线性代数练习题.doc

线性代数练习题一、选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ). (A) (B) (C) (D)3.如果行列式，则（ ）。 （A）可能为1 （B）不可能为1 （C）必为1 （D）不可能为24. 设、为阶矩阵，则（ ）成立。 （A） （B） （C） （D）5.在函数中项的系数是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 26. 若，则中第一行元的代数余子式的和为( ).(A) (B) (C) (D)7.设为阶矩阵，且，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）8.齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 9.设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）。（A）的列向量组线性相关 （B）的列向量组线性无关 （C）的行向量组线性相关 （D）的行向量组线性无关 10.设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）. （A） （B） （C） （D）的关系依而定11.设与为阶非零矩阵，且= 0 ，则与的秩（ ） （A）必有一个等于零 （B）都小于 （C）一个小于，一个等于 （D）都等于12.关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。 （A）若，则或（B）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形 （C）矩阵的标准形不惟一 （D）若为初等矩阵，则13. 下列命题正确的是（ ） （A）维列向量组可以线性无关 （B）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩 （C）维列向量组必线性相关 （D）若方阵，则可逆。14.设向量组的秩为3，则（ ）。 （A）任意三个向量线性无关 （B）中无零向量 （C）任意四个向量线性相关 （D）任意两个向量线性无关15. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 16.设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）。A. 与相似 （B）与有相同的特征向量（C）与有相同的特征值 （D）与等价17.是阶矩阵与相似的( )。（A）充要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既不充分也不必要条件18. 阶方阵有个不同的特征根是与对角阵相似的( )。（A）充要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既不充分也不必要条件19.设矩阵与相似,则的值分别为( )。（A） 0,0 （B） 0,1 （C） 1,0 （D） 1,1二、填空题1. 各列元素之和为0的阶行列式的值等于 。2.五阶行列式的项前的符号为 ，前的符号为 。3.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.4.设，且，则 5.设，且，则 6. 设三阶矩阵，则 。7. 设矩阵，则 ， ， （为正整数）。8.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则_。9.设为4阶方阵的伴随矩阵，且，则 10.设为四阶方阵的伴随矩阵，且，则 11.已知，则 12.已知，则 13. 设，则 。14.若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为 15.齐次线性方程组有非零解，则 16.向量线性无关的充要条件是 。17.已知向量组，线性相关，则 。18.已知向量组线性相关，则 19. 向量组，的一个最大无关组为 。20.设向量组线性无关，则向量组，线性 。21.线性方程组的解空间的维数是 22.若元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则其对应的齐次线性方程组解空间的、秩为 23.已知向量组两两正交，则 24.已知向量组两两正交，则 25. 设三阶可逆矩阵的特征值分别为2、3、5，则 ，的伴随矩阵的特征值为 。26.设为矩阵的三个特征值，则 。27.设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 。28.设为矩阵的三个特征值，则 。29.若相似，则 ，= 。三、判断题1、（ ）2、设均为阶矩阵，则（ ）3、若，则（ ）4、设均为可逆矩阵，则也可逆且（ ）5、向量组是线性无关的（ ）6、设向量组线性无关，则向量组也线性无关（ ）四、计算题1.计算下列行列式（1） （2）（3） （4）2. 解下列矩阵方程(X为未知矩阵).（1) （2) 3.设 ， ，若矩阵满足，求。4.设，且，求。5.设三阶矩阵满足，且，求。6. 设,求7.设，问（1）取何值时，；（2）取何值时，。8.设，问（1）取何值时，；（2）取何值时，。9.求下述列向量组的秩、最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表出。10.已知向量组， ，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.11.求向量组、的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。12.已知向量组，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。13.当为何值时，线性方程组 有解？在有解的情况下，求其全部解（若有无穷解，用基础解系表示）。14.求取何值时，线性方程组有解，并用基础解系表达其通解。15.对于线性方程组 讨论取何值时，方程组无解、有惟一解和有无穷多解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。16.求取何值时，线性方程组有解，并用基础解系表达其通解。17.取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.18.求下列矩阵的特征值与特征向量（1）（2） （3）（4）五、证明题1.设证