比较大小的时候，_大的反而小.8、若，则x_；若，则x_；若，则x_.9.若，则是_（选填“正”或“负”）数；若，则是_（选填“正”或“负”）数；10.已知，且，则_11.已知，则x_，y_二.选择题（33分）1.设a是实数，则|a|a的值（ ）A、可以是负数 B、不可能是负数 C、必是正数 D、可以是正数也可以是负数2.绝对值不大于11.1的整数有（ ）A11个B12个C22个D23个3.如果，则的取值范围是（ ） AOBOCODO4.比较的大小，结果正确的是（ ） A、 B、 C、 D、5.已知为有理数，且，则 （ ） A、 B、C、 D、6.代数式的最小值是 （ ）A、0 B、2 C、3 D、57.下列说法中正确的个数有 （ ） 互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值等于本身的数只有正数；不相等的两个数的绝对值不相等；绝对值相等的两个数一定相等 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8.下列说法正确的是（ ） A、一定是负数 B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等C、若，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数9.的倒数是（ ）A、2 B、 C、 D、210.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-的结果是bOaA、2a-b B、b C、-b D、-2a+b11.不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果，那么点B （ ）A在A、C点的右边 B在A、C点的左边C在A、C点之间 D上述三种均可能三1.计算：（21分）(1) (2) (3) (4) (5)化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a-2.2.比较下列各组数的大小 （1）， （2），四探究题1、（信息处理题）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，求的值.（5分）2、(章节内知识点综合题)有理数在数轴上的位置如图所示，化简（5分）3、（科学探究题）已知，且，求的值（6分）4.已知都是有理数，且满足1，求代数式：的值.（8分）答案：1. 解 原式m+|m-(-m)|m+|2m|m-2m-m2. 解 由图可知a0，b0，故a-b0，b-a0原式a-(-b)+(a-b)-(b-a)a+b+a-b+b-aa+b说明：本题是根据图形定正负去符号，这种方法可归纳为：“看图形，定性质，去符号”。3. 解 m1，n2，当m1，n2时，m+n3；当m1，n-2时，m+n-1；当m-1，n2时，m+n1；当 m-1， n-2时， m+n-34. 解 当x1时，|1-x|取最小值0，-4|1-x|-5