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1 3行列式按一行 列 展开 行列式按一行 列 的展开式在理论上和实际计算中都起重要作用 其实也是行列式的一条重要性质 由于其特殊性 和其它性质分开来叙述 而其它性质都主要是关于初等变换对于行列式的值的影响的 2 我们从考察三阶行列式开始 把三阶行列式的六项按含第一行各个元素分为三组 3 提出公因子 4 M22 M23 M32 5 分别称为a11 a12 a13的余子式 记作M11 M12 M13 而 1 1 1M11 1 1 2M12 1 1 3M13称为a11 a12 a13代数余子式 记作A11 A12 A13 利用代数余子式 可以写出 6 划去aij的所在的行和列所得的行列式称为aij的余子式 记作Mij 1 i jMij称为aij的代数余子式 记作Aij 定义 从定义知道 aij的代数余子式和余子式只与i j有关 与aij的值无关 7 例设 求a23的余子式和代数余子式 解 8 引理 行列式按第一行的展开式 行列式等于第一行各元素和相应代数余子式乘积之和 10 证明以三阶行列式为例书写 11 表示 2 3 排列的全体 其余类似 思考 请写出一般情形的证明 12 定理对于 按第i行展开 按第j列展开 13 证明把第i行和其前面的i 1行依次互换i 1次 到达第一行 其余位置不变 14 如果一行乘另一行的代数余子式结果会怎样呢 对于四节行列式 举例说 15 例如对于3阶行列式 此式代表第二行元素为第一行元素的行列式 即有两行相同 故其值为零 一般地对于n阶行列式 克罗内克记号 行列式按行或列展开的一般公式 17 例计算行列式 解I 18 此题中两个行列式的计算 19 解II 可以先用上一节的方法在一行制造更多的零 20 21 例计算行列式 解 22 23 例设 第一式是行列式 24 解 25 26 例证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 n 1时公式成立吗 共多少个因子 27 证明用数学归纳法 n 2时 等式成立 设等式对于n 1成立 则从第n行开始 后行减去前行的x1倍 28 按照第1列展开 并提出每列的公因子xj x1 并且利用归纳假设就有 例 30 例求下列n阶行列式的值 31 为了观察降阶规律 我们以5阶为例 解 33 1 当一行很多0时 按一行展开 得递推公式 2 直接计算前几个值 根据递推公式再计算几个值 猜出
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