王淑华固体物理答案第三章.ppt

第三章晶格振动 解 1 个原子的运动方程可写成 1 在单原子晶格中 若只计相邻原子的互作用 第n 依题设 原子的振动位移可表示为 2 将 2 式代入 1 式 得 因为 因此 故得格波的色散关系为 2 原子链上总能量可写为 其中求和遍及链上的所有原子 又因为一维单原子链的色散关系为 或者 所以 得平均总能量 3 2证明 在由两种不同质量M m M m 的原子所组成的一维复式格子中 如果波矢q取边界值 a为相邻原子间距 则在声学支上 质量为m的轻原子全部保持不动 在光学支上 质量为M的重原子保持不动 证明 如图所示 设质量为m的轻原子位于2n 1 2n 2 2n 3 各点 设质量为M的重原子位于2n 2 2n 2n 2 各点 令表示原子间的恢复力系数 运动方程写为 将试探解代入运动方程有 经整理变成 1 要A B有不全为零的解 方程 1 的系数行列式必须等于零 从中解得 2 光学支 声学支 因为 由上式得到 由此可见 当波矢q取边界值时 声学支中轻原子保持不动 A 0 光学支中重原子也保持不动 B 0 3 3一维复式格子 原子质量都为m 晶格常数为a 任一个原子与最近邻原子的间距为b 若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为和 试列出原子的运动方程并求出色散关系 解 此题为一维双原子链 设第 个原子的 位移分别为 第 与第 个原子属 于同一原子 第 与第 个原子属于同一原子 于是 第 和第 原子受的力分别为 其运动方程分别为 设格波的解分别为 代入运动方程 得 整理得 由于A和B不可能同时为零 因此其系数行列式必定为零 即 解上式可得 由上式可知 存在两种独立的格波 声学格波的色散关系为 光学格波的色散关系为 解 1 只考虑最近邻原子的相互作用 得 将的值代回方程得到色散关系 2 a 当上式取 号时为光学波 当时 当时 b 当取 号时为声学波 当时 当时 3 5证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格 每单位频率间隔内的振动模式数为 证明 一维单原子链只有一支格波 据模式密度的一般表示式 1 因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度 且只有一支 格波 所以由 1 式得 得 解 设有一坐标为x与x dx间的介质元 t时刻x点处的位移为u u x t x dx点处的位移为u du 于是 应变为 以E表示弹性模量 按定义 式中f是引起形变的力 作用在介质元dx上的净力为 这就是连续介质的波动方程 其解为 将u x t 代入 1 式 得到 即 因此 一维介质弹性波传播的相速度为 3 7证明一维单原子链的运动方程 在长波近似下 可以化成弹性波方程 解 如果只计及近邻原子间的相互作用 第n个原子的运动方程 为 因为 所以第n个原子的运动方程化为 在长波近似下 运动方程又化为 1 在长波近似下 当l为有限整数时 上式说明 在长波近似下 邻近 在半波长范围内 的若干原子 以相同的振幅 相同的位相做集体运动 因此 1 式可统一写成 第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动 正是由这些 原子的整体的运动所构成 这些原子偏离平衡位置的位移 即是宏观上的质点位移 从宏观上看 原子的位置 可视为准连续的 原子的分离 可视为连续坐标x 即 于是 2 式化为 其中 是用微观参数表示的弹性波的波速 第 l 1 m 原子对它的作用力 并把试探解 同时代入 消去公因子后得 所以 格波的传播速度 可见 在长波极限下 格波的传播速度与波矢q无关 3 式变为 式中 常 现象 当 为常数 p遍取所有的整数值 试证明 科恩 Kohn 反 和第n p个原子对第n个原子的作用力可写成 链上每个原子与第n个原子都有相互作用 故第n个原子的运动方程应为 设试探解为 代入运动方程可得 故格波的色散关系为 1 解 由 所以 解 由N个原子组成的单原子晶体共有3N个自由度 独立晶格振动方式数也等于3N 晶体振动的总能量便等于晶体振动的总能量便等于这3N个谐振动的能量之和 即 1 上式中的第二项是3N个经典谐振子的平均能量之和 第一项与温度无关 是爱因斯坦模型下的零点振动能 3 12试用德拜模型求解上题 1 当N很大时 格波的频率分布是准连续的 故上式可用下列积分计算 2 所以 上式中的第二项是3N个经典谐振子平均能量之和 第一项是德拜模型下晶体的零点振动能 此时 2 式中的积分变为 因此 从 2 式求得 上式表示 在德拜模型中 低温时晶格振动能与温度的4次方成正比 解 按照德拜理论 在频率 间隔内的独立振动方式 数为 由此求得晶体总振动能 略去零点能 上式中的积分一般的不能用解析方法求得 但在极限的情况下 它有如下简单的结果 在高温极限下 在低温极限下 代入上式 得到晶体在高温极限下的总振动能 低温极限下的总振动能 3 17对于NaCl晶体 已知恢复力常数 试分别求出NaCl晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率 已知Cl和Na的原子量分别为35 5和23 0 解 因为一维双原子晶体的色散关系为 在本题设下 式中m M分别代表Na CL原子的质量 当括号内取 号时代表光学支 取 号时代表声学支 从上式得知 光学支的最大频率是 而光学支的最小频率是 声学支的最大频率是 解 1 对于一维双原子链 格波光学支的最高频率为 1 式中 为原子间的恢复力常数 m M分别代表两种原子的质量 对于NaCL 已知Na原子质量 CL原子质量 平衡时 和的距离为 因此 从 1 式可得其恢复力常数 2 对于声学波 在长波极限下 其传播速度为 所以 解 表示 如图所示 离子的坐标由na 由于热 运动 库仑定律 两粒子间的互相斥力为 式中 k为静电衡量 r为离子间距 1 因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动 可将 1 式括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开 并只计及一次项 它们离开平衡位置的位移记为 根据 相互作用 运动方程可表述为 如果只考虑相邻离子间的 则有 令试探解为 2 式中 A q分别为振幅 角频率和波矢 式得出 即 式中 为格波的最高角频率 3 把上式代入 2 把下列数据代入 得到 最大波速对应于长波极限下的波速 此时q很小 3 式给出 于是 得到最大波速为 证明 对于一维单原子链 格波的色散关系为 1 因而aq S N是一个与原子间距a无关的参量 可以把 1 式写成 2 对于一维单原子链 格林爱森常数 Na为晶链的长度 把 3 式代入即得 4 因而 故 4 式可写作 证明 按定义 晶体的体胀系数 使用熟知的循环关系式 上式化为 1 代回 1 式即得 证明 1 设离子链沿水平方向 上式右端加一负号 是我们规定坐标的正方向指向右端 考虑到 可将上式展成 级数 取一级近似得 第个离子左端的第个离子与第个离子间的库仑力为 取一级近似得 第个离子和第个离子对第个离子间的库仑合力为 可见库仑力对力常数的贡献为 2 第个离子的运动方程为 设格波解 则由离子的运动方程得 令 可得 3 记 则有 由此知 当 时 由于格波的频率 因此 说明 此振动模式对应的恢复力系数 相当于弹簧振子系统 的弹簧丧失了弹性 所以称的振动模式为软模 3 24一维无限长原子链 原子质量为m和M 且m M 靠得较近的两个原子构成一个分子 设一个分子内两原子平衡位置的距离为b 恢复力系数为 1 分子间两原子间的恢复力系数为 2 晶格常数为a 如图所示 求色散关系 a 解 只考虑最近邻原子间的相互作用 将试探解代入方程得 据玻恩 卡门周期性边界条件 可以确定波矢q的取值 0 光学支格波 A 声学支格波 q可取N个值 3 高低温极限讨论 2 低温时 当T E时 模式密度为 2 比热表达式 德拜比热函数 1 当T D时 x 1 3 高低温极限情况讨论 高温时与实验规律相吻合 2 低温时 当T D时 由上式看出 在极低温度下 比热与T3成正