ch3-4.5函数单调性与曲线凹凸性,极值与最值.ppt

第四 五节导数的应用 思考题 函数的极值 函数的单调性 小结 曲线的凹凸性与拐点 函数的最大值和最小值 内容回顾 内容回顾 一 函数的单调性 定理1 1 函数单调性的判别法定理 说明 2 定理中的区间换成其它有限或无限区间 结论仍成立 1 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 4 区间内个别点处的导数值为零 不影响区间的单调性 例如 5 函数单调性的应用 可以证明不等式和确定某些方程实根的个数 2 函数单调区间的求法 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 方法 二 曲线的凹凸性与拐点 问题 如何研究曲线的弯曲方向 凸 凹 1 曲线的凹凸性 定理2 曲线凹凸性的判定 解 注意到 2 曲线的拐点 定义 拐点的求法 方法 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 解 注 三 函数的极值 1 函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 注 1 极值是一个局部性概念 极值是局部的最值 2 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上具有水平切线的地方 函数不一定取得极值 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 2 函数极值的求法 定理1 必要条件 定义 注 例如 可能极值点 驻点和不可导点 定理2 第一充分条件 是极值点情形 不是极值点情形 临界点 注 求极值的步骤 函数的极值必在临界点处取得 解 列表讨论 极大值 极小值 解 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 定理3 第二充分条件 注 第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形 证 解 极大值 极小值 无极值 四 函数的最大值和最小值 一 问题的提出 问题 在一定条件下 怎样使 产品最多 用料最省 成本最低 效率最高 等 在数学上归结为 求目标函数的最大值或最小值问题 问1 目标函数在区间上是否有最值 问2 如果函数的最值存在 在何处取得 二 最值的求法 1 目标函数在闭区间上连续 注 最值点不一定是内点 步骤 1 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小来判断 解 比较得 计算 2 目标函数在开区间内连续 解 设水池底半径为r 高为h 则表面积 1 建立圆柱形水池表面积函数关系式 则圆柱形水池表面积函数 由已知 得唯一驻点 从而必在唯一驻点处取得 实际问题求最值一般步骤 1 建立目标函数 实际问题中变量间的关系 2 求最值 将实际问题转化为求目标函数在相应区间上的最值问题 根据已知条件 将目标函数表示成关于一个变量的函数 小结 一 单调性的判别是函数导数的重要应用 应用 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 若函数在讨论区间上不总是单调增或单调减的 则须找函数单调性的分界点 二 凹凸性 曲线的弯曲方向 及拐点的判定 应用 利用函数的凹凸性可以证明不等式 三 极值是函数的局部性概念 函数的极值必在驻点和不可导点取得 判别法 第一充分条件 第二充分条件 注意使用条件 四 函数的最大值最小值 最值是整体概念 2 实际问题求最值的一般步骤 1 求 a b 上函数的最值步骤 常转化为目标函数在 a b 内函数的最值 作业 下节 习题课 P152T5 1 3 T7 1 3 T8 1 3 P162T1 1 2 T8 T9 思考题 思考题1解答 1 利用曲线的凹凸性定义证明不等式 思考题 思考题2解答 2 下命题正确吗 不正确 例如 故命题不正确 例2 证明当x 0 y 0 且x y