人口的预测与控制论文.docx

精品文档人口的预测与控制论文摘要当今世界截止2012年8月人口已达70亿，人口问题是已成为人类前进的最大一个问题，地球的粮食矿产等资源有限，我们不能任由人口无限制的增长下去，随着人口而来的问题日益突出，特别是对于中国印度等人口大国。所以研究人口规律这一课题势在必行。有效的控制我国人口的增长，不仅是深入贯彻落实科学发展观，到2020年实现全面建成小康社会的需要，而且对于全人类的美好理想来说也是我们义不容辞的责任。找出人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确地预报是有效控制人口增长的前提，本文介绍两个模型并利用1790年到2000年美国的人口做模型的估计检验和预报最后介绍考虑年龄结构和生育模式的而人口模型。美国人口年179018001810182018301840185018601870人口/百万3.95.37.29.612.917.123.231.438.6年188018901900191019201930194019501960人口/百万50.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7199.3年1970198019902000人口/百万204.0226.5251.4281.4关键词 最小二乘法 指数增长模型 阻滞增长模型 拟合曲线问题重述人口问题是当今最大的问题，起初由于人口问题不那么突出人们没有意识到这个问题，等到矛盾已经非常突出的时候人们才开始重视起来。对待人口问题我们不能盲目的探寻，我们要从人口本身的发展规律来探究其本质。对于目前我们已经掌握了相关的实际人口数据，利用这些数据结合最小二乘法等相关方法利用MATLAB确定模型中相关参数，进而完成模型的建立问题分析200多年前英国人口学家调查了本国的人口资料得出了人口增长率不变的假设，并得到了人口指数增长模型在这里我们也这样认为早期的人口增长由于物资环境等相关资源的富足，人口增长的速度受其他因素的影响较小，可以忽略不计，影响人口增长的因素主要在人本身，在这个相当长的一段时期，前面所建的模型已经不再符合我们的要求，我们可以用指数增长模型来等效代替实际的情况，这是一个短期的预测。在人的数量发展到相当的程度后出人本身的问题外其他的环境因素就显现出来了，原来的模型与实际规律已经相差甚远，我们对原来的人口增长率进行改造，这时候我们通过建立一个阻滞模型来解决人口后期的发展问题。一、指数增长模型模型假设1. 人口年增长率r保持不变（人口自然增长率（年内出生人数年内死亡人数）/年平均人口数1000人口出生率人口死亡率）2. 不考虑自然因素如地震、山洪、泥石流等对人口的影响，不考虑人为因素如战争等对人口的影响模型建立与求解由假设中的人口年增长率则有r=yx*x变形为yx=rx记t时刻的人口为X（t），当考察一个国家或一个较大地区的人口时X（t）是一个很大的整数。为了利用微积分将X（t）视为连续、可微函数，记初始时刻（t=0）的人口为x0.则可得到X（t）满足常微分方程 dydx=rx，x0=x0 （1）解得x（t）=x0ert （2）此时r为待定的系数模型检验为了便于计算这里将年份做一个简单的映射以1790年为0年（即本文年代=实际年代-1790）将（2）式两边取对数有lnx=rt+lnx0用美国从1790年到2000年的实际人口进而进行线性拟合并画出与实际数据的对比图像MATLAB编程为：x=1790:10:1900;y=3.9 5.3 7.2 9.612.917.123.231.438.6 50.262.9 76.0;x1=x-1790;y1=log(y);grid onp=polyfit(x1,y1,1)t=0:0.01:210;Xt=3.9*exp(p(1).*t);plot(t,Xt)hold onx2=0:10:210;y2=3.9 5.37.29.612.917.123.2 31.438.6 50.262.976.0. 92.0106.5123.2131.7150.7199.3 204.0226.5251.4281.4;plot(x2,y2,rx)title(拟合曲线与实际人口对比)xlabel(年份)ylabel(人口数/百万)legend(为拟合曲线,为实际人口)结果为：p = 0.0274 1.4323即r=0.0274/年当用全部人口时结果为：p = 0.0203 1.7959图像为：其中（2）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，由图形分析得该模型在前期符合的较好，然而后期却相差甚远，该模型只能对短期的人口进行估计与预测，由此对于人口发展的后期我们应对模型进行改进，从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，人口增长率事实上是在不断地变化着。排除灾难，战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，及增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。如果要是人口预报特别是长期预报更符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。二、阻滞增长模型模型假设1. 人口年增长率r是变化的，且随着人口的数量变多呈线性下降2. 不考虑自然因素如地震、山洪、泥石流等对人口的影响，不考虑人为因素如战争等对人口的影响模型建立与求解阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r（x），则它应该是减函数。于是方程（1）可写作dydx=r（x）x，x0=x0 (3)由于假设r（x）是x的线性函数。于是有r（x）=r-sx （r，s0） (4)这里r是固有增长率，表示人口很少时的增长率。为了确定赋予s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称为人口容量即最大人口数。当x=xm时人口不再增长，即增长率r（xm）=0代入（4）中有s=r/m，于是r（x）=r（1-x/xm）将r(x)代入方程（4）有dydx=rx（1-xxm），x0=x0 （5）解得 xt=xm1+（xmx0-1）e-rt （6）模型检验下面用1860年到1990年的数据对r和xm进行参数估计，我们不用(6)式将方程（5）改写为：dxdtx=r-sx，s=rxm （7）MATLAB编程为：x=70:10:200;y=31.438.6 50.262.9 76.092.0106.5123.2131.7150.7199.3 204.0226.5251.4;for n=1:13 y1(n)=(y(n+1)-y(n)./10./y(n);endfor m=1:13 x1(m)=y(m);endp=polyfit(x1,y1,1)结果为：p = -0.000065 0.02557即r=0.0275/年，xm=392.0886下面我们用2000年的人口来来进行模拟检验为简单起见，可利用x（1990）和方程（5）作如下计算： x2000=x1990+x=x1990+rx19901-x(1990)/xm解得：（2000）=274.5误差为：281.4-274.5274.5=2.5%预报美国2010年人口数此时须将2000年人口带入重新估计参数，类似于像求（7）中参数得r=0.0249，xm=433.9886. x2010=x2000+x=x2000+rx20001-x(2000)/xm计算得x（2010）=306.0。（其中美国人口实际为308.7）误差为：308.7-306.0306.0=0.9%下面我们以图表的形式对指数模型和阻滞模型进行一下对比。指数增长模型和阻滞增长模型对美国人口数据拟合的结果年实际人口/百万计算人口x1（指数增长模型部分数据拟合）计算人口x2（指数增长模型全部数据拟合）计算人口x（阻滞增长模型）17903.94.26.03.918005.35.57.45.018107.27.29.06.518209.69.411.08.3183012.912.313.510.7184017.116.216.513.7185023.221.220.117.5186031.427.824.622.3187038.636.430.128.3188050.247.736.835.8189062.962.545.045.0190076.081.955.056.2191092.0107.367.269.71920106.5140.782.185.51930132.2184.3100.4103.91940131.7241.5122.8124.51950150.7316.5