Cauchy收敛准则的应用与推广.doc

Cauchy收敛准则的研究与应用2.1 基本概念定义 2.1 设为数列。为定数.若对任给的正数，总存在正数，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.定义2.2 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数（1）的通项。数项级数（1）也常写作：或简单写作.数项级数（1）的前n项之和，记为，称它为数项级数（1）的第n个部分和，简称为部分和。3、数列的Cauchy收敛准则及应用3.1数列的Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的0, 正整数，使得当时有.3.2数列的Cauchy收敛准则在解题中的的应用例3-1 证明. 证明:,取,则有 . 由Cauchy收敛准则知收敛.例3-2 证明收敛证 对,取,则对,有+ =+知,故.有柯西收敛准则知数列收敛4、函数极限的Cauchy收敛准则及应用4.1函数极限的Cauchy准则设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给,存在正数，使得对任何有4.2函数极限的Cauchy准则的应用例4-1 证明证明：有显然 即：当时，就有：于是对于上述，及，只要，就有：由定理知，存在例4-2 证明不存在分析：取，由，可知：取，有。于是，由此即有证明：取，则对，取使得 已有，故由定理知， 不存在5、Cauchy收敛准则在证明级数收敛中的作用5.1 级数收敛的Cauchy准则级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正数，使得当以及对任意的正数，都有.5.2级数收敛的Cauchy准则的应用例5-1 应用级数收敛的Cauchy准则证明收敛证 由于 .因此对任给的正数，取,使当时，对任意的正整数，由上式就有. 由级数收敛的柯西准则知收敛.5.3 函数列一致收敛的Cauchy准则函数列在数集D上一致收敛充要条件是：对任给的正数，总存在正数使得当时，对一切都有.推论5-3函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：例5.2 定义在0,1上的函数列其中的正整数由于 ，故 当时，只要就有，故在上有.于是该函数列在上的极限函数 又由于 ，所以函数列在上不一致收敛6、含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则定理6.1 (一致收敛的Cauchy准则)含参量反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有例6.1证明含参量反常积分 （3）在上一致收敛（其中），但在内不一致收敛证明 做变量代换，得 （4）其中.由于收敛，故对任给正数，总存在正数，使当，就有取，则当时，对一切，由（4）式有，所以（3）式在上一致收敛.现证明（4）在内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数，使对任何实数，总相应地存在某个及某个，使得 由于非正常积分收敛，故对任何和，总存在某个，使得，即 （5）现令，由（4）及不等式（5）的左端就有所以（3）在内不一致收敛7、Cauchy收敛准则在在证明相关定理中的应用7.1 Cauchy收敛准则在证明牛顿莱布尼茨公式中的运用定理7.1 若函数在 上连续，且存在原函数，即，,则上可积，且 （1）证 由定积分定义，任给，要证,当时，有，下证满足要求的存在性，事实上，对于的任一分割，在每个小区间上对用拉格朗日中值定理，分别使得 （2）因为上连续，从而一致连续，对上述，当且时，有.于是当时，任取，便有，这就证得 .所以在上可积，且有公式（1）成立。7.2 Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用定理7.2一致连续性定理：若函数在区间上连续，则在区间上一致连续。证明 由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时，有考虑开区间