状态预估法扩展数字锁相环的锁相区间.doc

第9期赵益波等：状态预估法扩展数字锁相环的锁相区间71状态预估法扩展数字锁相环的锁相区间赵益波1，罗晓曙2，张道秧3，冯久超1(1. 华南理工大学 电子与信息学院, 广东 广州 510641；2. 广西师范大学 物理与电子工程学院, 广西 桂林 541004；3. 安徽师范大学 物理与信息工程学院, 安徽 芜湖 241000)摘 要：提出了一种扩展正过零检测数字锁相环锁相区间的方法。首先建立了锁相环路未受控时误差变量的非线性动力学模型，得到误差变量在不动点处线性化近似预测值；然后取此近似预测值的非线性函数进行反馈控制，扩展了环路锁相区间；最后分析了受控数字锁相环的稳定性并给出了仿真结果，结果不仅证实了该方案的正确性和有效性，而且表明该方法比延迟反馈方法更加优越。关键词：数字锁相环；状态预估；锁相；正过零检测；混沌与分岔中图分类号：TN850 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)09-0068-05Extending locked range of digital phase-locked loop by prediction estimation of statesZHAO Yi-bo1, LUO Xiao-shu2, ZHANG Dao-yang3, FENG Jiu-chao1(1. School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China；2. College of Physics & Information Engineering, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China；3. College of Physics & Electronic Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)Abstract: A method to extend locked range of the positive zero crossing detection digital phase-locked loop(ZC-DPLL) was proposed. The nonlinear dynamical model of phase error of a non-controlled DPLL is firstly built, linearation prediction estimation of phase error in the stationary point domain is derived. Then nonlinear function of this prediction estimation is used to control by feedback. Locked range of the phase-locked loop is extended. Stability of fixed point of the controlled system is analyzed and the results by simulation are given. The effects not only show the proposed method is correct and effective but also it is superior to delay feedback method.Key words: digital phase-locked loop; prediction estimation of states; phase locked; positive zero-crossing detection; chaos and bifurcation1 引言收稿日期：2007-01-19；修回日期：2008-08-10基金项目：国家自然科学基金资助项目(10247005, 70571017, 60572025)Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (10247005, 70571017,60572025)锁相环路(PLL, phase locked loop)是一个能够跟踪输入信号相位和频率的闭环自动控制系统1，锁相环具有独特的优良性能，如载波跟踪性能、调制跟踪性能、低门限特性等，因此在无线电技术的各个领域中得到了广泛的应用2, 3。由于数字锁相环（DPLL）在减小直流漂移和周期调整等方面都优于模拟锁相环，所以自20世纪70年代以来，数字锁相环引起了人们极大的研究兴趣4，并得到了广泛应用，如在相关通信系统中用作载波或时钟信号恢复。大多数使用的DPLL都是正过零检测数字锁相环（ZC-DPLL），这种锁相环主要是基于非一致采样技术(即NUS-DPLL)。由于ZC-DPLL本质上是非线性离散映射模型，在不同的时变信号条件下，可能出现较复杂的动力学行为5,6，如当输入信号频率超过某一上限频率时，环路工作就会失去稳定性，产生分岔和混沌现象，从而导致锁相环路出现假锁或失锁等情况。一种方法是通过延迟反馈法增大控制参数k1来提高输入信号频率上限值7,8，从而扩大锁相范围。然而这种方法有一些不足之处，在不稳定轨道的选取上带有一定的随机性，且稳定性和锁相范围受到很大限制。为此，本文提出了一种状态预估反馈控制方法来增大锁相和稳定范围，该方法是利用非线性系统及其线性化系统在不动点邻域处的向量场拓扑共轭而得到状态近似预估值，并取适当函数进行反馈。通过分析和数值仿真表明，该控制方法能有效地扩大环路稳定范围和锁相范围，而且比延迟反馈方法更有效。2 方法描述设n维离散非线性系统为(1)其中，为第个采样时刻状态变量的采样值。设系统(1)具有某个不稳定双曲不动点，即有 (2)在不动点处将系统线性化，并取为(3)其中，为不动点线性化矩阵，为状态变量的预测估计值。根据不动点处线性化系统和原系统向量流形的拓扑共轭9，可以在不动点局部流形区域用代替进行反馈控制，以克服使用延迟反馈控制法时轨道选择具有随机性且受奇偶效应的限制等缺点10。此外，这种取线性化系统某一状态变量作为预测估计量具有明显优点，例如，对于那些复杂的非线性动力学系统，易于建模和分析。此外，反馈可以使系统局部预测反馈具有很大的灵活性。3 扩展ZC-DPLL的锁相区间3.1 系统结构及其方程图1为施加了混沌控制的二阶ZC-DPLL原理框图，它由采样器、环路数字滤波器（LDF）、数字压控振荡器(DCO)和混沌控制器(chaos controller)组成，其中采样器的作用相当于模拟锁相环中的鉴相器(PD)，为误差变量的近似预测值，为在时刻的近似预测值。为了得到预测项，先建立系统在未受控制时的动力学模型（对应于图1中的情况），此时系统变为未受控制时传统的二阶ZC-DPLL。设环路输入信号为(4)其中，为DCO的固有振荡频率， ，为输入信号载波频率，不失一般性，可设初始相位。设采样器的采样方式为正过零检测采样，则(5)上式中xc(k)为时刻的采样值。DCO的周期受到环路滤波器的输出的控制调整。DCO的第k+1个周期定义为11,12(6)其中，为DCO的固有振荡周期，则由式(6)可推得(7)此外，由图1可得环路滤波器的输出为(8)未控制情况下有。定义相位误差为12(9)考虑到，则采样器的输出为(10)对进行取模限制，其值在之间，考虑到式(7)和式(9)，可得(11)其中，。结合式（8）和式（11），可得图1未受控制时，相位误差的数学模型为 (12)其中，。根据式(12)，可得稳定性条件13为(13)这表明固定k1、r，当输入信号频率增大到时，环路就会失锁。一般取，系统有最快的响应速度13，此时的取值如果超过4/3，环路就会失锁。固定其他参数，增大或，系统会发生一系列倍周期分岔达到混沌状态，所以为提高输入信号频率的锁相范围，可借助混沌控制方法。图1 带有混沌控制的ZCD-DPLL原理3.2 扩展ZCD-DPLL的锁相区间令为系统未受控时的不稳定不动点，将代入式(12)可得。在不动点处得线性化估计值为(14)将取为(15)由图1有(16)将式(15)、式(16)代入式(8)，采用与第3.1节中类似的推导过程，可得受控系统的相位模型为 (17)其中，。3.3 稳定性分析Jacobian矩阵是分析离散系统不动点或周期轨道附近动力学性质的重要工具。令，可将式(17)化为一阶离散方程组的形式，即(18)将上式重写为一般形式为(19)其中，, 。根据式(14)及上述定义可得由不动点的定义可知， 。不动点处的Jacobian矩阵为(20)其中，结合控制方程(16)并考虑到，可得不动点。进一步分析可知，当不动点时，系统不稳定。现在分析处的稳定性情况，将其代入式(20)，可得J的特征多项式为(21)由非线性离散系统的稳定性理论9可知，当时，系统稳定。可利用数值求解法求出系统处于稳态时的控制参数的取值区间。4 仿真结果为了说明所提方法的有效性，对式(12)和式(17)的数值仿真，当式(17)中p=0时，受控系统变为原未受控系统。取参数值如下，z=1.0, r=2.0 , 并以为分岔参数。图2为未控制时稳态相位误差的分岔图。图3是p=0.1时稳态相位误差的分岔图。由仿真结果可以看出，加入了预测反馈控制后，系统处于稳定时参数取值区间增大，即载波跟踪范围(固有频差范围)扩大，由原来的扩大到，而且比采用延迟反馈控制方法时的相位误差稳态的范围更大8，这说明所提的方法是切实可行的。图2 以k1为分岔参数稳态相误差的分岔图(未控制) 图3 施加控制后稳态相误差的分岔图(p=0.1)进一步可求出取不同的参数值p，相误差稳定时对应的参数空间，如图4(a)所示，其中，阴影部分为相误差稳定时对应的参数空间。这里参数值,。从图4(a)中可看出，锁相环稳定时取值范围最大。图4(b)为时，相位误差稳定时对应的参数空间。从图4中可看出，受控系统在取相同的值，环路锁相时的取值范围由原来的区域扩大到区域和，即环路的跟踪范围增大了，进一步说明了本文方法的有效性。(a) 环路锁定时对应的k1-p参数空间(z=1)(b) 环路锁定时对应的k1-z参数空间(p=0.09) 图4 环路锁定时对应的参数空间 5 结束语对一些复杂或模型未知的非线性系统，由于不能得到其准确的预测控制，而利用非线性系统及其线性化系统在双曲不动点处拓扑共轭进行近似预测，同样能取得很好的控制效果。由于数字锁相环路中相位误差易于观测，所以本文利用相位误差的近似预测值进行反馈控制是切实可行的，物理上易于实现。此外还进一步对受控系统进行了分析和数值仿真，验证了该方案的正确性和有效性，即通过这种控制方法，有效地扩大了数字锁相环路的锁相空间和稳定空间，提高了环路对输入信号的跟踪范围。参考文献：1HSIEH G C, HUNG J C. Phase-locked techniquesJ. IEEE Trans Ind Electron, 1996,43(6):609-615. 2VITERBI A J. Principle of Conherent CommunicationM. New York: MeGraw Hill, 1996.3BEST R E. Phase-Locked Loop: Design, Simulation and ApplicationsM. NY: McGraw-Hill, 1999.4ZOLTOWSKI N. Some advances and refinements in digital phase locked loops (DPLLs)J. Signal Processing, 2001, (81): 735-789.5GARDNER F M. Frequency granularity in digital phase lock loopsJ. IEEE Trans on Communications, 1996,44(6): 749-758.6谭永明, 邓立虎. 三角形鉴相特性锁相鉴频器中混沌现象的研究J. 电子科技大学学报, 2007, 36(1): 5-7.TAN Y M, DEGN L H. Research on chaotic phenomena of phase-locked frequency detector with triangular phase-detectorJ. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2007,36(1):5-7.7NASIR Q. Extended lock range zero-crossing digital phase-locked loop with time delayJ. Eurasip Journal on Wireless Communications and Networking, 2005,3:413-418.8BANERJEE T, SARKAR B C. Phase error dynamics of a class of modified second-order digital phase-locked loops in the background of cochannel interferenceJ. IEEE Signal Processing, 2005, 85:1611- 1622.9曹建福, 韩崇昭, 方洋旺. 非线性系统理论及应用M. 西安: 西安交通大学出版社, 2001.CAO J F, HAN C Z, FANG Y W. Nolinear System Theory and ApplitionM. Xian: Xian Jiaotong University Press,2001.10PYRAGAS K. Continuous control of chaos by self-controlling feedbackJ. Physics Letters A, 1992,170:421-428.1