第三代的微积分_张景中.doc

第三代的微积分 张景中 1. 何谓第三代的微积分 由牛顿和莱布尼兹创建的微积分，是第一代的微积分。第一代微积分，是说不清楚的微积分。创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚。微积分的原理虽然说不清楚，其应用仍然在蓬蓬勃勃地发展。微积分就这样在说不清楚的情形下向前发展了130多年。 由柯西和维尔斯特拉斯等，建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，这是第二代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的，但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝大多数学习高等数学的学生来说，是听不明白的微积分。微积分就这样在多数学习者听不明白的情形下，又发展了170多年，直到今天。 第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分。人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快。让学习者用较少的时和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然。不但数学家说得清楚，而且非数学专业的多数学子也能听得明白。 第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同。不同的是对原理的说明，前者说不清楚，后者说清楚了。 第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同。不同的仍是对原理的说明。 几十年来，国内外都有人从事第三代微积分的研究以至教学实践。这方面的努力，已经有了显著的成效。在我国，林群院士是这个方向的倡导者，他在近十年间在此方向做了大量的工作123。 2. 导数定义的改革 微积分最基本最重要的概念是导数。第一代微积分说不清楚，主要就是导数的概念说不清楚。第二代微积分听不明白，主要是从导数的概念推导函数的性质听不明白。学过高等数学的同学都会用“导数正则函数增”的定理解题，但很少有人知道其中的道理。还有泰勒公式，微积分基本定理，多数人知其然不知其所以然。 所以，人们改革微积分，首先从导数概念入手。 在上世纪40年代，有人提出了区间上一致可导的概念6： 定义1(一致可导的定义) 设函数和都在区间上有定义，如果对于上任意的和，一致地有 (1)则称在区间上一致可导，并称是的导函数, 简称为的导数，记作 或 ,或 . 可以证明，一致可导等价于连续可导，即的导数存在并且在上连续。但直接采用定义1，给推理带来了方便。 一致可导的定义，仍然依赖于极限概念。能不能不用极限来定义导数呢？林群指出2，采用“一致微商”的定义可以大大简化微积分基本定理的论证。在2005年11月在上海的一次全国性教学研讨会上，他进一步阐述了微积分改革的思想；在2006年5月12-14日在西安举行的“中国高等教育学会教育数学专业委员会学术研讨会”上，他又作了题为“新版微积分”的大会报告，在报告中明确提出了作为函数导数初等定义的“一致性不等式”，为微积分的初等化指出了一条新路，其详细的推导论证见3。 林群用一致不等式定义导数的方法，畧加形式化后就是 定义2 (用一致不等式定义导数)设函数F在a,b上有定义。如果有一个在a,b上有定义的函数f和正数M, 和一个在（0,b-a上正值递减无界的函数D(x)，使得对a,b上任意的 x 和 x+h ,有下列不等式： （2）则称F在a,b上一致可导，并且称f(x)是F(x)的导数, 记作F(x)= f(x). 将(2)用传统的记号表示，无非就是 （2*）此处是时的无穷小。而用不等式(2)可以避免无穷小。 可以证明，定义2和定义1是等价的。但是采用定义2就避免了极限概念，可以显著地简化推理，提前让学生掌握微积分的核心知识。 在定义2中取D(x)=1/x，得到所谓强可导或李普西兹可导的定义。 定义3 (强可导的定义) 345设函数在上有定义.如果存在一个定义在上的函数和正数,使得对上的任意点和,(这里可正可负) 成立不等式 (3) 则称函数在上强可导(或李普西兹可导),并称是的导数，记做 或 ,或 . 容易证明，强可导函数的导数差商有界，即满足李普西兹条件。这是国外有人把它叫做李普西兹可导的由来。 命题1 (强可导函数的导函数差商有界)设在上强可导, ()，则存在使得对任意,有 .证明 记，由强可导定义可知有使对任意,有 于是有 两端约去，即得所要的结论。对于非数学专业多数学生，考虑强可导函数类已经够用。有关强可导的推理要简单得多，并且从本质上已经包含了微积分的要义，有必要时容易推广到更一般的可导函数类。基于定义2和定义3，容易建立不依赖于极限的微积分学45。 3.甲函数与乙函数 容易看出来，定义2和定义3虽然不提极限或无穷小，但本质上的思想源于极限或无穷小。最近发现，有一条本质上不同于极限或无穷小的道路通向微积分7。 为了说明这种新的思想方法，我们考虑一个经典案例。 例1 用表示直线上运动物体在时刻所走过的路程，表示它在时刻的瞬时速度，则它在时间区间上的平均速度的大小，应当在上的某两个时刻的瞬时速度之间.也就是说，有上的和，使得下面的不等式成立： (4)上式可用语言表达为“函数的差商是的中间值”。考虑平均速度和瞬时速度的关系，有两种思路。经典的牛顿-莱布尼兹思路，是让平均速度取极限获得瞬时速度，同时就产生一些难以理解的概念。我们的思路却来自平凡得多的道理：若非匀速运动，则瞬时速度有时候大于平均速度，有时候小于平均速度。 从这个例子，抽象出下面的定义。 定义4 设函数和都在区间上有定义，若对的任意子区间，总有上的和，使有不等式 (5)成立，则称是在区间上的甲函数，是在区间上的乙函数。从乙函数定义立刻推出命题2 (i)函数是常数函数的乙函数.(ii)函数是一次函数的乙函数. 命题3 设在区间上函数是的乙函数。在的任意子区间上，若为正则递增；若为负则递减；若为0则为常数；若为非零常数则，其中是一个常数。可见乙函数可以用来研究函数的增减性，这比现在用导数的道理要浅显明白得多。下面先对几个简单的函数尝试推出其乙函数。 例2 函数是在上的乙函数.证明 对任意，的差商为 (6)不等式表明，是的乙函数。 例3 函数是在上的乙函数. 证明 对任意， (7) 当时，显然在和之间；当时，显然在和之间。这表明，是的乙函数。 例4 在上，函数是的乙函数. 证明 对有 (8)不等式表明，是的乙函数。 例5 在上，函数是的乙函数. 证明 由于 (9)不等式表明，是的乙函数。略加讨论就知道此结论在上也成立。通过上面估计差商获取乙函数的几个例子，我们发现，所获得的乙函数竟然就是微积分中的导数，而这里没有使用任何涉及极限或无穷小的运算！这个发现是不平凡的。包括牛顿在内的一些卓越的数学家，曾经致力于试图不用无穷小或极限来建立微积分，都没有成功。而这里用平凡简单的想法求出了函数的导数，实现了微积分中最重要的一个基本运算！这鼓励我们沿着“乙函数”的线索更深地挖掘。 4.乙函数和导数的关系对乙函数加上一些条件，容易证明它就是导数。 命题4若在上是的乙函数，且在上满足李普西兹条件即差商有界，则有正数使对上的任意两点和，和任意的(或)有 (10)也就是说，若有一个满足李普西兹条件的乙函数，则必是强可导的，且其导数为。证明 由乙函数的意义，对上的任意两点和，有(或)上的两点和，使得 (i)将(i)的各项同减得 (ii)注意到、和都在和之间，又因为在上差商有界，故有正数使得 (iii) 结合(ii)和(iii)得到所要的结论。证毕。 上述证明的思路是直观而简单的：由于乙函数满足李普西兹条件，它在上的任意两值之差的绝对值都不超过；而甲函数的差商被乙函数在上的两个值夹在中间，所以这差商和乙函数在上的任一值的差的绝对值也不超过，这实际上就是要证明的结论。当乙函数差商有界时，只要足够小，甲函数在上的差商和乙函数在上的函数值就能非常接近，要多么接近就可以多么接近。也就是说，当时间段足够小的时候，平均速度和瞬时速度的差可以要多么小就多么小。这样，从乙函数概念出发也就可以导出极限的思想了。 下面的命题，完成了“乙函数差商有界”和“强可导”的等价性的论证。 命题5 (估值定理)设在上强可导, ()，则对的任意子区间，有中的点和，使得 (11)成立。也就是说，是在上的乙函数。 证明 若对于所有，的差商为常数，则结论显然。如不然，必有使得 . (i)由强可导定义可知有正数使对一切和有 (ii)取正整数，将等分为段，记，则段中必有一段使得不等式 (iii)成立。由(ii)、(i)和(iii),以及即得到 (iv)为了证明结论的另一半，可设,则.对应用上面得到的结论，可知有满足 ,即满足.命题证毕. 上面这个命题的作用相当于传统微积分的拉格朗日中值定理。是微积分的一个基本工具。上述证明直接从定义推出结论，比4578中更直接更简明，系在本文中首次发表。直观上看其思路是清楚地：先取的子区间把要估计的界降低一些，再把这子区间加细用导数值逼近小区间差商以达到目的。证明中强可导的条件容易减弱为一致可导。 有了估值定理，微分学的一系列命题不难推出。 5.不用极限建立微积分基本定理 牛顿和拉格朗日曾经试图不用极限也不用无穷小来建立微积分，结果没有成功。近些年来国外有人重提这个问题9，但没有严谨的论证。林群在3中，基于定义2和定义3，实现了不用极限或无穷小建立微分学的任务。笔者在10中提出了不用极限或无穷小建立积分概念并推出微积分基本定理的方法。在578中，大同小异地采用了10中的策略。 给了区间上的函数，对应于中任意两点， 在上的曲边梯形的代数面积，可以看成二元函数的值。应当满足两个条件。一个条件是面积的可加性：上的面积加上上的面积，等于上的面积；第2个条件是，上的面积和区间的长度之比，应当是在上的平均值。根据面积的这些直观的性质，抽象出下面的定义。定义5 (积分系统和定积分) 设在区间上有定义；如果有一个二元函数 ，满足 (i)可加性：对上任意的有 ; (ii)中值性：对上任意的，在上必有两点和使得 ;则称是在上的一个积分系统。如果在上有唯一的积分系统，则称在(的子区间)上可积，并称数值是在上的定积分，记作 。表达式中的叫做被积函数，叫做积分变量，和分别叫做积分的下限和上限。用不同于的其他字母(如t)来代替时，数值不变。根据定义直接验证，可得下面的定理。命题6 设是在上的一个积分系统，是上的一个点，令，则在上是的乙函数；反过来，若在上是的乙函数，令，则是在上的一个积分系统。现在可以轻松地得到一个重要的结论了。命题7 (微积分基本定理)设在上强可导，。令，则是在上的唯一积分系统，从而有 (12)这个等式就是著名的牛顿莱布尼兹公式。证明 由命题5,是的乙函数。由命题6推出是在上的积分系统。下面证明是在上的唯一积分系统。设也是在上的积分系统。取上任一定点，令，则由命题6，在上是的乙函数；又由命题1可知在上差商有界，于是由命题4推出在上强可导，且.由导数为0，在上为常数，故有 这证明了是在上的唯一积分系统，由定义知道定积分记号合理，从而由得等式(12)，证毕。实际上，微积分基本定理从一开始就蕴含在“的差商是的中值”这个基本思路之中。也就是说，甲函数和乙函数的概念，实质上就已经给出了牛顿莱布尼兹公式公式。本节的定义和推导，不过是数学形式的严谨化而已。 这样，我们既没有用黎曼和的概念，也不借助于实数理论、极限理论或无穷小的定义和性质，就推出了微积分的基本定理。 关于求导法则，三角函数、指数函数和对数函数的求导，泰勒公式的证明等细节，可参看3457.6 结语 综上，微积分的理论可以大大简化。 使用甲函数和乙函数的策略，做到了“微分不微，积分不积，推理简化，模型统一”。 最后一句指，原来微分学和积分学分别是两个数学模型：微分的牛顿模型和积分的黎曼模型，现在成为一个模型了。 研究表明，在引进实数理论和极限理论之前，就能够严谨地推出一系列微积分的基本定理和计算公式。第3代的微积分理论框架，已经基本形成。在中高等数学课程中，要求学生会用微积分方法解决一些实际问题。这些应用的理论依据主要是两条，一条是导数正则函数增，一条是微积分基本定理。这两条在现在的高中教材中都是不能证明的，甚至在大学里非数学专业的高等数学教材中也是不要求完整证明的。对如此重要的定理学生只能知其然而不知其所以然，这是高等数学教学中长期未能解决的难题。但愿本文的方法能够化解这个难题。这不仅是数学问题，更是教学实践才能作出最终回答的问题。当然,极限毕竟是要学的.学了些微积分的基础知识再学极限,也许更容易理解.因为例子更丰富,更现成了.微积分入门教学难是被广泛关注的问题.愿第三代微积分的出现有助于解决这个难题。参考文献1林 群，画中漫游微积分M，南宁：广西师范大学出版社，1999.2林 群，微分方程与三角测量M，北京：清华大学出版社，2005年4月.3 林 群， A Rigorous Calculus to Avoid Notions and ProofsM，Singapore,World Scientific Press,2006.4 张景中，微积分学的初等化，华中师范大学学报(自然科学版),2006年12月，475484.5 鲁东