【2012高考数学热点考点精析】考点24数列求和及综合应用2.doc

【2012高考数学热点考点精析】考点24数列求和及综合应用210.（2011广东高考理科20）设数列满足.求数列的通项公式；证明：对于一切正整数n,【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）方法一：由已知得，两边同除以，整理得，当时有： （）令，则是以为首项，为公比的等比数列.由等比数列通项公式得，即从而.当时，有，即是首项与公差均为的等差数列，从而有，得.综上所述方法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，综上所述（2）【证明】方法一：（）当时， ，故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立方法二：由（1）及题设知: 当时，当时，而 ，即，又综上所述：对于一切正整数n,.11.（2011山东高考理科20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和Sn.【思路点拨】（）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论【精讲精析】（）由题意可知，公比，通项公式为；（）当时，当时故另解：令，即则故.12.（2011山东高考文科20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：=，求数列的前项和.【思路点拨】（I）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列.（II）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n项和.【精讲精析】（）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）=, 所以=+13.（2011辽宁高考理科17）（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和【思路点拨】()先求首项和公差，再求通项公式；（）可利用错位相减法求和【精讲精析】()设等差数列的公差为， 由已知条件可得故数列的通项公式为 5分 （）设数列的前项和为，即=故=1，.所以，当1时，=-=，所以=综上，数列的前项和=. 12分14.（2011北京高考理科T20）(13分)若数列满足，则称数列为数列，记=.（）写出一个满足，且的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.【思路点拨】（）写出满足条件的一个数列即可；（）分别证明必要性与充分性；（）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.【精讲精析】（）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列）（）必要性：因为E数列是递增数列，所以.所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.充分性：由于，所以，即.又因为，所以.故，即是递增数列.综上，结论得证.（）令，则.因为 ，所以因为 ，所以为偶数.所以为偶数.所以要使，必须使为偶数，即4整除，亦即或当时，E数列的项满足 时，有；当n=4m+1时，E数列的项满足 时，有；当n=4m+2或n=4m+3时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E数列，使得.15.（2011北京高考文科T20）(13分)若数列满足，则称为数列.记=.（）写出一个E数列满足（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（III）在的E数列中，求使得成立的n的最小值.【思路点拨】（）写出满足条件的一个数列即可；（）分别证明必要性与充分性；（）利用E数列的定义找出前面几项的和与0的关系，再求n的最小值.【精讲精析】（）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.（答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列）（）必要性：因为E数列是递增数列，所以.所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.充分性：由于，所以，即.又因为，所以.故，即是递增数列.综上，结论得证.（）对首项为4的E数列由于，所以.所以对任意的首项为4的E数列，若，则必有.又的E数列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足，所以n的最小值是9.16.（2011湖南高考文科T20）（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.（）求第n年初M的价值的表达式；（2）设大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.证明：须在第9年初对M更新.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立数列模型是关键.【精讲精析】（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5