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文档简介

Gram-Schmidt正交化方法 正射影 设欧式空间中向量线性无关,令; (1);.则均非零向量,且两两正交.再令 则为规范正交组.将(1)重新写成, 其中, 有令则上式左端的实方阵是的格兰母矩阵，记为：，上式右端中间的对角阵是的Gram矩阵.即有:因此注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设欧式空间中向量，则（1） 线性无关;（2）线性相关.证明:只证（2）设线性相关，则存在一个向量，不妨设为,可由其余向量线性表示:给阶的行列式的第行乘数加到第行，得法一：由上页证明推理过程立即得证。 法二：当时，的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数，使.即.故，即有.即有线性相关.注：当线性无关时，且.推论1 设是欧氏空间中任意向量，则() 是半正定矩阵；() 是正定阵线性无关.证明()对任意，主子式总大于或等于零.因此是半正定矩阵.()（）当线性无关时，对任意，主子式总大于零（因为线性无关）.故是正定阵.（）由例1，这是显然的.推论2 ()设欧氏空间中向量线性无关，则，且上式取等号两两正交.()设（欧），则.()设，则，故.当可逆时，上式取等号，有.例2 设是欧氏空间中的向量，且它们线性无关.证明.证明 令，其中.则是线性无关向量组的矩阵，故正定.假如的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设，.则，.故.这样的二阶主子式.这与是正定阵相矛盾.因此的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证.注：从例2的证明中，可以看出这样一个结论：任意阶（实对称）正定阵的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.设是维欧氏空间的规范正交基，则1）.2）.3）.4）.设是欧氏空间的有限维子空间，则.，表示法唯一.称为在上的正射影.当为的规范正交基时，在上的正射影为.例3 证明，中向量到平面的距离等于.证明 ，在L（）的正射影的长度即为所求：.例4 设是欧氏空间的一个规范正交组.证明，对于任意，以下不等式成立：.证明：令L，则，.简
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